Soit donc l'équation du cinquième degré

ir» -4- Bar» — Car* + Dar — E s= o , l'équation des différences sera

«• af»9-f- ij»« — w' -\-dv* — «c* +fv* — gv' + hv* — (c-f-A = o ,

dans laquelle

a = — loB,

* = SgB'+ioD,

c = — 80B» — 5oBD — aSC, d = gSB* H- 1 34B»D — gSD* H- gaBC» -H i aooCE , e = — 66B« H- 36oBD* — iGgB'D — i i8B*C» — 26oC'D — ôaSE» ~ 400BGE,

/ = — 25B» + 4oD' — 53C* + 5aB»C» — SsaB»!)* + i94B*D + 7o8BC*D H- a4oB'CE + i75oBE» — gSoCDE ,

g^ = — 4B' — io6B»D + 80BD» + 3o8B»D* + loaBC* + 7©^:*

— 57oC»D* — 6i2B*C*D — 7ooC»E -H 375oDE* — aSooB'E*

— 8oB»CE + 2 1 SoBCDE ,

h = 400EH — 36oB*D» — i5B«D* + 34B«D — 8B*C* — 45B«C*

— a7oC<D-f-i4oB»C»D+96oBC*D*+ i875C*E*+ loooCD'E

— 5oooBDE*+ i75oB»E*4-4oB<CE+6ooBC»E— i65oB'CDE,

» s= — 36B'D» + aa4B»D» — 3aoBD* — 4B»C« — a7C« + 4oC*D»

— 434B*C*D» H- a4BC*D + igSBC^D — 5oooD»E* + 45oC»DE + 6a5oCE» — 675B+E* + 375oB*DE« — 3oooBC»E» — 6oB*C»E

— aooBCD'E H- 33oB'CDE ,

k := 3ia5E* — 3750BCE' + (aoooBD* -f- aa5oC*D — gooB'D + 8a5B*C*-H io8B»)E* — (1600CD» — 56oB'CD*— i6B»C» + 63oBC»D H- 7aB«CD — io8C»)E + aSôD» — ia8B'D* 4- i44BC»D» 4- i6B*D» -t- ayOD» — 4B»C*D».

L« réalité de toirtes les racines de l'équation du cinquième degré

NOTE IIL 109

exige doue que Ja valeur de chacune des quantités a, b, c, etc. soit pasitive; ce qui donne, comme l'on voit, dix conditions : mais il est possible que quelques-unes de ces conditions se trouvent renfermées dans le système des autres ; ce qui en diminuerait le nombre, comme nous l'avons vu pour le quatrième degré. Si toutes ces conditions n'ont pas lieu à la fois , alors l'équation aura nécessairement deux ou quatre racines imaginaires , suivant que la quantité k aura une valeur négative ou positive. Mais si cette quantité était nulle, l'équation aurait deux racines égales; elle en aurait trois égales, si la quantité 1 était nulle en même temps, et ainsi du reste.

f ^^^^00$ ^f^ ^f^ A^i^Wl«^WinW^WI^Rf ^W ARn^W<^W^^^'lW^Wp^W»^rll^^^^WI^WP*^^^Wnr^WWPinW*^rll^Wn^Wli^Wr ^R^^WRr •^W^WWRWwi'

Sur la manière de trouver une limite plus petite que la plus petite différence entre les racines dune équation donnée.

La dëterminatioa de cette limite est nécessaire pour pouvoir former une suite de nombres dont la substitution successive fasse connaître d'une manière certaine toutes les racines réelles de l'équation proposée (n^6). Le moyen le plus direct d'y parvenir, est de calculer, comme nous l'avons proposé , l'équation même dont les racines seraient les différences entre celles de l'équation donnée , et de déterminer ensuite, par les méthodes connues, la limite de la plus petite racine de cette équation. Mais pour peu que le degré de l'équation proposée soit élevé , celui de l'équation des différences monte si haut, qu'on est effrayé de la longueur du calcul nécessaire pour trouver la valeur de tous les termes de cette

équation, puisque le degré de la proposée étant m, on a ^ coeffi-

ciens à calculer, et que, pour employer les séries du n^ 8 , il faudrait en tout calculer 2772 (m — i) termes.

Comme cet inconvénient pourrait rendre la méthode générale presque impraticable dans les degrés un peu élevés , je me suis long-temps occupé des moyens de l'affranchir de la recherche de l'équation des différences , et j'ai reconnu , en effet , que sans calculer en entier cette équation , on pouvait néanmoins trouver une limite moindre que la plus petite de ses racines ; ce qui est le but principal du calcul de cette même équation.