S = AC — 4D, T = (A* — 4 B)D 4- C

Désignons par u' une quelconque des racines de l’équation en u ,

a> Bu* 4- (AC — 4 D)u — (A* — 4 B)D — C* = o ,

«OTE XIII

on aura£'=aB — au'; et de là, en faisant a=-»i et n = a, on aura

et enfin

X' = ±±-Vl X" = A ~~

35 . Maintenant, comme X' as x' + a/", on peut regarder a/ et x'" comme les deux racines de l’équation du second degré (n* 28) ,

et pour avoir X, il n’y aura qu’à diviser l’équation proposée du quatrième degré par celle-ci; le premier terme du reste égalé à zéro donnera

, X' s — AX'*+BX' — C

ix-^TÂ »

ainsi, en résolvant l’équation du second degré, on aura

x , X' + y/ÇX'* — 4 *) jjn X'-t/(X'‘-4A) .

et comme X" = x" 4 * ■*", on aura les racines x", x”, en changeant dans ces expressions X' en X", ce qui ne demande que de changer le signe du radical \/¥.

Cette solution revient à celle de Descartes, dans laquelle on résout l’équation du quatrième degré en deux du deuxième, moyennant une du troisième.

36 . On peut simplifier ces formules en substituant d’abord... 1 — — à la place de u, ce qui donnera cette équation en 6,

8* — ( 3 A* — 8B)6* 4- ( 3 A+ — i6A‘B 4 - i6B* 4 - 16AC— 64D) 0 — (A 5 — 4 AB 4- 8C)* = 0 ,

dont 0' sera une quelconque des racines à volonté; mais en employant les trois racines , on peut avoir tout d’un coup les quatre racines x 1 , x", x'", x”.

Car en faisant * = — 1 , on a

NOTE XIII

et par corn

sequent ,

Cette expression de 0 n’est en effet susceptible que de ces trois valeurs différentes

(x'+x"'— x"— x”)-, (x'-hr"— x'"— x”)*, x'+x”— x"— x'")*,

qui seront par conséquent les trois racines de l’équation en 0.

Nommons 0', 0", 0"' les trois racines de cette équation ; ou aura donc ces trois équations

x' 4- x"' — x" — x” = y/6 7 , x' x" — x"'— x” = \/¥, x> 4. x" — x" — x" sa

qui , étant (ointes à l’équation

laquelle répand is=i, serviront à déterminer chacune des quatre racines a?, x", x r ", x”, et l’on trouvera

a - i/r+ v/s' — VJ"

37 . Cette solution, la plus simple de toutes, est due à Euler, mais elle présente une espèce d’ambiguité, à cause des radicaux carrés qui peuvent être pris chacun en plus et en moins. En effet , on voit qu’en changeant le signe d’un quelconque de ces radicaux , ou les signes des trois radicaux à la fois, on a un autre système de

ROTE XIII

racines, représenté par les formules

Au contraire, eu ne changeant à la fois que les signes des deux radicaux , on a toujours le même système de racines. Ainsi, pour savoir lequel des deux systèmes il faut employer, il n’y a qu’à déterminer le signe que doit avoir le produit X \/$' X n/S™.

Or l’équation en 0 donne

donc , extrayant la racine carrée

v/5 7 x s/W x VF = =fc (A 1 — 4 AB +. 8C),

et remettant pour v/5 7 » VF, V^"' leurs valeurs en x', x", etc.,

(x 1 ■+• x?" — x" — x”) (x' -f- x" — x m — x”) (x' +X 1 ’— x" — x**) = =fc(A 3 — 4AB4-8C).

Pour déterminer le signe ambigu , il n’y a qu’à considérer un cas particulier , par exemple , celui où les trois racines x", x'", x‘ T sont nulles. Dans ce cas, on aura A=x', B=o, C=o, D=o, et l’équation précédente deviendra x"= ± A*, par où l’on voit qu’il faut prendre le signe supérieur pour la rendre identique. Ainsi on aura nécessairement

V/fi 7 x N/S" X VF = A’ — 4AB -f- 8C.

D’où l’on doit conclure que lorsque la quantité

NOTE XIII

aura une valeur positive, il faudra employer le premier système des racines j et que lorsque cette quantité aura une valeur négative, il faudra employer le second système, en donnant toujours aux radicaux y/F, \/¥, v/fl"' une valeur positive (*).

38. Passé le quatrième degré, la méthode, quoiqu’applicable en général , ne conduit pim qu’à des équations résolvantes de degrés supérieurs à celui de la proposée.

Pour le cinquième degré, soit la formule générale

x* — Ax 4 - 4 - Bar 1 — Gr* -f- Dx — E = r o ,

dont les racines soient x', x", x"', x”, x’.

On aura ici m — 5 nombre premier, et l’on fera

t = x' -f- eue" -f- «*x'" -f- a 5 x" -f- a<x’,

où et est une des racines de l’équation y* — i es o , autre que l’unité.

On fera ensuite 0 = r®, et l’on parviendra à une équation en 0 du degré i ,3.3.4, mais qui sera décomposakle en 3.3 équations chacune du quatrième degré ; de manière qu’en représentant chacune de ces équations par la formule

• 0« Ifli L0* — X0 + Y = o,

les coelïicicns T, U, etc. ne seront susceptibles chacun que de six valeurs différentes, par toutes les permutations possibles entre les cinq racines x', x”, x"', x 1 ’, x’, dont ces coefliciens sont fonctions; et ces six valeurs ne dépendront par conséquent que d’une équation du sixième degré ; de sorte qu’en dernière analyse , la résolution de l’équation du cinquième degré serait réduite h celle d’une équation du sixième. Il est donc inutile d’entreprendre ce calcul dont on peut, au reste, voir le commencement dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (année 1771 , p. i3o et suiv ).

3g. Nous n’avons considéré jusqu’ici que des fonctions résol-

(•) Voye s *page 3io , la correction laissée par M. Lagrange pour «et article.

NOTE XIII

vantes de la forme a:' -f- eue" +«*.*"' + etc. ; mais les principes que nous avons employés pour trouver directement l’équation dont ces fonctions seraient les racines, peuvent s’appliquer à toute autre fonction des racines x 1 , x", x"\ etc. de l’équation proposée. Il ne s’agit que de chercher toutes les différentes formes dont la fonction proposée est susceptible par Routes les permutations des racines x x", x”', etc. entre elles , et former une équation qui .ait toutes ces différentes formes pour racines. Les coefficiens de * cette équation étant des fonctions invariables de ces racines, seront aussi des fonctions invariables des racines de la proposée; et pourront par conséquent se déterminer par des fonctions rationnelles des cotfliciens de celles-ci, qu’on trouvera toujours par les formules données dans la Note X.

On pourrait croire que chaque fonction différente des racines d’une même équation , dépendrait aüssi d’une équation différente ; cela a lieu en effet pour toutes les fonctions qui ne sont pas semblables ; mais pour celles que j’appelle semblables , et dont la propriété consiste en ce que, par les mêmes permutations, elle! varient ensemble, ou demeurent les mêmes, on peut les faire dépendre toutes d’une même équation , parce qu’on peut toujours Jes exprimer par des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles.

J’ai donné, dans les Mémoires de Berlin de l’année 1771 (p. ao 3 et suiv.) , une méthode générale pour la détermination des fonctions semblables des racines d’une équation quelconque donnée ; je ne la rapporterai point ici , pour ne pas trop alonger cette Note.

4 o. Mais je ne saurais la terminer, sans dire un mot du beau travail que feu F" andermonde a donné dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris (année 1771), sur la résolution générale des équations. Son ouvrage et le mien ont été composés et lus à peu près en. même temps, l’un à l’Académie drs Sciences de Paris, et l’autre à celle de Berlin. V andermonde , en partant d’un principe général, est arrivé à des résultats semblables à ceux auxquels m’avait conduit l’examen des différentes méthodes connues jusqu’alors. Comme ce rapprochement est intéressant pour l’Analyse, on sera bien aise de les trouver ici.

sera de la forme

NOTE XII I. . 17

■— (a-\- b + c-l-etc.) -f- db-\-r"c -f- etc.)“

-f- (/(a ■+*r'*S-f-r"*e-{-etc.)* , -f- ^(d+r^A+j^tf+etc.^-f-etc.,

r 1 , r 1 ', d", etc. étant avec l’unité les racines de l’équation r"— i =o.

Si l’on compare cette expression à celle de la racine ad du/1 0 16, on verra facilement leur accord , en considérant que 8 est en général = (x' -f- eux" -f- a*x"' -f- etc.)“ (ri* »5), et que 0', 0", etc. sont les valeurs de 0 qui répondent aux racines et, fi, y, etc. de l’équation^*— i=o, lesquelles sont désignées par r \ d', d", etc. dans l’Analyse de Vandermonde , et que lorsque m est un nombre premier, toutes les racines sont représentées également par i , et, et*,

**» etc. , par i , /3 , /3*, /3 J , etc. (n* 5).

Pour déterminer les valeurs de (a -f- db -f- d'e -f- etc.)” en fonctions des coefficicns de l’équation donnée, en quoi consiste toute la difficulté du problème, l’auteur emploie un algorithme ingénieux , fondé sur une notation particulière ; il ne cherche pas à priori , comme nous l’avons fait, le degré de l’équation d’où cette détermination doit dépendre ; mais il donne pour les équations du troisième et du quatrième degré, leur résolution complète; et pour celles du cinquième et du sixième degré, des formules générales qu’il appelle types, et qui font voir que la résolution de l’équation du cinquième degré dépend en dernière analyse d’une équation du sixième , et que la résolution de celle-ci dépend de celle d’une équation du quinzième ou du dixième degré , comme nous l’avons trouvé.

4a. Vi andermonde a aussi remarqué les simplifications dont la for- , mule générale des racines est susceptible dans les degrés dont l’exposant est un nombre composé ; par exemple , il trouve que , pour les équations du quatrième degré , les racines a, b, c, d peuvent être représentées par la fonction

“f” c — b — rf)*-f-y/(o -f- d — b — c)*J,

- NOTE XIII

en prenant les radicaux carrés en plus et en moins , et il en déduit la

résolution donnée plus haut (n° 36).

Comme la méthode de Vandermonde découle d’un principe fondé sur la nature des équations , et qu’à cet égard elle est plus directe que celle que nous avons exposée dans cette Note, on peut regarder les résultats communs de ces méthodes sur la résolution générale des équations qui passent le quatrième degré, comme des conséquences necessaires de la théorie générale des équations.

NOTE XIV

Ou l'on donne la résolution générale des équations à deux termes.

i. Quoique les équations à deux termes, telles que x * — A = o , ou

plus simplement, a/' — i = o (puisque cette forme-là peut se réduire e ...

à celle-ci, en y mettant x\ A pour x ), soient toujours résolubles par les tables des sinus, d’une manière aussi approchée qu’on puisse le désirer, en employant la formule connue

x — cos - 36o® -f- sin - 36o* X V — » , e e

et faisant successivement v— i, a, 3, etc., p, leur résolution algébrique n’en est pas moins intéressante pour l’analyse; et les géomètres s’en sont beaucoup occupés. Ils ont d’abord réduit la difficulté à résoudre les équations dont le degré a pour exposant un nombre premier, comme nous l’avons vu au commencement de k Note précédente. Ils

ont trouvé de plus que comme l’équation af 1 — » — o a nécessairement i pour l’une de ses racines, en la divisant par x — i , on a pour les autres l’équation du degré f* — i ,

x 1 ^ -f- etc. -f- i = o ,

laquelle étant du genre des équations qu’on appelle réciproques , parce qu’elles demeurent les mêmes, en y changeant x en - , est décompo-

sable en £ ~ * équations du second degré, telles que xé~jrx+ i = o,

dans lesquelles y dépend d’une équation du degré de la

forme

NOTE XIV

+ — — r — etc. = o,

où »== ^ ■ * , comme nous l’avons vu dans la Note X (n° i 4 ).

De cette manière on avait pu résoudre l’ équation x’ — 1 = o , parce qu’elle se réduit à une équation du troisième degré ; mais on était arrêté à l’équation x" — i = o , qui ne se réduit par ce moyen qu’à une du cinquième.

a. On en était là lorsque M. Gauss donna, en 1801 , dans son excellent Ouvrage intitulé Disquisitiones arilhmclicce (*), une méthode aussi originale qu’ingénieuse pour réduire la solution de l’équation

Je** — i =o, lorsque (ï est un nombre premier, à la résolution d’autant d’équations particulières que le nombre y, — t contient de facteurs premiers, et dont les degrés soient exprimés par ces mêmes facteurs. Ainsi l’équation x**— -i=o ne demande que la résolution de. deux équations d*> second, et d’une du troisième, parce que i 3 — i=a.a. 3 . L’équation x” — î = o ne demande que la résolution de quatre équations du second degré, et ainsi de suite.

Mais en appliquant les principes de la théorie de M. Gauss à la méthode exposée dans la Note précédente, j’ai reconnu qu’on pouvait obtenir directement la résolution complète de toute équation à deux termes dont le degré est exprimé par un nombre premier , sans passer par aucune équation intermédiaire , ni avoir à craindre l’inconvénient qui naît de l’ambiguité des racines. C’est ce que je vais développer dans cette Note.

3 . Soit l’équation à résoudre a/ 1 — i — o, //. étant un nombre premier ; si l’on en sépare la racine = i , elle s’abaisse à celle - ci du degré f*— i ,

' * + y - 1 + y 3 -f- etc. + i = o.

sSoit r une racine quelconque de celle équation, on pourri représenter

(*) Cet ouvrage vient d’étre traduit en français, sous le titre de Rechercha* arithmétique* , chez Bachelier .

ses p — • i racines par les termes de la série géométrique

r, >*t t, r», etc., , ..

comme nous'l’avons démontré dans la Note prccédcnle fn° 5 J.

M. Gauss a eu l’idée ingénieuse ot heureuse de substituer à la progression arithmétique des exposans de r, "une progression géométrique , en vertu du fameux théorème de Fermât , sur les nombres premiers.

Par ce théorème démontré d’abord par Euler , ctensyile par tous ceux qui se sont occupés de la théorie des nombres , on sait que si U est un nombre premier, et a un nombre moindre que p, le nombre

a* ' — i sera nécessairement divisible par p, de sorte que le riÿte de la division de et~' par p , sera l’unité. * ■

Euler a démontré de plus que si en divisant tous les termes de la

progression a, a*, a 1 , etc., et 1 par p , il se trouve d’autres puissances de a qui donnent aussi l’unité pour reste , les ex posa ns de ces puissances seront nécessairement des diviseurs de p — i. De sorte que pour savoir si parmi les puissances de a moindres que et 1 , il y en a aussi “qui , étant divisés par p , donnent le reste 1 i , il suffira d’essayer celles dont l’exposant sera un diviseur de

ft — i.

4- On nomme racines primitives les nombres a dont aucune puissance moindre que et 1 ue donne le reste î par la division par p: et ces racines ont la propriété que tous les ternies de ht progression

a, a*, o J , etc. , et ~ 1 étant divisés par p , donnent des restç^ difièrens , et donnent par conséquent tous les nombres moindres que p pour restes, puisque ces restes sont au nombre de p — i. Car si deux puissances a*, ef donnaient le même reste , n et p étant < p , et p < n, leur différence a* — a' = ef [a *~ T — i ) serait nécessairement divisible par p , mais a n’étant pas divisible , et p étant premier,. il faudrait que a —' — i le fût; donc il y aurait mie puissaneé

<t~ f moindre que et ~ ' qui donnerait l’unité pour reste, par conséquent a ne serait pas racine primitive, contre l’hypothèse.

ÎÏOTE XIV.

Un n’a pas, jusqu’à préserft, de méthode directe pour trouver les racines primitives pour chaque nombre premier; mais on peut toujours les trouver facilement par le tâtonnement. Euler en a donné dans les Omnmcutaire» de Pétersbourg ( 'l’orne WJ 11 ) une table pour tous les nombres premiers jusqu’à 37 , que nous |*lacerons ici.

ft-