Soit maintenant l’équation générale du troisième degré

dont les racines soient - x 1 , x", x'“ .

On n ici 7»= 3 nombre premier; la foucüçm t sera donc,' en prenant pour a une racine de jA — i = ©, .

/ = x' -f- ax” 4- et**'", et la fonction fl s=.t’ sera , à cause de a? sr= i ,

où l’on aura

£• = a:' 5 4- x"> •+• x'* 3 + GxV'x"', f =r 3 (xV' + x"‘x"’ + x'"'x ') , g" = 3 (x"x"' -f- + x m *r'').

Les quantité seront donc les raciues d’une équation du se-

cond degré, dont les coefliciens dépendront d’une équation du degré — a, c’est-à-dire du premier degré, et qui seront par conséquent des fonctions rationnelles de ceux de l’équation proposée. En effet , on voit que par toutes les permutations possibles entre les trois racines x', x", x'", les deux fonctions £" restent les mêmes, ou se changent l’une dans l’antre; de sorte qu’en les supposant racines de l’équation

MÇ 4- N == o,

on aura M = £'-f-£", N fonctions invariables de x', x ", x m ,

et par conséquent déterminables par les coefliciens A , B, C de la proposée.

En effet, on trouve facilement, par les formules de la Note X (n° jf),

M = f + Ç" = 3 AB - 9C,

N = Ç'f == 9 B j g(A s — GAJS)C 4 - 8iC\

Ainsi l’on n’aura -à résoudre que l’équation -du second degré ?* — ( 3 AB — siC) £ 4 -i)B 5 + 9 (A 1 — 6 AB) C 4 - 8iÇ* = o , dont on prendra les deux racines pour’ les valeurs de Ç'-et- Ç". Faisant ensuite (n“ i”)

NOTE XIII

fi' = A» 4- (« - i)Ç' + (*■ i)Ç«,

et subtituant , dans les formules du n° 16, 3 au lieu de m, et A , . ' *

au lieu de S/8* (n° 17) , on aura

.J, __ a + «*|/F 4- e*l/«* > ou bien A + fl t/6' + W*

.j» A -+- * VF + fl t/F ar — 3 ,

à cause de /3 = a', et par conséquent /3‘ = a.

Et les deux quantités a, /3 seront (n* a3) les racines de l’équation J* -h J ' == 0 , laquelle donne

, fi =

3a. Mais on peut avoir des expressions plus simples , par le moyen de l’équation en 9 , qui sera ainsi du second degré.

En représentant cette équation par

fi* Tfi 4- U =. o ,

on trouvera les valeurs de T et U par les formules données plus haut (n° ai).

On aura ainsi

T (3Ç° — A. 3 ) 3ga — A*

où Ça est lé premier terme dégagé de a dans le développement de (Ç* 4-a.Ç' 4- a*Ç") 3 ; et l’on trouve , à cause de ** = 1 ,

Ça = (?•)• 4- a?'?'-

N O T JB. XIII. • a63

Or on a (n* 17) Ç* = A 5 — — Ç'' = A J — M ; donc puisque

Ç'Ç" = N , on aura • *.

U = — — 3fA ’~ M)‘'+6S — A. 8 .

et substituant les valeurs de M et N trouvées ci-dessus, on aura

T = aA J — gAB + a 7 C, r . •

U = A 4 — gA 4 B -+■ 37A‘li‘ — 27B = (A* — 3 B)>.

L’équation en fl sera donc • 1

fl- — (à A 1 — gAB + a 7 C)fl •+■ (A* — 3 B) S = 0,

dont les deux racines étant prises pour fl' et fl 1 ', et substituées dans les expressions précédentes de x', x ", x" 1 , etc. , on aura la résolution la plus simple de l’équatiou du troisième degré.

33 . Venons à l’équation du quatrième degré représentée par la formule

x* — Ai’ -f- Bx' Lmf Cr -f- D = o.

Comme on a ici 4 = 3 * 3 > il est plus simple de suivre la méthode du n* a 5 ; en faisant n — 3, on prendra pour a. une racine de l’équation j* — 1=0, en sorte que «* = 1. On fera ainsi

!=îX' + «X”, X' = x' + x", X" B x" + x”.

De là , on aura

fl = g- + «g' et = X'* + X"*, £' = aX'X".

Ainsi l’équation en Ç, dont Jj' est racine, ne sera que du degré n — 1 , • c’esl-à-dire du premier degré , et ses coelüciens ne dé-

pendront que d’une équation du degré ' = 3 ( n* 37 ) ; de

sorte que l’on aura eu une équation du troisième degré , telle que

£' s — M£'* + Wg' — P = o.

NOTE XIII

Les racines de cette équation seront les râleurs de

~ e Ç' = aX'X" = afx' 4- x>") (x" 4- x 1 ’),

qui proviendront des permutations entre les trois racines ; et il est facile de voir en effet que ces valeurs ne seront que les trois suivantes :

3(x' + x"') (x".+ X”), a(x' 4- x" ) (x'" 4- x ") , afx' + x 1 *) (x" 4- x"').

D’aprè^ ces racines, on pourra former les coefticiens M , N, qui se trouveront exprimés par des fonctions invariables de x', x", x"', x", et seront déterminables en A , 13 , C, D.

34 - Pour faciliter cette recherche, nous remarquerons que l’on 0, par l’équation proposée,

d’où il suit que si l’on fait Ç” = aB — au , l’équation en £' se transformera en une équation en u, dont les racines seront

Soit • .

u 5 — Ru* 4- Su — T = o

cette équation en u, on aura

et l’on trouvera de la meme manière, en employant les formules données dans la Note X , les valeurs suivantes :