ARTICLE IV

Ou ton propose différens moyens pour simplifier le calcul des racines

par les fractions continues.

77. Nous avons trouvé en général (n^ 72) que si -7 et -, sont deux

fractions consécutives convergentes vers la valeur de a; , on aura» . • » X = V / ; donc si l'on substitue cette expression de x dans l'équation en X dont on cherche la racine , on aura une transformée en t , qui sera nécessairement la même que celle qu'on aurait eue par le»

DES ÉQUATIONS NUMËEIQUES. 86

substitutions saccessives de /»-f-- à la place de jt, de y -f- - à la place

de y y etc., et pour avoir la fraction suivante ->, il faudra trouver la valeur entière approchée de i^ laquelle ëtant nommée i^ on aura

ffssskf + ^y a' =2 if' + TT^.

De cette manière, connaissant les deux premières fractions -ret-^,

qui sont toujours ^, et - ( n* 71 ), on pourra trouver successivement toutes les autres, à l'aide de la seule équation en x.

78. Or, soit qu'on emploie les substitutions successives de p^- \ la place de or, de 7^- à la place de j*, etc. soit qu'on fasse usage

de la substitution générale de , ; à la place de â:r, la difficulté se

réduira toujours à trouver dans chaque équation transformée, la valeur entière approchée de la racine positive ou négative, au-dessus de l'unité que cette équation contiendra nécessairement ( n^ 70 ). Si la première valeur approchée de p ne convient qu'à une seule racine , alors toutes les équations transformées en y^ en z , etc. n'auront chacune qu'une seule racine plus grande que l'unité j de sorte qu'on pourra trouver les valeurs entièi^es approchées de ces racines par la simple substitution des nombres naturels (n^ 19). Maïs si la même valeur appartient à plusieurs racines, les transformées auront nécessairement plusieurs racines plus grandes que l'unité, soit positives ou négatives, jusqu'à ce que l'on arrive à une de ces transformées qui n'ait plus qu'une pareille racine; car alors toutes les suivantes n'en auront plus qu'une seule au-dessus de l'unité, comme nous l'avons démontré dans le numéro cité.

Avant d'être parvenu à cette transformée, il arrivera souvent que la simple substitution des nombres naturels ne suiBra pas pour faire trouver les valeurs entières approchées dont on aura besoin, parce que l'équation aura des racines qui différeront enire elles par des quantités moindres que.l'qnité. Dans ce cas donc, il semble qu'il fiiudrait avoir recours à la méthode générale que nous avons donnée dan&

«é DE LA RÉSOLUTION

le chapitre piremier; mais, ayant déjà ismployé cette méthode pour trouver les premières valeurs approchées des racines x de l'équation priiniti^é , on pourra se dispenser de faire Un nouveau calcul à chaque équation transformée ; c'est ce qu'il est bon de développer*

79. En faisant usage de la méthode dont nous parlons , on trouvera d'abord les limites entre lesquelles chaque racine réelle de l'équation proposée sera renfermée, en sorte qu'entre deux limites trouvées., il n'j ait qu'une seule racine (n® i3).

Soient X et A les limites de la racine cherchée ; l'expression • • « • jr = ^, . Z donne fss *^*"^,^ '; donc la valeur de t sera reilferniée

entre ies limites , — , *- / ; par conséquent, si ces dernières limites diffèrent l'une de l'autre moins que de l'unité , on aura sur-lechamp la valeur entière approchée de ^ ; mais si elles difierent l'une de Fautr^ d'une quantité égale ou plus grande que l'unité, alors ce sera une marque que la racine cherchée t différera des autres racin es de l'équation transformée en t par des quantités égales ou plus grandes que l'unité; de sorte qu'on sera sûr de pouvoir trouver la valeur entière approchée de cette racine, par la simple substitution des nombres naturels à la place de ^ ; et la même chose aura lieu , à plus forte rai* son, dans les transformées suivantes.

ir's — w

80. La formule r =:--—;— peut être aussi très utile pour réduira

en fraction continue toute quantité x qui sera renfermée entre des limites données , au moins pour trouver les termes de cette fraction qui pourront être donnés par ces limites; car nommant, comme ci*

dessus, A et A les deux limites de op , on aura ^3-- et rr pour

celles de ^ ; de sorte que , tant que la différence entre ces dernières linûtes ne sera pas plus grande que l'unité, on pourra trouver exactement la valeur entière de t : ainsi , prenant i et ^ (7? étant la

valeur entière approchée de a:) pour les deux premières fractions, on pourra pousser la suite des fractions convergentes , et par ocok* séquent la fraction continue, jusqu'à ce que les limites dont nous parlons diffèrent entre elles d'une quantité plus grande que l'unité;

DES ÉQUATIONS SUMÉHlQUES. %

alors il faudra s'arrêter^ parce que les Umilea dounéea A et A se eomporteroDt pas une plua grande exactitude dans la /vakur et a\

Bftrce moyen 9 oa n'aura jamais^ à craindre de setrdmper' en poua^ sant la fraction continue plus loin qu'on ne doit, comme cela aiti«verait facilement si, pour avoir cette. fraction, on se contentait de prendre un des noml)res A ou. A, et d'y pratiquer la même opération dont on se. sert pour trouver la plus grande commune mesure, conformément à la manière usitée de réduÊre les fractions ordinaires en fractions continues.

Pour poui^oir employer cette méthode, en toute sûreté, il faudrait faire la même opération sur les deux nombres A ou A , et n'admettre ensuite que la partie de la fraction continue qui proviendrait également des deux opérations ; mais la méthode précédente parait plu5 commode et plus simple.

8i. Yôyons maintenant d'autres moyens pour simplifier encore la recherche des valeurs entières approchées dans lès difiërentes équations transformées. Soit

f — ae^^ + ht^^ — etc. = o ,

une quelconque de ces équations, dans laquelle il s'agit de trouver la valeur entière approchée de t^ que nous désignerons en général par k\ cette équation étant dérivée de l'équation proposée en x, sera du métne degré' que celle-ci, ^ aura par conséquent le méfne nombre de racines , que nous supposons égal à n-

Nous avons, trouvé en* général (n* 79) tas ^^^JT^ , ce qui se

réduit à I = ^ X , sa ^^ X 1' ^ — i J î maïs. . . .

^ — ^ s=3 ± -7^ , le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la firactkxi'^ est pak^ et l'inférieur pour cduàioù ce quantième est impair; donc. on aura

Donc , si l'on dénote par x la racine cherchée, et par x\ af'^ etc. les antres racines de l'équation en x y qui sont au nombre de n ,^ et qu'on dénote de même par tj i^ i\ les valeurs correspondantes de f, on aura

etc.

JMlais l'équation en t donne a'=stt^i ^f ^ etc. \ donc substituant les valeurs de i^ i\ etc. que nous venons de trouver , et qui sont au nombre de /» *— i , on aura

^ (n— Qtr^

db-j^l i + 7-^ — -f,— -î -I- etc

Or nous avons trouvé (n* 78) ^:=x± i^i ' ^^ , ou bien en fid-

sant /'< -H ^ = 4/^ '^^^^JT^J où l'on remarquera que f '/-f-*'-

étant renfermé entre les limites 0^ et S', qui sont l'une et l'autre plus grandes que f (n* 73) , la quantité ^ sera nécessairement plus, grande que l'unité. Donc , faisant cette substitution dans la finrmule précédente, on aura

+ -f- etc

Mais les quantités x '^ af y x '— sé\ etc. sont données , et la quantité f va toujours en augmentant ; donc puisque la fraction t

est toujours moindre que l'unité ^ il est cltùr que duicune des

quanbtes

ira nécessairement en diminuant , et que par conséquent la somme de ces quantités , qui sont au nombre de /i — i , ira en diminuant aussi; de sorte qu'elle deviendra nécessairement moindre que |.

Donc, on parviendra nécessairetnent à une équation transformée

telle , que sa racine t sera , à i près, égale à « + ^ 7 — (a étant le

ooeiBcient du second terme pris négativement), c'est-à-dire que cette racine sera contenue entre les limites

« + (iZ^+.etaH-^il!L-i,

et la même chose aura lieu à plus forte raison pour toutes les transformées suivantes.

Donc , dés qu'on sera parvenu a une pareille transformée , il n'y aura qu'à prendre le nombre entier qui approchera le plus de la quan-

tité a -^ — — T' — , c'est-à-dire , celui qui sera contenu entre les

mêmes limites

.+ ^I^Vi et a+^îiZlOîf.a,

et ce nombre sera nécessairement un des deux consécutif, entre lesquels se trouvera la vraie valeur de /, de sorte qu'il pourra être pris en toute sûreté pour la valeur approchée it (n* 77). Ainsi on pourra continuer l'approximation aussi loin qu'on voudra, sans le moindre tâtonnement.

82. Puisque a =l-|-<^ + ^Se^>^ substituant les valeurs de/, t^ if^yeiQ.y (p? 61) on aura

+ — -^ -f- etc.

9é DE LA EÉSOLUTIOir

Or, 8<Kt

af — Ax^* + Bx*^ — etc., = o,

l'ëquation proposée ; qu'on fasse le premier membre de cette ëquaticm égal à X , il est facile de voir, par la théorie des équations, que la qoan-

tîte ^^ deviendra^ en y mettant^, i la place de x, afirèsla diffierco* tiation,

H - . JU «4- etc..

k cause que x,^> x'\ etc. , sont les différentes racines de Féqnilkm X = o. Donc on aura a =: db ,^ ^ r et par consëquentla quantité

a + ^^ ~ V * deviendra

dX sr'

e'»xd* c' Donc , si l'on fait

^ ~ C — Ac— *c' + B c""^ C" — etc. '

la quantité dont il s'agit sera ; — , par conséquent les liimleBdoiit

nous avons parlé dans le numéro précédent seront

rfcR — «"'j^, dbR— «"

Ainsi on pourra trouver ces limites indépendamment de l'équation transformée en ^, et par le seul moyen de l'équation proposée en âP, et qui pourra servir à abréger le calcul.

85* Il reste maintenant à voir comment on pourra reconnaître si la racine t est renfermée entre les limites dont il s'agit; or, cela est facile dès qu'on connaît les deux nombres entiers consécutifs , fi -f" ' > entre lesquels se trouve cette racine; car, soient X + i et X — * ^ les deux limites données ; il est clair que, pour que i se trouve entre ces deux li«mites, il faudra que A tombe entre les mêmes nombres 0, -f* i >

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. gt

et même plas près de celui de eés deux nombres dont t approchera davantage. On examinera donc , i^ si X tombe entre 6 et H** i ; 2^ cela étant , on prendra celui de ces deux nombres dont A approche davantage pour la valeur approchée de / , que nous nommerons k , et

&isant ^ = A: -f- — , on verra si Féquation transformée en tv a une racine

positive ou négative plus grande que 3; si cette seconde condition a lieu, on sera assuré que la racine t tombera réellement entre les limites A -|- -j et X — i; et on pourra poursuivre le calcul , cooune nous l'avons dit dans le n^ 81 .

' 84* Onpourraits^y prendreencorede la manière suivante^pour s^assurersi la racine^ tombe entre les limites X + J et A — ^. 11 est facile de voir par le n* 81 que la difficulté se réduit à savoir si la somme des

quantités , , etc. , divisée par f '*, est moindre que i }

7— * -7- «^ JT t

ainsi il ne s'agira que de trouver une quantité qui soit plus grande que

cette somme, et de voir ensuite si cette quantité est moindre que ^,

Or y soient x , or', x", etc. , les racines réelles de l'équation proposée , que nous supposerons au nombre de ft ; et

ÇH-4, |/-

- I , etc.,

les racines ima^naires que nous supposerons au nombre de ^y , en sorte que/x ^ 2P =s n-^ comme la fracticm ^ diffère de la racine x d'une

quantité moindre que -7^ {n? 75)^ il est clair que si A est une quantité

^ale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de la même équation , -chacune des^ quantités réelles -^

, etc. isera nécessairement moindre que • ^ et par consé-

quent la somme de ces q^ianlSftés , (foi sOnt ^u nombre de /a — • i ^ sera

mcnndre que ^ — :— , , .

93 DE LA RÉSOLUTIOlf

Gmndérons ensuite les quanti^ imaginaire», lescpielles seront deux à deux de la forme

de sorte qu'on aura p quantité de la forme ^ ; or, je re-

marque que, quels que soient les nombres 4-9 f 9 ^p» 1a quantité ^^ sera toujours moindre que -r î en effet si Pon consi-

dère la quantité 7^ ^ , et qu'on fasse , ce qui est toujours permis , ^=54 tang ^ , elle deviendra

2sin o 009 é sin 2$

or la plus grande valeur de sin 2(p est l'unité ; donc , etc. Donc , si on dénote par II une quantité égale ou moindre que la

plus petite des quantités 4^ , %[/', etc^ la quantité ^ sera nécessairement

plus grande que la somme des quantités imaginaires dopt nous parlons.

Donc , en général , la quantité ^ — + ~ sera plus grande que la

somme de toutes les quantités

etc,.

Donc , si l'on a

A et n étant prises positivement y on sera sûr que la raciae t tombera entre les limites prcposées.

Or y pour avoir les nombres A et n , lorsqu'on ne connaît pas d'avance les racines de l'équation proposée , il n'y aura qu'à chercher dans l'équation desdifférences(D)du n"" S^la limite /des racines positives, et la limite *» h des racines négatives , et on pourra prendre pour A un nombre quelconque := ou << -jj , et pour II un nombre quelconque = ou

r^ 3 cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l'endroit cité.

85. Si l'on avait ^~ + ^ < i ? alors la condition requise aurait

lieu dés le commencement de la série ; de sorte qu'on pourrait approcher de la valeur de x sans aucun tâtonnement ; voici le procédé du calcul.

Ayant trouvé la première valeur entière approchée de or, qu'on pourra prendre ou plus petite ou plus grande que œ à volonté , et nommant cette valeur p , on aura les deux premières Exactions I P

On fera donc, 1®. ^ = i , -tt' := o, p =/?,/'= i , et substituant ces valeurs dans l'expression de R (n^ 82) , on prendra le nombre entier

qui approchera le plus de — — / ^ , c'est-à-dire de — R, lequel étant nommé k , on aura la fraction rr-^ — r = ^ i/ .

2^. On fera 7r=p^ 7^= i , fs=ikp^ i, /' = *, et substituant dans R, on prendra le nombre entier qui approchera le plus de...

— -p — , c'est-à-dire — r-— , et ce nombre étant nommé k!^ on aura la

fraction ^^-:~^^lî^P±iI±£

iraciion jt^^/^,/— pj+T •

3*. On fera ^ = A;p + 1 , 7/ =: k', f = kf (kp + i) + p, f' =: k!k ^ i y et on prendra la valeur entière la plus approchée

de n ou jLi/ r — 9 laquelle étant nommée A'', on aura la fraction ^y , ^ = etc. , et ainsi de suite.

De cette manière, la valeur de x sera exprimée par la fraction

mntinne

P + tqTi

k" -f- etc. , ou par les fractions convergentes

86. Si Ton n'a pas d'abord ^^^ + ^ <ï, il n'y aura qu'à chei^

cher la fraction continue par la métliode ordinaire, jusqu'à ce que Ton arrive à une fraction dont le dénominateur /' soit tel que l'on

•it' J^^Z,^ + "Tïn < » » ^^ ^^^^ jusqu'à ce que l'on parvienne à une transformée qui soit dans le cas du n® 83.

Au reste, comme en augmentant toutes les racines d'une équation dans une raisou quelconque, on augmente aussi dans la même raison les diOerences entre ces racines, il est clair que si, dnnp

l'équation proposée, on met -^ à la place de a? , ce qui en augmentera les racines en raison de i : /*, les nombres A et II qui conviendront à la nouvelle équation , en seront augmentés dans la même raison , et par conséquent deviendront JA et jfïl ; donc on pourra fidre en sorte que la condition du n* 85 soit vérifiée , en donnant à y* une valeur telle que

Alors on pourra toujours se servir de la méthode du numéro cite, pour approcher sans tâtonnement de la valeur cherchée de a: ; il fendra seulement diviser ensuite cette valeur par y, pour avoir la véritable racine de l'équation proposée : il est vrai que, de cette manière, on n'aura plus ce^te racine exprimée par une simple fraction continue; mais on pourra néanmoins en approcher aussi près qu'on voudra; ce qui suffit pour l'usage ordinaire.