etc. r a
On formera ensuite la fonction 6 = 1*, laquelle, à cause de et* = sera de la forme
? # ■+■ *?' + 4 - * *%" 4- etc. 4- a'" 1 g'” 1 ,
et aura la propriété que les quantités ?*, f, f, etc. seront des (onctions de X , X", X ", etc. , telles qu’elles demeureront invariables, en échangeant à la foi» X' en X", X" en X'", X'" en X” etc. XW en X'.
Or on voit par les expressions précédentes de X', X", etc. , qu’en y substituant r* à la place de r, X' devient X", X" devient X"', etc. , et devient X', car X« se change en
r 4 *’ -f- r'* 1 ’ -f. r°** -f etc. -f- r“”;
mais m = /. i — 1 , et r° = r, comme on l’a vu ci-dessus
Donc les quantités Ç', g", etc. devront être des fonctions de r telles qu’elles demeurent invariables par le changement de r en /-• par conséquent , par le n° 7 , elles ne pourront être que de la forme A + B.v, A, B étant des coeflicien» qui seront donnés par la formation de ces mêmes quantités, et s dénotant la somme des racines
r + r ° + ,a ’ + ^ + etc. + r a ^\ laquelle est = par 1 équation proposée ; de sorte que les quantités g*, g', £" ( etc. seront toutes données, comme dans le cas précédent (n" 10), et l’on aura sur-le-champ, par les formules du n* a5 de la Noté précédente, «n y mettant s k la place de n, et * somme des racines
NOTE XIV
à la place du terme \fô,
« •+• t /t + •+■ etc.
X" = « 4- «’-yy + p-'yT 4 - etc.
X"' — « 4- a’~yy -f g- Ve* 4- etc.
etc.
Dans ces expressions », /S, j-, etc. sont, avec l’unité, les racines
de l’équation y — i =o et S', S", 6"', etc. sont les valeurs de fl qui répondent à la substitution de », jS, y, etc. au lieu de ».
Oh n’aura pas besoin de calculer la valeur de £*, en employant l’expression de 8 du n* 9 ? laquelle devient ici
9 = *’ + (« - i)Ç' + («•-■»)£" + («’- ,)f' + etc.
la. Le cas de t sa f> ~ 1 mérite une attention particulière, parce qu’il donne la division de la circonférence en yt parties.
Soit donc » = * * , et par conséquent * — 2 , on aura...
X' = r -1- r" * . Or, puisque a — ( est divisible par /» , et que
« est supposé une racine primitive , a 1 — i ne sera pas divisible
par ju; mais — i = (a * — i)(a * ■+• i). Donc, p étant un r— <
nombre premier, a * + i sera divisible par n, par conséquent
— i sera le reste de la division de a 1 par donc r" 1 sera égale à -i.
Ainsi l’on aura
X' = r+I, X" = S+±, X*= !*■+•£, etc.
NOTE XIV
Or on a, par les formules connues du théorème de Cotes ,
r — cos — — -+- sin — V — i (n
et , en général ,
r* = cos — 36o* -f- sin — 36o* \J — i .
Donc
X' = acos ^2- , X" ssa acos- 36o*, X* = acos — 36o‘, etc. f ’ p p
Ainsi les valeurs de X', X", X ,n , etc. sont toutes réelles dans ce cas, et donnent immédiatement les cosinus des divisions de la circonférence en fi parties.
i3. Ayant trouvé , par les formules générales du n’ n, les racines X', X", X'", etc. , il faudra poursuivre le calcul de la même manière pour arriver à la racines. On regardera donc les 7t racines qui composent la fonction X', comme les racines d’une équation du
degré 7 r , et on les substituera pour x', x'\ x"', etc. x^ dans l’expression générale de la fonction t ; on aura ainsi
t,= r+ ar a ’ + «V* + «V* + etc. + a»-'/* - *
où il faudra prendre pour * une racine de l’équation y * — i =o. De là un aura , à cause de a" = i ,
9, = «: = ç: -f. + «•?; + etc. + ,r-.ç( r .)
(J’écris ici t,, 6 , , pour distinguer ces quantités de celles que nous avons désignées plus haut par t, 6 , £ ). Comme les quantités ÇT , Çj , Ç', etc. sont en général des fonctions de x', x", x"\ etc. , qui ne varient pas par les permutations de s! en x ", ai’ en x”’, etc.,
x ^ en x' (n* 16 , Note précédente), elles seront ici des fonctions
de r qui ne varieront pas , en y changeant r en r° , puisque par ce
NOTE XIV
changement, les racines r, r a , . • . a’ a 3 ' .
tivement r , r , r , etc. r.
etc. r a * deviennent respec-
Or il n’est pas difficile de prouver , pur un procédé semblable à celui du n" 8 , que toute fonction rationnelle de r, qui aura lu
propriété d’être invariable par le changement de r eu r a , sera nécessairement de la forme
A -(- BX' ■+■ CX" 4 - DX'" -f- etc. + I1X
eu conservant les expressions de X', X", - X’", etc. du n* il.
Car d’abord toute fonction rationnelle de r peut se réduire à la forme ( n * 7).
A + Br - 4 - Cr a 4 - Dr"' -f E/“’ -f- etc. 4- «r^'j et pour que cette fonction demeure la même , en y changeant r en r a ’ ', il faut que les coefficiens des ternies qui renlérineut r n \ r“”, r a , etc. soient les mêmes que celui de r; que les coefli-
fl »+ | a
ciens îles termes qui renferment r ,r , r
etc. soient
les mêmes que celui de r a ; que ceux des termes r a , r a ,
r a , etc. soient les mêmes i|ue celui de r a , 'et ainsi de suite ; ce qui réduit la fonction à la forme que nous venons de lui assigner.
En effet on voit que chacune des quantités X', X", X'", etc.
demeure la même, en y substituant r a à la place de r; car le der-
nier terme r
de X' devient r“ = r" = r, le dern
de X" devient r“ = /•“, et ainsi des autres.
i4- Donc chacune des quantités {**, Ç', etc. deviendra, après le développement , de la forme
A H- BX' 4- CX" 4- DX"’ 4 - etc., et aura par conséquent uue valeur connue. Ainsi la fonction ô
sera connue, et l’on aura les valeurs de O 7 , 6", fl"', etc., en y substituant, au lieu de a, les w — i racines a, jS , y, etc., qui, avec
l’unité, résolvent l’équation y * — i = o. On aura ensuite pour r une formule semblable à celle du n° 8, en y mettant tt à la place
ir
de fi . — i, et X'. somme des racines, au lieu du terme v/8*. Ou aura ainsi
ir flr ▼
— x ' ~+~ v'? + i/t* + y v 4- etc.
1 5. Ou aurait aussi, si on le désirait, les expressions des autres racines r a \ r a r“ h , etc., qui composent la fonction X' ( n* n),
en multipliant dans l’expression de r les radicaux y/® 7 , V^'', etc. ,
d’abord par a* 1 , ji 7r ~ ', etc., et ensuite par a* a , *, etc. r a'" 3 , etc.
On pourrait même, sans faire un nouveau calcul, avoir égale-
ment les racines r , , etc., qui composent la fonction X",
par la seule considération que X' devient X", X" devient X'", etc., en y changeant r en r"; de sorte qu’il suffira de changer dans l’expression générale de 6, X' eu X", X'' en X 1 ", etc. , en X'.
Par la même raison, comme X' devient X'", X” devient X 1 ', etc. r
par la substitution de r a à la place de r, on pourra déduire des expressions des racines qui composent la fonction X', celles des racines qui composent la fonction X'", en changeant simplement dans l’expression générale de fl , X' en X'", X" en X**, etc., X ( ’ en X', en X", et ainsi de suite.
>6. Si le nombre 7r n’est pas premier, on pourra, en le décomposant en ses facteurs, décomposer encore l’opération précédente en d’autres plus simples.
Ainsi si vr = »'w', on ]>ourra ne prendre pour a qu’une racine
de l’équation j — i = o, en sorte que *’ = î , et la fonction l„ (n* n) deviendra
NOTE XIV
— X' + “X* -(- a'X’ 4* etc. 4-
eu supposant
x; =/•“’' + r aV +'* +r a
+ etc. -f- r
(*»—'> . . . „<»—'+■)> + etc. 4~ r ,
r 4- r 4~ etc. 4 * r
etc. ,
etc.
On fera ensuite fl, = t\ , et l’expression de 6, étant développée sous la forme
s. = ?: 4- « s : 4- «* s ; 4- etc. 4 - «Z— 1 '\
à cause de a — I, les quantités Ç” , Ç' , , etc. seront des fonc-
tions de X', X', X*> qui ne changeront pas par le changement simultané de X' en X| , de X' en X*, de X" en X", etc., en X ' ( Note précédente, a 5 ). Or on voit, par les expressions précédentes de Xj, X*, etc., que ces changemens ont lieu en changeant
simplement r en r a . Donc les quantités Ç' , etc., regardées
comme des fonctions de r devront être invariables par le changement de r en r a ; par conséquent elles seront nécessairement de la forme
A 4- BX' 4- CX" 4 - DX'" 4 - etc.,
par ce qu’on a démontré ci-dessus ( n° i 3 ).
Donc, puisque les valeurs de X', X”, X'", etc. sont déjà conuues par l’opération précédente , celles de , etc. seront connues
anssi. Ainsi la fonction 6 , sera connue aussi , et de là on aura les valeurs des »' racines X', X', X*, etc. par des formules semblables à celles du n* 1 1 , en y changeant » en»', X en X, , fl en 8 ,, et
prenant pour <x, y, etc. les racines de l’équation^’ — i = o, excepté l’unité.
NOTE XIV
On remarquera aussi que s étant la somme des racines
X', -j- X,, -f- X’ -f- etc. sera ici égale à X'.
17. La valeur connue de X[ ne donne que la somme des tt j racines r, r a , r° , etc. r a ; il faudra, pour avoir la valeur de r, regarder encore ces it' racines comme données par une équation du degré w' , et faire de nouveau
t,—r-j-ar +a‘r a + etc. 4- a. 'r 0 ,
en prenant pour <1 une racine de l’équation y — 1=0; on fera ensuite
