I. En effet, soit l'équation proposée en x

a* — Ax— * +Baf— • — Ga-— « + etfc. = o, que je représenterai , pour plus de simplicité, par X :=: o; qu'on en dé-

NOTE IV. m

diûse celte équation en u du degré m—- 1 ( n** 8)

Y + Zu 4-Vi«* 4- etc., + i^^' = o,

dans lacpielle

Y =s jwa--' ~ ( m — I ) Aa*-* -f- ( m — 2 ) Bac*-» — etc. , Z =2^2=i)^-. ». ('"-0 (»"-») j^^p— , . etc.,

V = '"('"" o(>»- ::i) ^3„etc.,

savoir, Y = X', Z = Ç, V = ^,etc.,

X', X'', X'^, étant les fonctions dérivées de X, ou les coefficiens difië- .. , rfX {fX cPX ^

On a vu dans le problème du n^ 8, que si Ton substitue dans cette équation en zi , à la place de x, une quelconque des racines de l'équation or = o 9 elle aura alors pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres racines de la même équation. Donc si l'on y substitue successivement les m racines de l'équation X :=: o^ on aura m équations en II , dont les racines seront toutes les différences possibles enjtre les racines de l'équation proposée ; par conséquent , il ne s'agira que de trouver une quantité plus petite que là plus petite racine de cbacune de ces m équations.

Donc 9 si l'on fidt « s=s ;- , ce qui changera l'équation en » en celle-ci ,

OU bien en multipliant par î^~' , et divisant par Y ,

tout se réduira à trouver une limite plus grande que la plus grande des racines de cette dernière équation y en supposant qu'on y substitue suc-

cessi?ement pour x chacune des m raciaes de l'équation proposée ; car cette limite étant trouvée , si on la nomme L, il est visible que r- sera la limite cherchée plus petite que chacune des m racines.

a^. Or, on sait (n"" la) que le plus grand coefficient des termes négatifs d'une équation, pris positivement et augmenté d'une unité /est plus grand que la plus grande de ses racines positives. Ainsi, pour avoir la limite L, il n'y aurait qu'à trouver la plus grande valeur négative qui pourrait résulter de la substitution des racines de l'équation X = o , à

la place de x dans les coeffîciens y' y ' ^^^' ^^ l'équation en i, ou une

quantité plus grande que cette valeur.

Si ces coeffîciens ne contenaient que des puissances de x sans dénominateur, on pourrait résoudre la question en substituant à la place de X dans les termes positifs, une limite plus petite que la plus petite des valeurs positives de x, et dans les termes négatifs , une limite plus grande que la plus grande de ces valeurs ; car il est visible qu'on aurait, par ce moyen, des quantités négatives plus grandes que les valeurs négatives que chaque coefficient pourrait recevoir par la substitution de chacune des racines positives de la proposée en ^; et pour avoir égard aux racines négatives de la même équation , il n'y aurait qu'à changer dans les expressions des mêmes coeffîciens a: , en — - ^ , et substituer ensuite dans les termes positifs une valeur de x plus petite qu e la plus petite racine négative de cette équation, prise positivement, et dans les termes négatifs une valeur de x plus grande que la plus grande de ces racines.

La plus gèiinde des quantités négatives trouvées de cette manière , prise positivement et augmentée de l'unité , pourrait sans scrupule être employée pour la limite cherchée L.

Toute la diffîculté vient donc du dénominateur Y , qui contient aussi l'inconnue x. J'avais proposé autrefois de prendre pour Y une valeur plus petite que chacune de celles qui pourraient résulter de la substitution des racines de l'équation X = o à la place de x ; mais la difficulté était d'avoir celte limite, et il ne parait pas possible de la trouver autrement que par l'équation même , dont les différentes valeurs de Y seraient racines. Pour avoir cette équation , on ferait Y =^, et on éliminerait X au moyen de l'équation X =: o , et de celle-ci^' — » Y sss o j

NOTE IV. ii3

l'équation résultante en j^ serait du mf'^degcéy et la limite plus petite que la plus petite de ces racines serait la quantité qu'on pourrait prendre pour Y, mais cette équation en j^ peut encore être fort longue à calculer, soit qu'on la déduise de l'élimination , soit qu'on veuille la chercher directement par la nature même de ces racines.

3. J'ai fait réflexion depuis , qu'on pouvait toujours éliminer l'inconnue X du polynôme Y, en le multipliant par un polynôme convenable du même degré /7i -— i ; et ai faisant disparaître , au moyen de l'équation X = o , toutes les puissances de x plus hautes que af^'

En effet ^ si l'on prend un polynôme tel que

— ar*~* + bx^^^ — caf^^^ + etc. ,

que nous nommerons ^ pour abréger, et dans lequel les coefiiciens éiyb^ c^etc. soient arbitraires; et qu'on multiplie le polynôme Y par celui-ci, on aura un polynôme du degré am -— 3. Or, l'équation X s= o donne d'abord la valeur de jî", et ■ avec cette valeur on pourra former , en multipliant successivement par x, et substituante mesure la valeur de a:* , toutes les puissances de x supérieures à x^'^^ jusqu'à ^■""•. On substituera donc ces valeurs dans le polynôme YÇ, et il s'abaissera à la puissance m — i ; on fera alors disparaître tous les termes qui contiennent x , en égalant à zéro chacun de leurs cœfficiens ; * ce qui donnera m— i équations linéaires en a, 6, a, etc. lesquelles serviront à déterminer ces inconnues, dont le nombre est aussi m — • i ; nommant K le terme ou les termes restans et tou9 connus, on aura

YÇ = K , et par conséquent Y = j.

L'équation en i deviendra , par cette substitution ,

i^- + f *^ + ^*-' + etc. -Hi = o;

et comme les cœfficiens 7979 ^c., ne contiennent plus que des puissances de X sans dénominateur , on pourra y appliquer la méthode proposée ci-dessus, et trouver une limite L plus grande que la plus grande des valeurs de <•

On pourra réduire aussi les polynômes Z^, V^, etc., à ne contenir

n4 NOTE IV.

que des puissances de a: moindres que j:"*^% par les mêmes substitutions des valeurs de af* et des puissances supérieures à a^. Cette réduction n^est pas absolument nécessaiie, et l'on peut sans inconvénient employer les polynmnes tels qu'ils résultent de la multiplication de Z, Y, etc., par ^ ; mais elle est utile pour simplifier le calcul et avoir une limite L plus approchée.

4« U est bon de remarquer encore que y comme les valeurs de u qui représentent les différences entre les racines de l'équation proposée , peuvent être également positives et négatives , les valeurs de i pourront

l'être aussi , puisque nous avons fait u r=: - ; d'où il suit que la limite

des valeurs positives de i le sera aussi des valeurs négatives prises positivement y et réciproquement celles des plus grandes valeurs négatives prises positivement y le deviendra des plus grandes positives.

On pourra donc dans l'équation en i prendre également i positif ou négatif, et par conséquent, prendre le sec<Hid, le quatrième, le sixième , etc. , termes de l'équation en i avec des signes contraires , si , de cette manière, il en résulte pour L une limite moindre.

5. Ayant trouvé la limite L , on aura =- pour la limite plus petite

que la plus petite différence entre les racines de l'équation proposée,

et l'on pourra faire ^ = 77 (p!" .6) pour avoir la suite /i , 2/1 , Sa ; etc. , des

nomlirés dont la substitution successive fera connattre sûrement toutes les racines réelles de la même équation , et donnera leurs premières limites.

Si la quantité K était nulle , on aurait pour L une quantité infinie ,.

et la limite y- deviendrait zéro y ce qui indiquerait l'égalité de deux ou

plusieurs racines-ds^is l'équation proposée. En effet , s'il y a deux racines égales, il est clair qu'il y aura une des valeurs de u qui sera nulle; donc le der^ûer terme Y de.l'équatiop en tt, deviendra nul, en y substituant pour X une des racine^ de l'équation X = o ; donc cette équation aura lieu en même temps que l'équation Y = o, c'est-àr-dire , X' = o , ou

^ sso; ce qui revient à ce que l'on sait depuis long-temps. Donc l'é-

quation résultante de ceUerci par l'élimination de ^ , aura lieu au^i.

NOTE IV. ii5

Qr, il est facile de voir que cette équation n'eàt autre chose que l'équation R = o ; car, puisque le produit YÇ devient = K., par le moyen

de l'équation X = o , on aura Y s=: j , et par conséquent l'équation Y = o donnera R = o.

Lorsqu'on sera assuré par là que Féquation en x a des racines égales , on les trouvera en cherchant le commun diviseur des équations X = o , etY = o (n^i5); ensuite l'équation en i donnée ci-dessus étant multipliée par K et divisée par Z^ , deviendra ^ à cause de K =so,

à laquelle on pourra appliquer la même méthode pour trouver une limite plus grande que, les valeurs de i, et ainsi de suite.

Au reste, comme avant d'entreprendre la résolution d'une équation par quelque méthode que ce soit, il est toujours nécessaire de s^assurer si elle a des racines égales , parce que ces racines peuvent se déterminer à part d'une manière rigoureuse , on voit que le calcul de la quantité R est indispensable lorsqu'on ne calcule pas l'équation des différences* car l'équation R = o est proprement celle que Ton trouve par les méthodes ordinaires, lorsqu'on cherche les conditions de l'égalité des racines. Ainsi à cet égard , la méthode que nous proposons n'alonge point le calcul nécessaire pour la résolution des équations.

6. La quantitéR étant connue, tout se réduità chercher une quantité égale ou plus grande que la plus grande valeur négative des quantités

g- , -^ , etc. , =r coefiiciens de l'équation en £ ; pour cela on substituera

à la place de x une quantité plus petite que la flus petite des racines positives de l'équation X = o, dans les termes positif de ces coeffîciensy et une quantité plus grande que la plus grande de ces racines dans les termes négatifs; ensuite, ayant changé dans ces mêmes coeffiçiens jc en — X, on substituera de même dans les termes positifi une quantité plus petite que la plus petite des racines négatives y et dans les termes négatifs une quantité plus grande que la plus grande des racines négatives de la même équation , en prenant ces racines positivement. Le plus grand résultat négatif qu'on aura de celte manière, étant pris

positivement et augmenté de l'miitë, donnera la valeur de la limite L^ que Pon cherche.

Pour avoir ces quantités plus grandes et plus petites que les racines de l'équation X ss o , on pourrait prendre tout de suite le plus grand coefficient des termes négatifs de cette équation , augmenté de l'unité, pour la quantité plus grande que ses racines positives ; ensuite , après avoir échangé dans la même équation

X en ^j et fait disparaître , par la multiplication , les puissances

négatives de x, on prendrait de même le plus grand coefficient des termes qui seraient de signe différent du premier, et l'unité divisée par ce coefficient augmenté de l'unité, serait la quantité plus petite que les mêmes racines. A l'égard des racines négatives, on changerait, dans l'équation, x en *— a:, pour les rendre positives, et l'on trouverait de la même manière les quantités plus grandes et plus petites que ces racines.

Mais, quoique les limites qu'on trouvera par cette méthode soient toujours exactes , elles peuvent néanmoins être trop éloignées entre elles; ce qui aurait l'inconvénient de donner pour la limite L une quantité trop grande, et par conséquent pour la différence A des termes de la suite une quantité trop petite : d'où résulterait un trop grand nombre de substitutions successives à faire dans l'équation proposée , pour en découvrir toutes les ra* cines (n* 6).

7. 11 est donc utile d'avoir des limites plus resserrées , et l'on pourra les trouver par la méthode exposée dans le n® 12. Suivant l'esprit de cette méthode, il ne s'agira que de chercher d'abord une valeur de X qui rende positives les valeurs des fonctions X, X', X'V^tc, ce qui n'est pas difficile en commençant par la dernière, où X n'est qu'à la première dimension , et remontant successivement à celles qui précèdent. Cette valeur sera la limite plus grande que toutes les racines positives de l'équation X s= o. Pour avoir ensuite une limite plus petite que ces racines, on transformera

la fonction X, en y substituant - à la place de x, et la multipliant par af^ pour faire disparaître les puissances natives 3 et sa

le terme où est ^ se trouve négatif, on changera tous les signes pour le rendre positif. On prendra cette nouveUe fonction pour X , et en ayant déduit les fonctions X^ X'', etc. , on cherchera de nouveau la valeur de x , qui rendra toutes ces fonctions positives. L'unité divisée par cette valeur, donnera une limite plus petite que toutes les racines positives de la même équation X==o. Enfin on changera dans ces deux séries les fonctions a: en — x^ en changeant en même temps tous les signes , si la plus haute puissance de a: se trouve affectée du signe —- ; et les valeurs de x qui les rendront toutes positives seront les limites plus grandes et plus petites que les racines négatives de la même équation prises positivement.

8. Pour donner un exemple de la méthode que nous venons d'exposer , nous l'appliquerons à l'équation

que nous avons résolue dans le n* 27.

On aura donc ici

X = or' — 7^ + 7 5

et les fonctions dérivées seront

donc