DES ÉQVITIDITS K0HÉ2.IQUE
jTg. Onatait remarqué depuis long-temps que toutèiraction tontinue périodique pouvait toujours se ramener à ime équation du second degré; mais personne^ que je sache , n'avait encore démontré Finverse de cette proposition , savoir : que toute racine d'une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction €i»nlitiue périodique. Il est vrai que Euler^ dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des nouveaux Commentaires de Pétêrâbourg, à observé que la racine carré d'un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique ; mais ce théorème qui n'est qu'un ca^ particulier du nôtre 9 n'a pas été démontré par Eiiler , et ne peut l'être , ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis plus haut.
60. Nous avons donné ci-dessus des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convei^ntes vers la racine d'une équation donnée , lorsqu'on a reconnu que la fraction €(mtinue qui ex* prime celte racine , est périodique.
Or, dans le cas où l'équation est du second degré , et où l'x)n se sert de la méthode du n^ 5:3, on pourra , si l'on veut, simplifier beaucoup
les calculs des n^' 4^ ^^ suivans , pour trouver les termes l^ et IJ de chacune des fractions convergentes vers x*
En effet, ayant 0^ = -^^;:^ et JC^^"^= - ^^, ,oui^,^+',
E^+' et E^ ' ** sont connues (^ étant < y ) il n'y aura qu'à substituer ces valeurs dans les deux équations du n^ 48> ^^ Êdsant pour sÀ>réger ,
fiv
on aura
«s DE LA RÉSOLUTION
(^- + ^) X (^^-*- HVB) X (k' +^^?)" = Le€r+' + L«- • £'*+"+ ' + L VB ;
d'où, à cause de Tambiguité du signe du radical y^B, on tire •ur-le-champ
f étant , comme plus haut , =/* + /if -{- ^.
61. On peut aussi remarquer que la valeur de L^ peut se déterminer par le moyen de celle de Z^ et l^ ', sans avoir besoin d'un nouveau calcul.
En effet, ayant ar= — 77-- = rr» — > ^t de même x^ =s ,
on aura par Féquation (G) du n* 5 1 ,
V/B — • LfEf +L^'(v/B— •') ' savoir ,
de sorte qu'en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle , et l'irrationnelle avec l'irrationnelle , on aura .
^ = jÊ ,
JCi
d'où, à cause de B — (6^)*=:E^E^^ on aura
Or , f étant s= fe -f" np + '^ > on aura
de sorte que €^ et £^ * ^ seront connus , quel que soit le quan* tième / .
6a. Supposons , pour donner un exemple de l'application des formules précédentes y qu'on demande la racine carrée de ^ par une fraction continue.
Faisant x = ^^ , on aura l'équation 3a:* — 1 1 s= o ; donc (n* Sa) E=ii, E'=:3, €=0j ainsi , on fera le calcul suivant , en prenant B = 33 ,
E S3 -I I < ES o ,
E'/ == Ep = 8, A" < V2|±l = I , / = 1.8-3 » 5,
E" = !?=H5 =a 8 , Vr< l^gti — ,, i"aa i.8-5a=â, E' = ^^ = 3 , A' < i^,-±i = a, é' =^.3-3 es 3.
Je m'arrête ici , parce qne je vob que E' ca E' et C sa/'j de aorte
^ DE LA ntsoLUTma
4|ae ftwai, àaaoB ce eu, f*=i et >^ ii ^ pv
lo + de
63. Telle est donc la fraction continue qui exprime la valeur de |/-7-; mais si on veut trouver les fractions ^xmvergentes vers cette valeur, on fera dans les formules dun® 60^ /^=<9 F=4>etcomme7doitêtre<<49 on fera successivement 7=0, 1,2,3.
On aura donc T z^V = (form. A, n** 4") ^' == ^j ^ = /= i j ^=£' = 3,E^+'=E" = 8;donc/^=(n-6o)i^ + i=-^jon
trouvera de même L^= i , F^= g. Ensuite on calculera les valeurs de
H^ H', etc- jusqu'à H' =H'^ par les formules (C) du n^ 48, et l'on
trouvera
D'où H' = i32 , H'"* = 1 1 , et de là K' = ^ + 11 = !i3.
Maintenant soit, i\^=so, on aura H =oetH ~ =3i;caril éx fScife'tTë vôir^r la nature des formules (C) qu)é le trâoe qm précéderait H, serait nécessairement sss i : en effet , on doit nvoir^ar l'a-
nalogie H' sa X*"^ H + H "^ ; on prouverait de même que le terme
^^fféeédâratt A^ «ait = 05 donc G* =5 ET"^ ' =& a\ Soft^rsox,
op aurall^;=si, H *" =8; donc
DES ËQiTATiairS KUJfÉRIQUE& yt
3*. Soit 9r SB ^9 donc.
H^ = 10, H""'= I, G'= 10 r^^ + 1. E^+^=ioi"'+F'==;58- 4*. Soit ^=3, donc
H' = II, H'~' = io, et G' = ii6*'H-ioE^c=:63.
Donc, substituant ces valeurs dans Ic^ expressions de /^ eyLf du, n*6o, et multipliant ensemble, pour plus de simplicité, les deux
fecteurs /^db ^ G' ifc H^ -l/B , copme aussi Us^ deux. . . . •
F'* db Jf^ , G*" =fc H*" \/B , ce qui donne ces facteurs simples
on aura les formules suivantes :
H^, (11+ t/33) (23 + 4 \/33)' — (II— 1/33) (a3 — 4^/33)' — 2\/33 >
* — aV33 »
.^^, (i2i+aïV/33) (23 + 4V/33)» — (121 — aiv/33) (a3 — 4i/3S)'
* — ~ ai/33 ^ "^ *■
I ^,^j ( 63 + 1 1 i/33) (a3 + 4 VS3)« — ( 63 — 1 1 1/33) (aS — 4t/33) »
.^^^ (i3a + a3vf33) (a3 + 4t/33)'^.>.(i3a~ g3i/88> (a?— 4t/88)»
' "^ ~ ~ âïTdT ^ : ••■ »
r 4^4 __ ( 69+ia\/33) (a3 + 4i/33y,^( 69- laySS) (a8^4»/3 >)T
an moyen desquelles ob pourra trouTer la valeur de chacune des fractions j-,i o « fjf r ^^' copyer|^ptes yers la racine de y-.
Ainsi, faisant d'abord n = o ^ on aura les quatre premières (raptioiis; Élisant ensuite /^ = i , on aura les quatre suivantes , et ainsi de suite , et ces fraclions seront
ai
a3 la
etc.
Si l'on voulait avoir y par exemple, le cinquième terme de cette sërie,
c'est-à-dire la fraction , 5^^ ^ il n'y aurait qu'à diviser 5o par 4 > ce qui
donne 12 de quotient et a de reste; et l'on ferait n sa 12 ; de sorte qu'en développant la puissance douzième de ^3 db 4 t/ 33', et faisant pour abréger
N = la (4) (23)" + aao (33) (4)» (a3)9 + 792 (33)« (4)» (a3)' + 79^(39)' (4)' (a3)*+ aao(33)*(4)' (=»3)'+ la (33)« (4)" (a3),
On aura
(23db4 v/33)"=M±N v/33;
donc y substituant cette valeur dans les expressions de /i«"*-'* etL4'"*"*, on aura pour la fraction clierchée ,
64- Je vais terminer cette remarque par une observation qui me parait digne d'attention. Lorsque l'équation proposée a des diviseurs com« mensurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteronties racines de ces diviseurs, seront nécessairement terminées j et lorsque l'équation aura des diviseurs commensurablcs du second degré à racines réelles, alors les fractions continues qui exprimeront lesracinesde ces diviseurs seront nécessairemsnt périodiques. Ainsi la méthode des fractions continues a non-seulement l'avantage de donner toujours les valeurs rationnelles les plus approchantes qu'il est possible de la racine cherchée ; mais elle a encore celui de donner, tous les diviseurs commen*. surables du premieretda second degré que l'équation proposée peut renfermer* Il serait à souhaiter que l'on pût trouver aussi quelque caractère qui
pût servir à faire reconnaître les diviseurs commensurables des troisième, quatrième , etc. , degrés , lorsqu'il y en a dans l'équation proposée; c'est du moins une recherche qui me parait très digne d'occuper les Géomètres. .
