Maintenant, si l'on fait , xomnîe dans le n
et =
jSV
ys
etc.
ecc. ,
on aura , en
ajoutant au commencement la &
aotk)
O' 7 qm
est
fhjts
grande
que 1
toute quaptité
donnée,
les fractions
i etc. ,
lesquelles secont nécessairement oonvergentes^ ver§ la valeur de x.
8o DE LA RÉSOLUTION
Et pour pouvoir juger de la nature de ces fractions , nous marquerons ,
1°. Que Ton aura toujours
ao — la' = — 1 , /S*' — aj9' = I , y^ — ^' = — I , J^y'-yr= I, etc. ,
d'où Ton voit que les nombres a^ a\ fiy j8', etc. , n'auront aucun dm-
seur commun , et que par conséquent les fractions -7 j p-, etc. ,
déjà réduites à leurs moindres termes.
2^. Que les nombres a, jS , >, etc. , et a', /3', y' y etc., pourront être
positif ou négatifs ; lorsque la valeur de a: est positive, les deux termes
de chaque fraction seront de même signe , mais ils seront de signes ;dif«
férens lorsque la valeur de x sera négative , et qu'abstractbn faite de
leurs signes , ces nombres iront en augmentant'
5". QueFon aura , à cause dea: = /? +-,^s=:^-j--, etc* ,
^ yu + fi
etc.
72. Donc, en général, si tt, p, a*, sont trois termes consëcutib quelconques de la série et, jS, y^ etc., et 'Tt', p', ^, les termes correspon-
dans de la série a', jS', y, etc. , en sorte que — 7 , A , y soient trois fipac-
tions consécutives convergentes vers la valeur dex, on aura
P'tt' — TTp' = =fc I, et o^p'— pt/ =: qz 1,
les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction 7 est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pairj
•otnpter depuis la première fraction ^ ; de plus , on aura (abstraction fia te des signes)
f >9r, ff>/, />?/, (r'>/'; .p
enfin, si l'on dénote parole terme correspondant dans la série :c,j^, s, etc., on aura rigoureusement
Et si A: est la valeur entière approchée de ty soit plus grande ou plus petite que t^ on aura
a=z fk + ^ , 0^ = /* H- '7r^
75. Cela posé, considérons la fraction 4 et voyons de combien elle diflSère delà vraie valeur dexj pour cela, nous aurons
£ — g^ + ^ L ÙLZLi
^ 1' — j* -1- -'"""v*^ j (jé^ï^^'\ — T
c' o + »' c' ao+'') "^ <'(<-*+»')
donc â: ss ^
Ainsi Terreur sera rp tt-tt^t-tt, or, si Ô et fl + 1 senties deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de t ^ il est clair que la quantité f't + ^ tombera entre ces deux /'ô + 'TT', et f '(9 + *) +'''^»
et qu'ainsi Terreur de la fraction ^, sera renfermée entre ces
et
Or, on peut prendre A: = , ou £ = + 1, de sorte que Ton aura a' = /'8 + 'Tt' , ou =s /'(fl + i) + tt'; d'où je conclus que si, pour distinguer les deux cas , on nomme <r' le dénominateur de la fi*action qui
suit ^, lorsqu'on prend la valeur approchée de t en dé&ut , et Z' le dénominateur de la même fraction , lorsqu'on prend la valeur approchée de t en excès 9 l'erreur de la fraction 4- sera nécessairement renfermée
entre ces deux limites =p-7p et rp-^*
0^ DE LA RÉSOLtlTION
&<A l'on voit que l'erreur ira toujour»ea diminuant d'une fractàaià à l'autre, à cause que les dénominateurs f% a' ou 2', etc., vont néçe»^ sairenent en augmeptant. On voit lau^sî-^jà cause- de o'^ f ei 2'>/y
que l'erreur sera toujours moindre que qp-?;:; c'est-à-dire que l'erreur
de chaque fraction sera moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de cette fraction. D'où. il est facile de conclure que la
fraction 4 approchera plus de la valeur de x^ que ne pourrait faire
aucune autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus
simples; car supposons que la fraction — approche plus de. a: que la-
fraction -/, n étant < f, comme la valeur de x est contenue entre
^et-,«+--7r, ou entre -, et -, — -tt, il faudra que la valeur de — soit c ç ç ' < C ç* ^ ^ »
pareillement contenue entre ces limites; donc la différence entre
^ et — d^vra être < -7» ; mais celte différence est 2LZI-^ dont le nu- % n i i^
mérateur ne peut jamais être moin4re que l'unité , et dont le dénor minateur sera nécessairement plus grand que /*, à cause de / ^ n ; donc, etc.
74- On doit remarquer^ au reste, que si les dénominateurs a!^ jS^ y;ete<so9t tous^ de même signe ou de signes alternatifs,. les erreuis seront alternativement positives ou négatives; de sorte que les fractions
« iS y
"^' ?' n7' ^^^' seront alternativement plus petites et plus grandes que
la véritable valeur de;^, comme nous l'avons dit dans le n"* ja3; mais cela cessera d'avoir lieu lorsque les nombres a!y /3^, y'^ etc. ne seront pas deux à deux de même signe ou de signes difierens ; c'est ' ce qui arrivera nécessairement lorsque, parmi les dénominateurs ^, r, 5, etc. de la fraction continue, il y en aura de positifs et de négatifs , c'est-à* dire ^ lorsqu'on prendra les valeurs approchées de x^ y^ z, etc. tantôt plus grandes, tantôt plus petites que les véritables.
75. Si au lieu des fractions convergentes ^, y, ■^, etc. on aimait mieux avoir une suite de termes ilécioissaw > on remarquerait que;. . •
DES àQUATIOHS NUMÉ&iQUES. p
If'
= ^î^r^ = -^ ; et 'de même
et ainsi de suite ; â'bù Ton tire , à cause
de
et' as
/ ~ * ^ «'iS' ~ /S'y'
et, en général ,
«+;i^^ii7 + ;^— ^e.^i;^^.
Ainsi on aura pour la ^eur ^^de x -la «érie ^^gg; "iJi ;q| etc., laquelle en approchera d'autant plus qu'elle sera ^poussée -plus loin; et si après avoir continué cette série jusqu'au terme quelconque =^-7-7,
on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de Ai on sera assuré que l'erreur se trouvera entre ces deux fifiiites. • • •
^ et =P7^ (n* 73), de -sorte qu'elle seva nécessairement moindre
que ^.•
