r. + «ç; + *•?; + etc. + *'-■ &'~ i

et l’on suivra le même procédé que nous avons exposé dans le n* i 3 et suit. Que si le nombre 7r‘ est composé de manière que l’on ait V = y"yr 11 , on pourra , pour éviter le développement d’une

puissance trop haute , prendre pour a une racine de l’équation

y — 1=0, ce qui donnera à f. la forme .

L = x; + *x: 4 - «-x: 4- etc. -f cc-'—Xp,

et l’on poursuivra le calcul comme ci-dessus, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un dernier facteur indécomposable.

L’avantage de ces décompositions consiste dans l’abaissement des puissances auxquelles il faut élever les polynômes t pour avoir les fonctions ô, ce qui diminue la longueur du calcul; et ensuite dans l’abaissement des radicaux qui entrent dans l’expression delà racine r, ce qui simplifie cette expression.

Telle est la marche générale et uniforme du calcul; nous allons l’appliquer à quelques exemples pour la faire mieux concevoir , et nous reprendrons d’abord celui de l’équation x* — 1=0, que nous avons résolu ci-dessus (n* 10).

18. On a ici ft— 1=4= a. a; ainsi on fera r = a, -a - = 3 ( n* 11). On prendra pour a une des racines de l’équation y * — 1 = o: de sorte qu’à cause de a* = 1 , l’expression de la fonc-

tion i du n* 10 , détient

HOTE XIV

< = X' + *X", où X'=r-f-' 4 , X" = r* -J- r\

De là on trouve, en faisant le carré de t, à cause de a* = i ,

fl = /• = £•-+-<*£', far + X" 1 , g' = aX'X".

Substituant les valeurs de X', X" en r, et développant les carrés et les produits, en rabaissant les puissances de r au-dessous de r 1 , à cause de r 5 = i , on trouve

Donc, comme r + r* -J- r 3 -f- r* somme des racines est = — i par l’équation, on a g’ = 3 et g' — — 2 . Ainsi l’expression générale de 9 deviendra 8=3 — a».

De là, à cause que les valeurs de <* sont i et — i, en faisant et = — i , on aura 8=5; et comme

s = x! -f- jr" -f- x'" -f-'*” = — i , les formules du n* 1 1 ci-dessus donneront

vi — 1 + p5

On aura ainsi par la valeur de X' celle de r -f- r 2 , somme de deux des quatre racines de la proposée. Pour avoir la racine r en particulier, on fera de nouveau un calcul semblable, en considérant les deux racines r et r 4 comme racines d’une équation du second degré.

On fera donc f, =: r -f- ar 4 , a. étant, comme ci-dessus, racine de j* — i =o; et de là, on aura