ARTICLE III
Généralisation de la théorie des fractions continues.
65. Nous avons supposé dans le chapitre III que les nombres Pj q j rj etc., étaient les valeurs entières approchées (des racines x,^, ;;, etc. , mais plus petites que ces racines, c'est-à-dire que ^, ^, r, etc. , étaient les nombres entiers qui seraient immédiatement plus petits que les valeurs de o:,^, z, etc.; cependant il est clair que rien n'empêcherait qu'on ne prit pour;?, q , r, etc. , les nombres entiers qui seraient immédiatement plus grands que les racines ^^j^, z, etc.
66. Imaginons donc qu'on prenne pouryc? le nombre entier qui est immé^ diatement plus grand que x, en sorte que;? > x etp — i < J:, il est clair
qu'il faudra dans ce cas a: = /? — -, c'est-à-dire qu'il faudra prendre/
négativement , et comme x^Cpef^p — i on aura - >> o et •< f ,
et par conséquent j^ > i , comme dans le cas où l'on aurait pris p plus petit que x (n** i8). Ainsi on pourra prendre de nouveau pour q, le nombre entier qui serait immédiatement plus petit que j^, ou celui qui serait immédiatement plus grand, et l'on fera dans le premier cas
/ = y + - , et dans le second, y = çr , et ainsi de suite.
De celte manière ou aurait donc
d: = ;?±J;, jr z:^ ç ^^, z = r =fc 1,
etc.
ce qui donnerait la fraction continue
— • eic* «
OÙ il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs y , r, etc. ,
lO
94 DE LA aÉSOLOTIOH
qui sera foivi d'un signe-^, devra BécewûremeDt élre.=: a , ou > s :
car , puisque ^ > i , si on fait 7- = y — -, on aura 7— -> i ,
donc ^ >> I + ~ 9 donc q devant être un nombre entier , sera néc^* sairement = 3 , ou >* 2 ; et ainsi des autres. -
67. J'observe maintenant que ces sortes de (ractipnç q^î procèdent ainsi par addition et par soustraction , peuvent toujours facilement se changer en d'autres qui ne soient formées que par la simple addition.
En effet , supppsons en général
a et A devant êfre des nombres entiers , et / , T des nombres plus grands que l'unité; on aura donc a — A = - + a,; donc^ puisque
j<i,etijr< ijj+fT sera < a j donc on ne pourra supposer que a — A s= i , ce qm donQe A c= a — i j on aura donc
y = fl— I +^;donc^ = i— ^,etT = j-i-j. = i + de sorte qu^on aura en général
flj — -
et cette formule servira pour faire disparaître tous les signes — dans ime fraction continue quelconque.
Soit, par exemple, la fraction
■"* e tC« * r ' '
elle deviendra, en faisantes/?, et / ss ^ -f--, etc..
'^Th
r etc.
DES ÉQVJlTidfrS IftfBfÉ&lQUES. «|5
Si l'on avait la fraction
* retc,
dit se diangerait d'abord tn
el ensuite en
r — 1 etc. ,
et ainsi des autres fractions semblables. Il e^t bon de remarquer qu'il peut arriver que , dans ces sortes de transformations , quelqu'un des dénominateurs denemie nul'^ auquel oas k ft*actioi> ikMmâUftt pKiar simple.
En effet 9 supposons que la fnaotioD à rëduire soit
1 +1 r etc.
la transformée sera
r etc., c'est-à-dire
;^— i+^etc.
De même , si l'on avait la fraction
r etc. , elle se réduirait â celle-ci
r — I etc. y
76 DE LA RÉSOLUTIOB
savoir , ;? — < I -f
r — I etc., et ainsi du reste.
68. La formule que nous avons trouvée ci-dessus, et qu'on peut mettre sous cette forme
fait voir qu'une fraction continue dont tous les termes ont le signe -^ , peut quelquefois être simplifiée en y introduisant des signes — - j c'est ce qui a lieu lorsqu'il y a des dénominateurs égaux à l'unité ; car scât^ par exemple , la fraction
r + etc. y elle pourra se réduire par la formule précédente à celle-ci y
P ^ ^ r -I- I etc. ,
qui a y comme l'on voit , un terme de moins ; donc si l'on avait la fraction
8 etc. y
elle se réduirait à celle-ci
8 etc. ^ et si l'on avait celle-ci
p^riri
elle se réduirait d'abord à
1 + 1 8 etc. y
8 etc. y
DES ÉQUATIONS BUMÉEIQUES. ^7
et ensuite à
« + 1 etc., d'où il est facile de conclure / en gênerai , que si Ton a une fraction continue qui n'ait que des signes +, et où il y ait des dénominateurs ëgau:K à l'unité, on pourra toujours la changer en une autre qui ait autant de termes de moins qu'il y aura de pareils dénominateurs , pourvu qu'ils ne se suivent pas immédiatement ; car, lorsqu'il y en aura deux de suite , on ne pourra faire disparaître qu'un seul terme ^ lorsqu'il y en aura trois de suite , on pourra faire disparaître deux termes; et en général, s'il y en a 2/1, ou :2/ï+ I de suite, on ne pourra faire disparaître que/iou/i-f- I termes.
Ainsi , la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre étant , comme l'on sait ,
2 + etc., elle peut se réduire à une autre qui ait déjà trois termes de moins, et qui sera
69. Pour pouvoir comprendre sous tme même forme générale \e& firactions continues où les signes sont tous positif , et celles où il y a des signes négatifs , il est bon de transformer ces dernières , en sorte que les signes négatiâ n'affectent que les dénominateurs , ce qui est très facile; car ayant , par exemple , la fraction
7+ etc.
^B DE LA RÉSOLUTIOir
il est clair qu'elle peut d'abord se changer en
ê -f- etc. , ei^.4uite çn cçlle-cî
« + etc. , et ainsi des autres.
Be cette manière j la forme générale: dfs fraotion^ Qontinues dont nous venons de parler ci-dessus , sera
r + etc. ,
les nombres p, Çj r, etc. étant tous entiers,, mds. pouvant être positifs ou négatifs y au lieu que jusqu'ici nous lies avions toujours supposés positifs.
Il feut cependant remarquer que , si quelqu'un des dénominateurs y, r, etc. se trouve égal à l'unité prise positivement ou négativement, alors le dénominateur suivant devra être de même signe; c'est ce qui suit de ce qu'un dénominateur positif, et égal à l'unité, ne saurait jamais être suivi du signe — (a* 68).
70. Il suit de là que la méthode d'apprQ:i^iui9Uo9 donnée dans le chapitre III, peut être généralisée en cette sorte.
Soit X la racine cherchée, op prendra d'abord pour p la valeur entière approchée de a:, c'est-à-dire qu'on fera p égal à l'un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraiç valeur de x^ et qu'on p^ut toujours trouver par la méthode du chapitre I*';
l'oq supposera ensuite a: = /i + -^ , ce qui donnera nne transfin**-
mjçp en jr, qui aura nécessairement une raciue positive ou négative plus grande que l'unité 3 on prendra de même pour q la valeur entière approchée dej^, soit plus grande ou plus petite que^, et l'on
fera j^ =z ^ + - ; et ainsi de suite.
Si l'équation en x avait plus^ieura racines , on ferait sur les transformées en ^ , en Zj en u, etc. des remarques analogues à celles du n"" ig.
DES ÉQUATIONS HVMtftïQUES-
Ayant donc
x=:p+^y jr = q + ly z = r+J, etc., on aura
r + etc. ^
où les dénominateurs 7, r, etc. poartont étire positifs ou négatifs, comme nous Pavons supposé ci-dessus ; et cette fraction pourra ensuite se réduire /si Ton veut, à une autre dont les dénominateurs scùent tous positifs , et qui ne contienne d'ailleurs que des signes -H (n' 67).
L'avantage de la méthode que nous proposons id , cofahiste en tje qu'on est libre de prendre pour les nombre3 p^ ^y r^ €tc. le$ nombras entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les racines x^ jy Zy etc. , ce qui pourra souvent -donoer lieu à des abrégés de calcul dont nous parlerons plus l>a8.
Aja reste ^ si l'on veut avoir la fraction continu^ la plus courte , et par conséquent la plus convergente qu'il soit possible ^ il faudra prmdrf toujours les nombres "p^ q^ r, etc. plu3 petits que les racines oc^j^ Zj etc., tant que ces nombres seront difierens de Tunité; mais, dès que l'on en trouvera un égal à l'unité , alors il faudra augmenter le précédent d'une unité , e'est-à-dbe qu'on le prendra plus grand que la racine correspondante; cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce su]^.(n* 6$).
