Soit l'équation proposée

DES ËQUATIONS NUMÉRIQUES.

jc" — A = oj

en sorte que l'on demande la racine n''*' du nombre A.

Soit^ I*. n pair , et = 2m, l'équation aura, comme l'on sait, deux

racines réelles -|- v/A et ^^ |/A , et n — 3 racines imaginaires qui s'exprimeront ainsi

(cos^±sin^V/— i)v/A,

e étant la circonférence ou l'angle de SGo"", et s étant successivement = 1 , 21 , 3 , etc. jusqu'à m — - 1 ; donc on aura dans ce cas

(n* 84) ft=a, ir = i7i— I, et on pourra prendre A = av^A,

n = sin-x |/A, à cause que sin - est le plus petit de tous les

sin — ; donc la condition du n® 85 aura lieu si

ai/A— I sin -X VA

donc elle aura lieu sûrement toutes les fois que l'on aura

ou

Soit , 21^* n impair et = 2m -f- 1 , l'équation n'aura qu'une seule racine réelle \/A , et elle aura 2m imaginaires de la forme

( cos— db sin — j/— i \ y^A,

en faisant successivement ^ = i , a , etc. , jusqu'à m ; donc on aura dans ce cas ,fi = T, y = m, et comme le plus petit des sin *- eat^

i cause den:=:am+i,sm , on pourra prendre nsasm -—

X |/A ; de sorte que la condition du numéro dté aura lieu ici , si

gfi DE LA RÉSOLUTION

•in i^^ X i/A = OU < 7 , c'est-à-dire, si l'on a A = oa •

VA

fjL

lÔo*

Donc y lorsque le nombre A ne sera pas au-dessous des

limites que nous venons de trouver, on pourra toujours , en faisant usage de la mélhode du n^ 85, trouver directement et sans tâtonnement la racine n^"^ de ce nombre; et s'il est plus petit que ces limites, oa pourra toujours le rendre plus grand en le multipliant par un nombre quelconque qui soit une puissance exacte du même exposant /s ; en sorte qu'après avoir trouvé la racine de ce nombre composé, il n'y aura plus qu'à la diviser par celle de son multiplicateur pour avoir la racine cherchée de A.

Quant à la valeur de R (n* 85 ), elle sera pour l'équation x" — A =0,