CHAPITRE IV

Applications des Méthodes précédentes à quelques

Exemples.

;i5. Jb prendrai pour premier eiemple réquation que Newton a résolue par sa mélhode , savoir :

Je commence par chercher par les formules du n"* 8 l'équation en u qui résulte de cette équation ; je fais donc /7i = 3,A = o, B=. — 2,

C=5j j'aurai /i=-^ = 3, A, = o, A.=4> As= i5, A4=8,

As=5o, Ae=9i; donc a, = 13, ^i.= 72,^13 = — 1497) «^ de là as=: la, 6 = 36, £? = — -643; de sorte que l'équation cherchée sera

G>mme cette équation n'a pas les signes alternativement positifs et négatifs, j'en conclus sur-le-champ que l'équation proposée a nécessairement deux racines imaginaires , et par conséquent une seule réelle (n« 16).

Ainsi les n'ombres à substituer à la place dé x, seront les nombres naturels ô, i, a, 3, etc. (n*' 6),

Je suppose d'abord x positif, et je cherché la limite des valeurs

de X par les méthodes du n^ la, je trouve V^a-|- t/5< 3; ainsi 3 sera la limite cherchée en nombres entiers; de sorte qu'il suffira de fidre successivement x=:o, = i, =a, =3; ce qui donnera ces résultats : —5, —6, — - 1, -|-i6j d'où l'on voit que la racine réelle de l'équation proposée , s^ entre les nombres a et 3 ; et qu'ainsi a sera la valeur entière la plus approchée de cette racine Cn^ a).

Je £ûs maintenant, suivant la méthode da chapitre UI, x=sa-|- -, 1*91^ ra 'scdiAltQatit M oniomiiiiit ics tmncs pw Tflpport "i^y FétjintkMi

dans laquelle j'ai [change les ngnes pour rendre le premier terme positif.

Cette équation aura donc nécessaicement une senle racine plus grande que Tunité (n^ 19) ; de sorte que pour en trouver la valeur ap^oodliëe, il n'y aura qu'à substituer les nombres o, i, 3, 3, etc. jusqu'à ce qœ Fou trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signes contraires.

Pour ne pas Ëdre beaucoup de substitutions inutileS| je r em arqu e qii^en ùàsantjr=zOy j'ai un résultat négatif, et qu'en disant j^= 10, le ré* sultat est encore négatif; je commence donc par le nombre 10, et je Ëiis successivement j^=s 10, =ti> etc., je trouve d'abord les résultats — 61, +54) etc.; d'où je conclus que la valeur approdiée de jr est lo; donc ^=10.

Je ûds donc jr:ss lo-f*-, j'aurai l'équatkm

ÔIZ*— - 94^'— 302 — • I

et supposant successivement z:=st^ =3, etc.^ j'aurai les résultats — 54f +71 > ^te.; donc r= i.

Je feîs encore « = i + j, j'aurai

54ii*H- aSiif — Sgu — 6r

et si;qp»posant ii=:i,=sa, j'aurai les résultats — 7I9 +2Q3y etc.; donc 5= I, et ainsi de suite.

£& continuant de cette manière, on trouvera les sombres 3, 10, 1 , 1 , 3 , 1 , 3^ 1,1, I a , etc. , de sorte que la racine cherchée sera exprimée par cette fraction continue

a »f> «tin.;

DES ÉQUATIONS BUHÉBIQUES. 34

d'où l'on tirera lea fractions (q^ a3)

a 91 a3 44 ïï* *^ 576 731 i3o7 1641 5 .

1' w» Tî* S* 3f W '^' ^ 64' 7»37' ^>

lesquelles seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de x.

La dernière fraction ^ff- est plus grande que la racine cherchée }

mais l'erreur sera moindre que >,g^y (p^ ^3, a^), c'esl^à-dire moindre

que OyOOOOOOOi63 ; donc, si on réduit la fraction ^^f- en fraction décimale, elle sera exacter jusqufà la: septièese décimale ; of, en faisant la

division, on trouve ajOg^55i4B65 ; ainsi, la racine cherchée sera

entre les nomlires 2,094^5149 et 2,094^5147-

Newton a trouvé par sa méthode la fraction 2,og455i47 {^vcQrez sa Méthode des suites infinies)'; d'où l'on voit que cette méthode donne dans ce cas un résultat fort exact : mais on aurait, tort de se promettre toujours une pareille exactitude»

a6. Quant aux deux aistres racines de la même équation , nous avons déjà vu qu'elles doivent être imaginairea : néanmoins y.sloa voulait en trouver la valeur, on le pourrait par la méthode du n^ 17.

Pour cela, on reprend)ra l'éqoatioir en* ci tiDuvée ci-dessus, et en y changeant u en — *fv, et changeant ensuite tous les signes, on aura

11^+ i!iTV*+ 36w — 643 = o,

et il. ne a'agira plus que de chercher une racine réelle et. positive de cette équation. Or, puisqu'elle a son dernier terme négatif ^^ elle aum nécessairement une telle racine , dont on pourra trouver la valeur eik^ tière la plus approchée par la.aubsIitutIom suceesttye des nombres naturels o, 1, :2, 3, etc. (n^ 3). En eSet^enL £sMsaak ivsbS, on aura le résultat —38, et en &isant fv=s6, on aura -f- aa i ]^ ainsi la valeuc entière la ptùs'approchée de lia racine positive dé cette équation sera 5.

On fisra donc maintenant fiiss55+ -9 et en> fiiiU^tituant^ on aurai , après avoir changé les signe»,

38a* — a3iu' — 27a — 1 =3 o.

Faisant successivement iisco, r^.a, etc., on trouvera pour tt=i6 et 11SS.7 lêa résultats "— ^271, 4*i525; donC' & sera là valeur entiife approchée de u.

3s DE LA EÉS0LUTI09

Od fiera donc v :=6+ -, et Ton «m, en sobstitnant et dangeani

lessi^ne»,

En faisant saccemirement jr=:Oy i, 2, etc., on troorera des résahals négatift josqu'à la supposition de x=6y qui donne 8837 pour lésoltat ; de sorte que 5 sera la iralear entière approchée de x.

On fera donc jr=: 5 + -, sobstitnant et rédinsant, on aura

io53;^— 68337* — 37607^ — 371 = o,

et Ton trouvera 6 pour la Taleur approchée de^, et ainâ. de suite.

De cette manière, on approchera de plus en plus de la Taleor de fv, lar|uelle se trouvera exprimée par la firaction continue

6 + etc.; d'où l'on tire ces fractions particulières

ï' 6^' TT' i^* ®^^-

Coooaissaot ainsi u^, on aura (n® i7)j3 r= ^^* ainsi on connaîtm /S.

On substituera maintenant a -f- i^ 1/ — i à la place de x dans

l'équation proposée; et fiiisant deux équations séparées des termes

tout l'éels , et de ceux qui sont affectés de |/ — r , on aura les deux

équations

On cherchera le plus grand commun diviseur de ces deux équations ' et on poussera seulement la division jusqu'à ce que l'on arrive à un reste oii a ne se trouve qu'à la première puissance (numéro cité) ; ce

reste sera — — ^tLÎ a, — 5 , lequel étant feit 5= o , donnera

Ainsi ou aura la valeur des deux racines imaginaires «-f~/9v^'"~ '> et flt — jSy/— I de l'équation proposée. '