ARTICLE II

Oii ton donne des règles pour déterminer dans certains cas le nombre

des racines imaginaires des équations.

3^. Soient a^b^c^ d, etc. les racines réelles d'une équation quel-* conque, etce+jS^/ — i, a— ]8v/ — i^y+J'V^ — i, j^— J^|/— i, etc. les racines imaginaires ; les carrés des différences de ces radnes seront

(a — 6y, (« — c)% (a — d)% etc.,

(b — c)', (b — d)% etc., (c — d)% etc., — 4/a', — 4<fs etc. ;

-Os

OS

etc.;

-cTt/-

•i + cT/-

■os

- os

-«Tï/-

etc.;

etc.;

lesquels seront, par conséquent, les racines de Péquation des diflerenées.

Soit m le degré de l'équation proposée , qui est égal au nombre des racines «, i, c, etc. , a+jS^/— i, ^ — fiv^ — i, y + J'V^ — i,

y — «T^/ — ï, etc., celui de l'équation des différences sera ^^'"'^'^ =/i

(n? 8) : soit p le nombre des racines réelles a, b, Cj etc. , et 2q celui des racines imaginaires et -f- ]8|/ — . i , et — j8^/— i , y + J^ v^— i , 7 — «r$/— I, etc.j en sorte que m=^ + 2y, il est facile de voir par la table précédente que, parmi les n racines de l'équation des différences, il y en aura nécessairement ^ -^ de réelles et positives^ q de réelles et négatives, et 2y(/^4- y — i) d'imaginaires.

33. Qu'on fasse maintenant le produit de toutes ces racines ^ et il

est visible que le produit des ^^ ^ racines positives sera toujours po-

sitif^ que celui des ç racines négatives sera positif ou n^atif , suivant que le nombre q sera pair ou impair, qu'enfin le produit des ay(/>H-^ — 1) racines imaginaires sera toujours positif; en effet, cesdernières racines étant deux à deux de la forme ( A -f- B (/— - 1 )*, (A— «Bv/ — i)% leurs produits deux à deux seront de la forme (A*+B*)% et par conséquent positifs : donc le produit de toutes ces racines ensemble sera toujours aussi positif.

Donc le produit total sera nécessairement positif ou négatif, suivant que q sera pair ou impair.

Mais le dernier terme d'une équation est, comme l'on sait, ^al au produit de toutes ses racines avec le signe -f* ou — •, suivant que le nombre des racines est pair ou impair.

Donc le dernier terme de l'équation des différences , dont le d^ré est n, sera nécessairement positif, si /s et ^ sont tous deux pairs ou tous deux impairs , et négatif si l'un de ces nombres est pair et l'autre impair.

34. Or, si n et 9 sont tous deux pairs ou impairs , /i— 9 sera nécesr

4o DE LA RÉSOLUTION

sairement pair, et si n et ^ sont, l'un pair, et l'antre impair ^ n-— ^

sera nécessairement impair; mais à cause de nss ^ , et de

m=p-f-3y, on a n — y=- ^~ +3yfpH"y~'0> ^® ^^^ que

n-^ç sera toujours pair ou impair, suivant que ^^^~ ^ le sera.

Donc le dernier terme de l'équation des différences sera nécessai*-

rement positif ou négatif, suivant que le nombre ^^ ^ sera pair ou

impair, c'est-à-dire, suivant que le nombre des combinaisons des racines réelles de la proposée, prises deux à deux, sera pair ou impair.

35. Supposons, i®. que ce dernier terme soit positif, il fendra, en ce cas, que^^^^ — - soit pair; donc ou £=s2A, et pz=z^Xj ou

Lui s=: aX et ;7s= 4^+ I > d'où il suit crue, dans ce cas, le

nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de 4) ^^ ^^ nombre est pair, c'est-à-dire si le degré de l'équation est pair, ou multiple de 4 P^us i si le degré de l'équation est impair* Ainsi il sera impossible que l'équation ait a , ou 3 , ou 6 , ou 7, etc. racines réelles.

2^. Supposons que le dernier terme de l'équation des différences soit

négatif, il faudra ^ors que ^^ soit impair, donc ou - = nA + i*

et D = 4^ + 3 , ou ^""'^ = 2A+1, et ;^ = 4^ + 3; d'où il suit

que, dans ce cas , le nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de 4 P^^^ ^ ^^ ^® degré de l'équalion est pair,, ou multiple de 4 pl^^ ^ ^^ ^^ degré est impair. De sorte qu'il sera impossible que l'équation ait en ce cas i, ou 4 9 ou 5, ou 8, ou 9, etc. racines réelles.

36. Ainsi, par l'inspection seule des signes de l'équation des différences, on sera en état de juger, i^. si toutes les racines de l'équation proposée sont réelles ou non ; 2^. si le nombre des racines réelles est nn de ceux-ci : i, 4» ^^ 3, 9, 12, i3, etc. , ou bien s'il est un

^de ceux-ci : 2, 3, 6, 7, 10, 11, etc., ce qui suffira pour déterminer

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 4i

le nombre des racines réelles et des imaginaires dans les équations qui ne passent pas le cinquième degré , et dans toutes les équations où l'on saura d'avance que les racines imaginaires ne sauraient, être plus de quatre.

Peut-être qu'en poussant plus loin cette théorie, on pourrait trouver des règles sûres pour déterminer le nombre des racines réelles dans les équations de degrés quelconques , les méthodes que l'on a proposées jusqu'à présent pour cet objet étant ou insufibantes, comme celles de Newton, Maclaurin, etc., ou impraticables, comme celles de Stirling et de De Gua , qui supposent la résolution des équations des degrés inférieurs.