f- -f- etc. -f- 1 ss o (n

laquelle donne sur-le-champ scs — 1. Ainsi on a le cas oit les

NOTE XIV.'

valeurs de» quantités £*, Ç', £*', etc. sont connues immédiatement , sans dépendre d’aucune équation ; de sorte qu’en désignant par ■ , a, /S, y , etc. les fi— i racines de l’équation y*~ l — - i = o , et par 6*, 0', 8”, 8'", etc. les valeurs de 8 qui répondent aux substitutions de ces racines à la place de a , on aura sur - le - champ , par les formules de la Note précédente (n* 16), en substituant r pour x et p. — i i>our U»,

y/ 8° - 4 - 1/8* + y/S 7 + etc- +

Telle est l’expression d’une des racines de l’équation x? — ■ i = o ;

on aura toutes les autres par les puissances r*, r 3 , etc. r *~ * ; mais on peut aussi les avoir directement par les mêmes formules, en prenant r a pour jc", r° pour x" 1 , etc.

On aura de cette manière

» y/6° 4- w»~» y/r + y-» y/ y etc.

v y/ÿ + *r - 3 y/â’ -y- ge~ 3 y/F -+■ etc.

etc.

g. On pourra aussi, si l’on veut, se dispenser de calculer ees quantités %° et 0*; car, par ce que nous avons vu dans l’article 17

de la Note précédente, le terme yfl* (en faisant ici m = /i — 1 ^ est toujours égal à la somme des racines que nous dénotons en général par « , et l’exprêssion de 0 peut se mettre sous la forme

8 ==S— ’ -f- (<x- 1) ? + («• -.)?' + («*-«) r + etc.,

qui ne renferme pas ; et il n’y a plus qu’à substituer », /S, y, etc. , au lieu de à, pour avoir les valeurs de 0', 0”, 0**, etc.

De cette manière, la résolution de l’équation X* — 1=0, ne dépendra que de la résolution de l’équation — 1=0, dont 1,

a, (i , y , etc. sont les racines. Or, celle-ci est d’un degré moindre que la proposée; mais de plus, comme/* — 1 est nécessairement un nombre composé, on aura les racines *, /S, y, etc. par celles

d’autant d’équations y* — i = o qu’il y aura de facteurs premiers 7T dans le nombre /* — r , comme on l’a vu dans la Note précédente (u* la).

to. Soit, par exemple, l’éqoation x 5 — i = o dont on demande les racines. Celte équation étant résoluble par les méthodes connues, on pourra comparer cette solution avec celle qui résulte de la méthode précédente.

En ôtant par la division la racine i , on a l’équation du quatrième degré

jr<-|-jc J -t-a:* + x-i-i=o,

dont les racines seront r, /■*, r 3 , r*.

Puisqu’on a ici /t=5, on trouve parla table donnée ci-dessus (n* 4) que la plus petite racine primitive est 2; de. sorte qu’on a u— 3, et que les racines dont il s’agit peuvent être représentées

par les puissances r, r a , r a , r a , lesquelles se rabaissent, à cause de r 5 = 1 , à celles-ci r, r*, r*, r 1 , en prenant au lieu de l’exposant 2* = 8, le reste de la division par 5. «

On fera donc

en prenant pour a. uue racine de l’équation y* — 1=0, de manière que l’on ait et 4 == 1.

Maintenant, pour trouver la fonction 6, il n’y a qu’à élever à la quatrième puissance le polynôme t , et le développer suivant les puissances de a, en rabaissant celles-ci au-dessous de a 4 , et celles de r au-dessous de r 5 , par les conditions et 4 = 1 et r 5 s= 1 . On trouve , par un calcul qui n’a aucune difficulté ,

où les quantités £*, jj*', etc. ont les valeurs suivantes , dans lesquelles

NOTE XIV

je mets s pour la somme de» racines r, r*, r*, r s

Ç* = 1a -f- i 3 s, = 16 -f- lar,

Ç" = a4 -f- ioj, £"’ = 16*.

Ainsi , comme s = — 1 par lu nature de l’équation en x , on aura

et la fonction 0 deviendra

Or l’équation jr* — 1 =0 se décomposant en ces deux-ci^* — 1 =0 et^ + 1=0, donne tout de suite les quatre racines t, — 1, V—ï, — V^T, qu’il faudra substituer successivement pour a . , pour avoir les valeurs de 9 °, W, fl 1 ', 8"'.

On aura aipsi

8 ' = a 5 , D" = — i 5 ao V-—ï , 8 '"=— i 5 — ao\ — 7 .

Donc substituant ces valeurs dans l’expression de r du n* 8 , et mettant s = — 1 au lieu de V$° (n* 9)1 on aura sur-le-champ

/•= i [— 1 + 1/5 + /(— iS-fao/— i)H-t/(— i 5 — 20 1/— 1)].

11. Mais on peut avoir une expression plus simple de la même racine r, en faisant usage de la méthode du n* a.ï de la Note précédente, laquelle est toujours applicable aux équations du genre que nous traitons, parce que l’exposant ft — 1 est nécessairement un nombre composé.

Supposant donc en général ft , — 1 =rw, et prenant pour a une racine de l’équation y' — 1=0, la fonction l du n* 6 deviendra de la forme

t = X' + aX" -f »*X'" + etc. + a’-'X (,) , dans laquelle