g\ + *g [ , où £ = r* + r*, et g[ = ar
Ici, l’ou voit tout de suite que les valeurs de et g\ sont donnée» au moyen des valeurs déjà connues de X' et X". En eflét , à cause de »•*==!, et par conséquent r* s= r*, on a g\ = r* -f- r’ = X 1 ' et
NOTE XIV
£' = a. Donc on aura 8, =X W + aa; de là, en faisant a=— 19 on aura fl' sss X" — a, et la formule du n* 1 4 donnera, ?r étant = 2,
r X' + y/ÇX'-a)
Enfin , substituant ici les valeurs X' et X" trouvées ci-dessus , on aura
et par les remarques du n° 10, on aura aussi
et clianj’eant X' en X", X" en X',
d’où l’on aura , par les substitutions des valeurs de X' et X",
. — 1 4- y/ 5 — y/ (—ia—2 y/ 5 )
— 1 — t/ 5 -f y/(— io-fat/ 5 ) •
Comme 5 est un nombre premier, ces valeur» de r, r*, r*, r* seront les quatre racines qui , avec l’unité , résolvent l’équation x 5 — 1=0 (n* 3 ).
19. Les «pressions de ces racines coïncident avec celles qu’on trouve eu résolvant l’équation a * — 1=0 par les méthodes connues. Car on a d’abord, en divisant par x—i ,
équation qui, étant mise sous la forme x* -f- ^ 4 - x —4— — 2-f-r 1=0,
devient m‘ 4 " «■— > =0, par la substitution de x + ~ = 4 On a
NOTE XIV
ainsi l’équation x‘ — xu -f- 1 = 0, laquelle donne
ensuite l’équation en u donne u = — — ; de sorte qu’eu substituant celte valeur, on a
— 1 ±[/ 5 ± v/(— toqrit/S)
où les signes supérieurs et inférieurs de \/5 doivent se répondre, mais sont indépendaus de ceux de l’autre radical ; de sorte qu’on a les quatre racines par l’ambiguitc des signes des deux radicaux.
20. Passons à l’équation x' — 1 =0, laquelle étant dégagée de la racine 1 , devient
dont les racines seront r, r*, r*, r*, r 5 , r*.
La plus petite racine primitive pour le nombre 7 est 3 , d’après la table du n* 4 j ainsi l’on aura la progression 3 *, 3 ‘, 3 *, 3 5 , 3 *, 3 *, savoir, 1, 3 , 9, 27, 81, 243, dont les ternies, étant divisés par 7, donneront les restes 1, 3 , 2, 6, 4 > 5 , qu’on prendra pour exposans de r. On aura ainsi, pour les racines de l’équation proposée, les termes r, r 1 , r*, r*, r*, r 5 , qu’on prendra pour x 1 , x xT, etc.
21. Nous remarquerons ici que pour avoir les exposans de r qui doivent former toutes les racines, il n’est pas nécessaire d’élever la racine primitive aux puissances successives, et de diviser ensuite ces puissances par le nombre premier auquel la racine primitive se rapporte : il suffit de multiplier chaque reste par la racine primitive, et de ne retenir que le reste de la division par le nombre premier donné. Ainsi en commençant par 1, on a, dans le cas présent, les deux premiers termes 1, 3 ; multipliant 3 par la racine primitive 3 , et divisant par 7, on a le reste 2 troisième terme ; 2 multiplié par 3 donne 6 quatrième terme ; 6 multiplié
NOTE XIV
par 3 et divisé par 7 donne 4 ; enfin 4 multiplié par 3 et divisé par 7 donne 5 . Si l’on voulait continuer en multipliant 5 par 3 et divisant par 7 , on retrouverait l’unité et successivement les autres termes déjà trouvés.
aa. Maintenant on fera
l = r + ar 3 + a*c* + aV -f- aV -f- a 5 /-*,
en prenant pour f a une racine de l’équation jr' — 1=0; ensuite on formera (a fonction 0 = £® j mais comme l’exposant 6 = a. 3, on pourra simplifier le calcul et les résultats, par la méthode du n’ 11, en ne prenant d’abord pour a qu’une racine de l’équation y % 1=0; ce qui , à cause de «’ = 1 , réduira l’expression de t a celle-ci t X f -f- aX”, dans laquelle
on aura ensuite
6 = I* = Ç* •+•«£', où Ç* = X'* 4- X"*, £' = aX'X", et l’on trouvera après le développement, à cause de /•»=?,
= 3(r 4 . r» + r* + r* + r = a (3 + r H-r 3 + r*-fr*-{-r<-f-r 5 ).
Or r-f-r 3 -j-r‘-j-r‘-{-r 4 -{-r s , somme des racines, est = — 1 j donc ?* = — 3 , §'=4, et la valeur de fl se réduira à 6 = — 34 ~ 4 *. De là , en faisant a = — i, on aura 6'= — 7, et l’on trouvera sur-le-champ les deux racines
a 3 . Considérons maintenant les trois termes de l’expression de X' comme les racines d’une équation du troisième degré : prenant « pour racine de l’équation y 3 — 1 = 0, on fera
ensuite , en faisant
ou trouvera , à cause de *’=i et f = i,
savoir ,
«le sorte qu’on aura
donc eu nommant * et 0 les deux racines imaginaires de y*— 1 savoir, «lejr* + J-+- 1 =°> lesquelles sont
et faisant
0' « 6 + X" + 3aX' + 3a*X",
0*= 6 + X" + 3j3X' -f 3/MT',
on aura (n* *4) » e “ faisant 7r = 3,
34 . Venons à l’équation X " — i = o, laquelle étant divisée par x 1 , s’abaisse au dixième degré et devient
On voit par la table du n* 4 > que ' a plus petite racine primitive pour le nombre 1 1 est a ; ainsi la suite de» rwtes qu’on trouvera facilement par le procède du n* 31 , sera ici 1, 3 , 4i d, 5» *°> 9» 7* 3» 6> d « sorte que 1a série des racines sera
dont la somme sera par conséquent =— i, et l’on aura pour t celte expression générale
t = r + ctr 4 - et'r* 4- a’r* + *V + <»V -f- «V + «V+iV + s>i i ,
laquelle, en prenant pour a une racine de l’équation jr'* — 1=0, donnera, à cause dej a'* = t ,
8±r=?' + <*£' 4 - 4 - *T' 4 - etc. + a*|'%
d’où l’on tirera la valeur de r par la formule générale du n* 8, en y faisant fl = 1 1.
!V?ais pour se dispenser d’élever le polynôme t à la dixiéme puissance, on pourra décomposer l'opération en deux autres correspondantes aux deux facteurs a et 5 du nombre it — i = io, parla méthode du n* n.
Prenons d’abord pour a une racine de l’équation jr m — i = o, de sorte que l’on ait a* = t . Par là l’expression de t sc réduira à celte forme plus simple ,
en faisant , pour abréger ,
X' as r -|- r* -f- r 5 -f- r® -f- r J ,
et la valeur de 6 sera
fi =. <* =3 X'* 4- X"* + aetX'X".
En développant les carrés des fonctions X' et X", et rabaissant toutes les puissances de r au-dessous de r ”, à cause de r"= i, on trouve
X'* = aX' 4 - 3X”, X"* = aX" 4- 3 X',
et par conséquent X'* 4- X"* = 5 (X' 4- X") = — 5 , à cause que X' 4- X" est la somme de toutes les racines.
NOTE XIV
ag6
On trouve de même, par la multiplication,
On aura ainsi 8 = — 5 + 6« , et faisant a = — i , on aura
6' = — ii.
Donc , on aura par les formules du n” i ■ , en y faisant r = a ,
a5. Ayant ainsi les valeurs de X' et X", pour avoir celle de r, il faudra considérer les cinq termes qui composent la quantité X' comme les racines d’une équation du cinquième degré, et pu^que 5 est un nombre premier, ou ne pourra employer que l’expression générale de t,
t = r -f- «r* -f. tfr 5 + a’r* + a*r 3 ,
en prenant pour a une racine de l’équation — 1 = o. Ensuite il faudra fuire
8 = < s = £* + <*g' -f- + ct’g'" +
et il ne s’agira que de trouver les valeurs en r des coefBciens £*, etc. , par l’élévation de l’expression de t à la cinquième puissance , en ayant soin de rabaisser les puissances de a au-dessous de a}, et celle de r au-dessous de r", à cause de a s = i et r"=i. Par un calcul qui n’a de difficulté qu’un peu de longueur , et sur l’exactitude duquel on peut compter, j’ai trouvé, en retenant les expressions de X' et X 1 ' en r du n* précédent ,
£* = tao + 3iX' + 7 oX",
= ioo + 6oX' + 45X", g" = 5o + 85X' -f- 3oX",
£'"= 6oX' ■+■ G5X",
£■» = 5oX' + 75X".
Comme les valeurs de X', X'' sont déjà connues, par l’opération précédente , l’expression de la fonction de 8 ne présente plus rien d’indéterminé , et elle donnera sur-le-champ la valeur de la pre-
NOTE XIV
mitre racine r, par la formule générale du n* i/j, en y faisant t =5, et prenant pour et, /3 , y-, cf les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent lcqualion y 1 — i = o , et pour ô', 0", 0"', 8” les valeurs de 0 qui répondent aux substitutions de a, j9, y, <f à la place de a dans l’expression trouvée pour 0.
a6. Si dans les valeurs de £*, etc. , on substitue celles de X' et X", données dans le n* a 4, on a
Si ensuite, au lieu des racines j9, y, «f, on substitue les puissances et*, a 3 , a 4 de la racine a , qui le» représentent, à cause que 5 est un nombre premier , et qu’on rabaisse les puissances de a au-dessous de a ( , on aura
6’"= f -f. * 3 g' -f- aï" + a 4 £'" -f.
et l’expression de la racine r sera
i(-i + v'- 3 0+^'9'+V/6 , + 1/S 5 +V/5 tî
où il n’y aura plus qu’à mettre pour a, a*, a 3 , a* les valeurs de r, r*, r 3 , r 4 , .que nous avons données plus haut (n* 18).
37. On trouverait par les mêmes principes les valeurs des puissances de r qui forment les autres racines de l’équation x“ — 1=0, excepté l’unité.
Et d’abord on aura les valeurs des racines r 4 , r*, r*, r 3 , qui entrent dans la fonction X', en multipliant , dans l’expression de r,
NOTE XIV
les radicaux v'S', Vv', Vo , VÔ‘ , ) respectivement par a 4 , /3 4 , y 4 , J 1 *, pour la racine r 4 ; par /S*, y’, «P, pour »■*; par et*, /3*, y‘, J u , pour r 9 ; et par a, (3 , y, ef, pour r*, c’est-à-dire par et 4 , et*, et*, a; par a 1 , a, et 4 , a*; par a*, a 4 , et, a s ; et par a, a*, a 3 , a 4 .
Ensuite , pour avoir les valeurs des autres racines r*, r*, r 1 *, r 3 , r‘, qui entrent dans la fonction X", il n’y aura qu’à changer dans celles de r, r 4 , r 8 , r*, r 3 , X' en X", et X" en X'; ce qui ne demande que de changer le signe du radical yé — 1 1 dans les expressions de £°, etc.
a8. Je donne ici d’autant plus volontiers ces expressions des racines de l’équation x 11 — 1 = 0, qu’elles n’ont jamais été données, et qu’elles n’auraient pas même pu l’être par les méthodes connues qui demandent la résolution d’une équation du cinquième degré.
11 y a cependant une exception à faire à ce que nous venons de dire; car on trouve à la fin du Mémoire de Vandermonde , sur la Résolution des équations , dont nous avons parlé dans la Note précédente , l’expression de la racine d’une équation du cinquième degré, d’où dépend la résolution de l’équation x 11 — 1=0; car cette équation étant divisée par x — 1 , devient
x'* -f- x} -f- x* -f- etc. -f- 1 = o ,
laquelle étant du genre des réciproques , peut s’abaisser au cinquième degré, par la substitution de x-f-^=n, et l’on obtient par les formules de la Note X (n* 1 4) , cette équation en u,
En prenant u négativement , ce qui change les signes de tous les termes pairs , on a l’équation résolue par Vandermonde. Cet auteur ne donne l’expression dont il s’agit, que comme un résultat de sa méthode générale, sans indiquer en détail les opérations par lesquelles il y est parvenu, et personne, après lui, ne s’est
NOTE XIV
occupe, que je sache, à vériGer cc résultat, qui paraît même être resté ignoré.
aç). La valeur que nous venons de trouver pour la racine r de l’équation x" — 1 = 0 , pourrait servir à cette vérification; mais on peut parvenir directement à un résultat comparable à celui de V^andermonde , en prenaut pour a , , dans l’expression générale de t du n* a/j, une racine de l’équation J*— \ —o, au lieu de l’équation j‘ — 1=0 que nous avons employée , ce qui est permis , puisque a et 5 étant les facteurs de io, on peut partir de l’un ou de l’autre, à volonté.
3o. Faisant donc <x s = i , l’expression générale de t (n* a4) * deviendra
* t = X' 4- *X'' + **X"' 4- * S X” + <*‘X% dans laquelle
et l’on regardera maintenant les quantités X', X", etc., comme les racines d’une équation du cinquième degré ; c’est le cas- que nous avons considéré en général dans le n s i a.
On fera donc
et l’on cherchera les valeurs de jjf*, Ç”, etc. en fonction de r, par le développement de la puissance cinquième de t , en y rabaissant continuellement les puissances de * au-dessous de <t®, et celles de r au-dessous de r 11 , à cause de a.* = i, et r l, s=i. Le calcul n’a d’autre difficulté que la longueur. Yoici les résultats que j’ai trouvés, et dont je crois pouvoir répondre.
En faisant , pour abréger ,
on ■
3oo
NOTE XIV
Ç" = ao 5 o -f- 1795 s , =s 1800 4- 1820 s ,
Or s est la somme des racines qui, par la nature de l’équation du dixième degré en x , dont le second terme est x * , doit être égale à — 1 .
Faisant donc s = — 1 , on aura
Ainsi la valeur de 0 sera
9 = — 196 — i 3 oa 4 * 255 a* — aoct* 4- 90a 4 . '
En mettant successivement à la place de a les quatre racines a , fi, y, J' de l’équation .a 4 — |=o, on aura les quantités 0 ',
0'", 0”, et si l’on prend , comme ci-dessus (n* 26) , pour ces racines les puissances a, a*, a s , a 4 , dont les valeurs sont les memes que celles de r, r*, r*, r 4 , du n* 18, on aura, à cause de a* = 1,
0 ' = — 196 — l 3 oa 4- 255 a* — aoa s 4 ” 90®S
0 "l = — 196 — i 3 oa* 4 " 255 a 4 — 20a 4 - 90®’,
0 "'= — 196 — i3oa J 4- a 55 a — 20a 4 4* 90a*,
0 ”= — 196 — i 3 oa 4 4 - a 55 a s — 20a* 4- goa ,
et la formule générale du n* 11, donnera tout de suite , en faisant r = 5 et s = — 1 ,
v , — 1 + fo+v'ï s +v'ÿ > +Vï r '
Cette quantité X' est =r4- r l * = r+^ l à cause de r* 1 = 1 ; c’est la valeur de acos^- (n* 12); c’est aussi celle de la racine u de
l’équation en u du cinquième degré (n* 28) , puisque r est la racine de l’équation x" — 1 = o. Ainsi l’expression précédente, prise négativement, doit s’accorder avec celle de Vandermonde.
NOTE XIV. 3 0I
3i. Pour pouvoir les comparer facilement, nous substituerons dans les expressions précédentes de fl 7 , 6", fl'", fl”, les valeurs de a., a*, « 3 , «■*, qui sont les memes que celles de r, r*, r 3 , r* du n* 18.
En faisant, pour abréger,
on a
et pour s’assurer de la justesse de ces expressions , il n’y a qu’à faire le carré de — i-f- v/5-f-m, qui est 6—2 \Z5*H n *-J-x(\/5— or en faisant passer sous le signe radical de m le coefficient V'S 1 élevé au carré, on trouvera ( \/5— 1) m= an; de sorte qu’en substituant la valeur de /»*, on n
On peut vérifier de même les autres puissances de a.
Faisant ces substitutions , on trouve
6" — i ( — 979 + a 7^ V/5 — 375m — aaon),
fl'" = i ( — 979 4- 375 \/5 4- 37 5 m 4- 220/1) ,
où l’on remarquera que les coefiiciens 979, 375, 220 sont tous divisibles par 1 1 et donnent pour quotiens 89 , 25 , 30 , de sorte que les quantités S', fl", fl'”, fl” peuvent être exprimées plus simplement ainsi :
0' = rf ( — 89 — i 5\/5 — 20/n 4- 35 b),
fi™ = T - ( 89 4 - 35 \/5 4 - 35/71 4 - 30 B) ,
fi” = t 1 ( — 89 — s5 V5 4" 30/» — o5n).
NOTE XIV
3oa
3a. Pour rapprocher davantage nos expressions de celles de V andermondc , nous emploierons ces transformations :
en supposant
P = V{~ 5— a \/5), q = t/(— 5-fav/5),
lesquelles se vérifient en faisant les carrés , et en observant que pq — — , parce que le produit des deux radicaux réels et po-
sitifs i/(5 4 - ay^ô) > j/(5 — ayO)) est \/5 ; donc
\/5=p x q V— "ï = — pq-
Par ces substitutions, les quantités (f, 8 ", 8 "', 8 ,T deviendront
8 "'= V (- 89 -f- a5 VB + 45/> -f 5 ? ),
33. Pandermonde a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences, de l’année 1771 (page 4 « 6 ), pour la résolution de l’équation
a * — x * — 4X 3 + 3** 4- 3x — 1=0 cette expression de la racine
dans laquelle
A"* = (89 - a5 VS - 5y - 45/0 >
A”= t/-ÿ- (89 — a5 \/5 4- 57 4- 45/a) , en conservant les valeurs de p et q supposées ci-dessus.
NOTE XIV. 3o3
On voit que les expression* de A'" et A” coïncident avec celles
de >/:TF et \/ — 8'', et que les expressions de A' et A' ne dif-
fèrenl de celles de \/ — 0' et V — fl” que par l’échange des quantités p et q entre elles , ce qui ne tient qu’au signe du radical a sous le radical carré. A cette différence près , qui peut venir d’une faute d’impression dans le Mémoire de V andermonde, ses résultats s’accordent parfaitement avec les nôtres , puisque la racine de son équation eu x répond à la racine de notre équation en u prise négativement , et que tout radical cinquième s s
V — fl est la même chose que — VA- On peut donc dire que y andermonde est le premier qui ait franchi les limites dans lesquelles la résolution des équations à deux termes se trouvait resserrée.
34- Pour ne laisser aucun doute sur la correction à faire à la formule de V andermonde , nous allons prouver qu’elle résulte des principes mêmes de sa théorie. En effet, si l’çn désigne, comme lui, par d, d', r"', r” les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation j: 5 — i =o, il est facile de voir, par la formule générale de l’article YÏII de son Mémoire, que la quantité A ne peut être que de la forme
V/(A + Br' + (/ + Dr"' -f. Er>’);
et qu’en prenant cette expression pour l’une des quantités A', A", A'", A”, les expressions des trois autres doivent résulter de celle-ci, par la substitution de r*, r 1 , r 4 à la place de r; les quantités A , B, C, D, E étant des fonctions des racines de l’équation à résoudre, indépendantes des racines d, r", d", r”.
Or, par les relations données dans le même article entre ces dernières racines , on a
r" = d ", r"* = r”, d"‘ = d', r* =/, r ' » = dd" = r*’, d'* =s r"r” = d", d "* d* = dr" = d', d'< d'd“ = d, d "*
= d'd" = d, d = dd' = r", es dd" — r”, r*= d'r"— d".
Donc, les quatre expressions dont il s’agit deviendront
/(A -f- B/’' + Cr" + Dr"' + E>") ,
l/(A 4- Br"' 4 Cr"’ 4 * Dr" 4- Er' ),
V/(A 4- Br” -f- G"' 4- Dr* 4- Er") ,
/(A 4- Br" 4 - Cr* 4- Dr” 4- Er"').
35 . Dans l’article XX 1 I 1 du même Mémoire, on trouve pour les racines de l’équalion x 5 — 1 =0, ces expressions , dans lesquelles j’introdnis, pour plus de simplicité, les mêmes lettres p et q employées ci-dessus ,
— -tJ ~ +
En prenant la première de ces racines pour r', de sorte que l’on ait
r' = i (— 1 4- Va 4- 4- 9 ) ,
il faudra , d’après les formules du n° 3 1 , en prenant et pour r', et substituant p-\-q, p — q pour m, n , supposer
Substituant ces valeurs dans les expressions ci-dessus , elles se changeront en celles-ci :
(F -}■ G V5 4 - H)» 4 - Ky),
Vi (F — G V/5 + R p — H 9 ),
(F - G \/5 — Rp 4 - H q),
^(F + G V'5 4- Hp K f ) ,
NOTE XIV
en faisant, pour abréger,
