XI

ao,

8, jo,

ii>

ai ,

ao ,

où l’on remarque que le nombre de ces racines primitives, pour un nombre premier /x donné , est toujours égal à eelui des nombres moindres que /x, et premiers à /x — 1. On peut voir, sur ce sujet , la section troisième des Disquisiliones arithmeticœ.

Au reste, pour notre objet, il suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné , et il sera toujours plus avantageux , pour le calcul , d’en connaître la plus petite. • «

5. Soit donc a une ratine primitive pour le nombre premier fx , de manière que les /x — 1 termes de la progression géométrique a , •

a*, a*, etc. a** 1 , étant divisés par fjt , donnent pour restes tous les

nombres moindres que fi , dont l’unité sttra Je dernier j il est facile de voir que les ft — 1 racines r, r*, r’j.etc. r 1 ** - ' (n“ 3) pourront aussi, en faisant abstraction de l’ordre, être représentées |»r la série

Car connue on a par l’équation a/ 1 — i sss o, dont r est supposé racine, r 3 = i , il est visible qu’à la place de chaque puissance de r, comme r' , lorsque À , on pourra toujours prendre la puissance

r , où v sera le reste de la division de A par fx. Ainsi, dans la série précédente , on pourra toujours réduire les esposans de t à leurs restes après la division par ft, , restes que nous avons vu comprendra tous les nombres i , 2,3, etc., jusqu'à (x — i , mais dans uh ordre diflérent de l’ordré naturel, ce qui est ici indifférent pour les racines' c, /•*, i 3 , etc. ' . - ,

L’avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que si dans la série des racines

»• r > r“, r a ', r 3 ’, r a \ etc. r" on met r* à la place de r, elle devient

r a , r r a , r“‘, r®* , etc. r;

et si l’on y met r 3 à la place de r , elle devient

r > r > r >*r > r , etc. r, r ,

et ainsi de suite.

En effet, il est visible que par la substitution der“ à la place de r, r a devient (r“) a — r° , r° devient (r°) a * = etc., et le dernier tenue

devient (r a ) a> “ —r 1 ^ —r, h cause que le reste de a 3-1 après la

'division par fx est l’unité

De même, par la substitution de r® au lieu de r, r° devient (r°*)“ == r® , r a . devient (r® )“ = r®*, etc. l’avant dernier terme i* r " S deviendra (r 3 = r^~ as r, le dernier deviendra...,

cause que le reste de la division de et par fx est a, puisque et ■=. a <r“ — ‘, et que le reste de la division de et ~ 1 .est i.

6. Cela posé, si pour résoudre 1’équation du degré u — i (n* 3)

NOTE XIV

x? 1 -f- X? a *f- x? ^ -f- elc. -f- 1 = o , dont le* racines sont (n* 5 )

. • r, r a , r°*, etc;

/** étant = 1 , en vertu de l'équation X“ — i=o, on emploie la méthode de la Note précédente, et qu’eu prenant ces racines {tour x', x", x>", etc., op fasse (n* 14, Note précédente),

t sas r-f- ar a ■+- x 3 r a -f- a} -f- etc. ,

où a est une des racines de l’équation y* 1 — 1=0; qu’eusuite on développe la puissance /x— 1*” de t , en faisant attention de rabaisser les puissances de et et de r au-dessous de a!' 1 êt de 4 *,

par les conditions =1 et 4 * = 1 , de manppe qu’on ait cette fonction ordonnée suivant les puissances de a,

0 = = Ç* - 4 - «f -+- <*•£" + *»£"' 4- etc. 4- *>,

les quantités Ç°, Ç", etc. seront des fonctions rationnelles et en-

tières de r, telles qu’elles ne changeront pas par la substitution de

r a , r a , r*', elc. à la place de r, puisque nous avons vu (n* 16, Rote précédente) que ces quantités regardées comme des fonctions de x', x ", x' n , etc. sont invariables par les permutations simultanée* de x ' en x", x" en x'", etc., ainsi que par les permutations simultanées de x! en x"', x" en x ,T , auxquelles répondent les changemen*

de r en r a , en etc. (n° 5 ).

~. Maintenant il est clair que toute fonction rationnelle et entière de r, dans Irfquelle = 1 , peut toujours se réduire à la forme

A 4 - Bf + Cr* + Dr 1 4 " etc. 4 " N 4 * ',

les coeflicicns A, B, C, etc. étant des quantités donuces indépendantes de r. On peut même prouver que toute fonction rationnelle de r est réductible à cette forme; car si 41 c a un dénominateur, on pourra toujours le faire disparaître, en multipliant le hqut et le bas

NOTE XIV

de la fraction par an polynôme convenable en r, comme nous Taxons vu dans la Note IV (n* 3).

Or puisque , dans notre cas, les puissances r, r*, r 1 , etc. t* 1 peuvent être représentées, quoique dans un autre ordre, par les

puissances r, r a t r° , r etc. r a>> , on pourra egalement réduire toute fonction rationnelle de r à la forme

A + Br ■+■ CV •+■ Dr"* + E^’ + etc. + Nr^,

en prenant pour A, B. C, etc. des cocfficicns quelconques indépendans de r.

Donc si cette fonction est telle qu’elle doive demeurer la même, en y mettant r a à la place de r, il faudra que la nouvelle forme

' A + Br* -H>“* + D/-"" + etc. + Nr

(la puissance r af * devenant r af ‘ se change en r, puisque r* = i

et 1 divisé par f* donne le reste i) coïncide avec la précédente, ce qui donne ces conditions

B ss C, C ss D, D =3 E, etc. N = B,

et réduit la forme de la fonction à celle-ci

A -f- B(r -b r a -+■ r a ' + f* 4. etc. -f../'*'’"’*).

8. Donc si Ton dénote par s la somme des racines r, r*, r 3 , etc. r 1 " on aura également

î = r+ r + r -f- /■ ■+■ etc. -f- r ,

et les quantités £*, etc. de la fonction Ô, seront toutes de la

forme A 4- Bs.

Les coefficiens À et B se détermineront par le développement

actuel de la fonction 6 = ', et la quantité s est connue par la

nature de l’équation i résoudre,