ARTICLE PREMIER

Sur la manière de reconnaître si une équation a des racines

imaginaires.

28. J'ai donné, dans le n^ 8, des formules générales pour déduire d'une équation quelconque une autre équation dont les racines soient les carrés des différences entre les racines de l'équation proposée. Or; si toutes les racines d'une équation sont réelles, il est évident que les carrés de leurs différences seront tous positiâ; par conséquent, l'équa* tion dont ces carrés seront les racines, et que nous appellerons doréna* vaut, pour abréger, équation des différences; cette équation, dis- je, n'ayant que des racines positives, aura nécessairement les signes de ses termes alternativement positif et négatifs ; de sorte que, si cette condition n'a pas lieu, ce sera une marque sûre que l'équation primitive a nécessairement des racines imaginaires.

29. De plus, 4:)omme les racines imaginaires vont toujours deux à deux, et qu'elles peuvent se mettre sous la forme a»f-)S^— .1^ «— - jSv^— I, a et jS étant des . quantités réelles (voyez la Note IX); il s'ensuit que la différence de deux racines imaginaires correspondantes sera nécessairement de la forme 2jSv^— i; de sorte que le carré de cette différence sera *— 41^*9 c'est-à-dire une quantité réelle et n^ative. Donc, si l'équation proposée a des racines imaginaires, il &udra nécessairement que l'équation des différences ait au moins autant de racines réelles négatives qu'il y aura de couples de racines imaginaires dans la proposée.

3o. Mais il est dëmontré (voyez la Note VIII) qu'une ëquatîon quelconque ne saurait avoir plus de racines positives qn'elle n'a de changemens de signes, ni plus de racines négatives qu'elle n'a fie successions du même signe. Donc, le nombre des racines imaginaires dans une équation quelconque ne pourra jamais être plus grand que le double de celui des successions du même signe dans l'équation des difierences.

3i. De là, et de ce que nous avons dit ci-dessus, il suit que si l'équation des différences a tous ses termes alternativement positif et négatifs , l'équation primitive aura nécessairement toutes ses racines réelles, sinon elle aura nécessairement des racines imaginaires. Ainsi on pourra toujours juger, par ce moyen , s'il y a ou non des racines imaginaires dans une équation quelconque donnée.