Prenons pour second exemple l'ëquation
On aura encore ici 171=: 3, et par conséquent /i=:3; ensuite A:;=o, B= — 7, C = — 7; d'où Aj = o, A,= i4, A3 = — ni, A^ssgS, A5= — 345, Ae = 833; et de là, ^4 = 42, ^. = 882, ^3=18669, et enfin a=4^9 ^=44'> ^=49! ^^ sorte que Fëquation en v sera
li*— 42^'+ 44**^ — 49 = o*
Puisque les signes de cette équation sont alternatifs, c'est une marque que la proposée peut avoir toutes ses racines réelles (n^ 16); et comme d'ailleurs cette équation n'est point divisible par v , il s'ensuit que l'équation en x n'aura point de racines égales (n^ i5).
On fera maintenant (n^ 1 1) u = -, et ordonnant l'équation par rapport à^, on aura
Le plus grand coefficient négatif étant 9, on pourrait prendre /= 10 (n^ 1 2) ; mais on peut trouver une limite plus rapprochée en cherchant le plus petit nombre entier qui rendra positives ces trois quantités
et on trouvera que l=:g satisfait à ces conditions ; de sorte qu'on aura A:= 3 (n"" 1 1) , et par conséquent A = j.
mm
On mettra donc (n® i3, 2"".) dans l'équation proposée 3 à la place de x, ce qui la réduira à celle-ci :
dans laquelle il n'y aura plus qu'à substituer les nombres naturels o, I, 3, etc. à la place de x. Or, suivant la méthode du n^ i3 (3^.)? on trouve que la série des résultats ne contient que deux variations de signes, lesquelles répondent à â? = 4, 5,6; de sorte que l'équation proposée n'aura que deux racines positives, lesquelles tomberont, l'une entre les nombres | et f , et l'autre entre les nombres f et f ;
34 DE Là RÉSOLUTI017
d'où l'on voit que la valeur entière la* [Jus approchée de l'une et de l'autre sera i (d? 2).
Faisons maintenant x négatif pour avoir aussi les racines négatives (n^'4)i^^ l'équation; se 4)hangera en
laquelle ayant son dernier terme négatif y. aura sûrement une racine positive (n* 3), et il est clair qu'elle n'en aura qu'une seule, puisque nous avons déjà trouvé les deux tiutres ; ainsi on pourra d'abord trouver la valeur entière approchée de cette racine, en substituant à la placp de. a: les nombres o, 1,2, etc. jusqu'à ce que l'on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires (u^ 3) : or^ on trouve que ces substitutions sont a: = 3 et x =4; ^^ sorte que 3 sera la valeur entière la plus approchée de x dans l'équation précé* dente y et par conséquent de •— x dans la proposée.
Ayant ainsi trouvé que l'équation a trois racines réelles, deux posa-*' tives et une négative, et ayant trouvé en même temps leurs valeurs entières approchées, on pourra approcher autant qu'on voudra de la vraie valeur d^ chacune d'elles par la méthode du chapitre III.
G)nsidérons d'abord les racines positives , et faisons dans l'équation
ar*— 7X 4-7 = 0, a:=i4--, elle deviendra celle-ci :
laquelle, à cause que i est la valeur approchée de deux racines, aura nécessairement (n* 19, a*.) deux racines plus grandes que l'unité.
J'essaie d'abord si je peux trouver les: valeurs approchées de ces deux .racine^ par la substitution des nombres lentiçrs o, i, 2, etc., et comme il n'y a que le terme 4/* de négatif, il suffira (n® i3, i^.) de pousser les substitutions jusqu'à ce que Ton ait j<'^=ou > 4^*; c'est-àdire jusqu'à 7" = 4 • or, en faisant j^=:o, i, a, 3, 4) j'ai les résultats I, I, —I, I, i3; d'où je conclus que les racines cherchées sont, l'une entre les jiQinbres i et a, et l'autre entre les nombres 2 et 3^ de sorte que les valeurs approchées de jr seront 1 et 2.
On fera donp, 1*. j^c= 1 + -, et l'on aura a'-—az*— 3+ i s=so,
équation qui n'aura plus qù'iine racine réelle plus grande que l'unité (n^ ig, a^.); ainsi on supposera successivement zz=i j, 3, etc. jusqu'à
ce que l'on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signes contraires : or, on trouve que zzsza donne — ^ i , et 2 s= 3 donne + 7 ; donc 2 sera la valeur entière approchée de z.
On fera donc 2=^2 + -, et substituant, Ton aura, en changeant
les signes , 11' — 3tt* — 4" — ^ =0.
On supposera de même 11= i, a , etc. , et l'on troxnrera que la valeur entière approchée de u sera 4*
On fera u = i -I — .et ainsi de suite.
a^ On fera^=a-f-'> 6t substituant dans Féquation précédente en j^, on aura, après avoir changé les signes,
cette équation n'aura, comme la préoédente- en z , qu'une seule racine réelle plus grande qi^e' l'unité; de sorte qu'il n'y aura qu'à &ire z=i, 2 y etc., ce qui donne les résultats -^i> 7; d'où l'on conclut que I est la valeur entière approchée de ».
On fera donc 2= i -f~ ' 9 et l'on aura, en changeant les signes ,
II» . 3||* — . 4u — - I = o;
d'où l'on trouvera, de la même manière que ci-dessus, que la valeur entière approchée de u sera 4*
Ainsi on fera 21 = 4 *f* ~~9 ^^ sÀnsi de suite.
Donc les deux racines positives de l'équation proposée seront
or sss I H~
4 + eta, a: = 1 -h —
4+ etc.
D'où l'on tirera, si l'on veut, des fractions convergentes, comme dans l'exemple précédent (n^ 2^ et ^4)*
Pour trouver maintenant la valeur approchée de la racine négative
on reprendra Féquatiou ^*— ^x*— 7 = 0, dans laquelle on a déjà
trouvé que la valeur entière approchée est 3 ; ainsi on fera ^= 3 -f-^9
ce qui donnera , en changeant les signes ,
et comme cette équation ne peut avoir qu'une seule racine réelle plus grande que i (n"" 19 , !2^.), on en trouvera la valeur approchée en £iisant j^ss I, a, etc. jusqu'à ce que l'on rencontre deux résultats consécutifs de signes contraires, ce qui arrivera lorsque jr = ao, 21 ; de sorte que la valeur dont il s'agit sera 20.
On fera donc ^ = ao -|- - , etc.
De cette manière, la racine négative de l'équation proposée sera
, I ao +
3 + etc.
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i^
iVlfl»(W'WVVVMVVVW\Vt l V>IV> flt¥yW¥ WWIfWtlT^
