V — II

et l'équation en u sera du second degré.

On prendra pour Ç le polynôme indéterminé du second degré

op» H- or H- A , et en le multipliant par le polynôme Y , on aura

YÇ as 5ar* 4- 5ac« -f- (34 — 7 ) or» — 74X — 7A. •

Mais l'équation X = o donne a:r* = 70: — 7 ; donc x^ = 7jc* — 7X. Faisant ces substitutions , on aura

Yf = (3i + 14) «r^ + (^4^ — 21) X -— 21a — 7A. On fera donc

5* 4- l4 == ^> ^4^ — 21 = o, — 2ia — 76 = K;

d'où Ton tire

Ainsi , puisque la quantité K n'est pas nulle, on en conclura d'abord que l'équation n'a pas de racines égales.

Maintenant on aura

et de là, en multipliant par Z = 5a:, et substituant pour x^ sa valeur,

de sorte que les deux coefficiens de l'équation en i seront

27jr* + 4^^f— * '^6 fiy* + 9^ — 2 8 ^

et il ne s'agira plus que de trouver une quantité égale ou plus grande que la plus grande valeur négative que ces coefficiens puissent avoir sans connaître les valeurs de x : or , c'est à quoi on peut parvenir par le moyen des limites de ces valeurs.

9. Pour cela , on commencera par chercher des limites plus grandes et plus petites que les valeurs de x, tant positives que négatives. Je remarque d'abord que le plus grand coefficient des termes négatifs dans l'équation en x , étant 7, on pourrait prendre 8 pour la limite plus grande que les racines positives ; mais on peut

NOTE IV. n9

trouver une limite moindre par la considération des fonctions X , X', X"; savoir ,

X* — 7 jî + 7 , 3a:* — 7 > 6^ >

en cherchant une valeur de x qui les rende toutes positives : on trouve que X z=: :k satisfidt à ces conditions y de sorte que n sera une limite plus grande que les racines positives.

Si Ton change dans ces mêmes fonctions x en — * x, en changeant en même temps les signes , s'il est nécessaire , pour que le premier terme soit toujours positif, on a celles-ci,

a:' — 7X — 7 , 3x* — 7 , Gx ;

et l'on voit que, pour les rendre toutes positives, il Ëiut faire en nombres entiers a: = 4 3 niais en nombres fractionnaires il suffit de X szs 3 -^ : ainsi 7^ sera une limite plus grande que les racines négatives prises positivement.

On transformera maintenant la fonction x par la substitution

de - à la place de x j et l'ayant multipliée par x^ pour faire disparaître

les puissances négatives, on aura, après avoir divisé par 7 , coe0icient du premier terme, cette fonction transformée

or» — X* + 4,

dont les deux fonctions dérivées seront

qu^il &udra rendre positives pour une valeur supposée de x. Or , on trouve que i satisfait à ces conditions ; mais on y peut satisfaire par un nombre moindre , comme |. Ainsi ^ sera une limite plus petite que les racines positives.

Enfin, en changeant dans ces mêmes fonctions x en — x, et changeant en même temps tous les signes de la première et de la troi-^ sième , pour rendre les premiers termes positifs , on a celles-ci ,

x* + X» — f , Sx* + 2X , 6x + a j

lao NOTE IV.

et Pou trouvera aisément qu'elles deviennent toutes positives en &isant «r = j ; d'où il suit que 3 sera une limite moindre que les racines négatives prises positivement.

On a donc, pour les limites des racines positives, les nombres ^ et 3, et pour celle des racines négatives prises positivement, les nombres 3 et ^h-

On substituera donc d'abord , à la place de j: , | dans les termes positifs , et 2 dans les termes négatifs des deux quantités

27xM-4^*— 126 63c* + y — ' a8

et l'on trouvera les résultats — -^ et — -î^ ; comme le premier de ces deux résultats est le plus grand , il est bon de voir si , en changeant tous les signes de la première quantité, ce qui la réduit à

7* ""^ *r ^ g|. sijjsti tuant de même f dans les termes po-

siti&, et 2 dans les termes négatifs, au lieu de x, on aurait un résultat moindre; mais on trouve celui — -'•^, qui est au contraire plus grand, et par conséquent inutile.

On changera maintenant, dans ces mêmes quantités, x en— -x, ce qui les changera en celles-ci ,

2^x^ — 4^ — 126 6br* — Qx — 28

et l'on y substituera 3 à la place de x , dans les termes positifs , et |~ dans les termes négatiÊ, il viendra ces résultats, — f| et •— ff; et comme le résultat de la première quantité est moindre que l'un de ceux que nous avons déjà trouvés , il est inutile d'en chercher un autre en changeant les signes de cette quantités.

Puisque — -^ est le plus grand résultat négatif, on aura

L =5? ^ + I , et par conséquent A = y- = — pour la limite cher-

chée , moindre que la plus petite différence entre les racine de l'équation proposée .

Nous avons trouvé par l'équation même des différences A =s -1 (n* 27); d'où l'on voit que la méthode précédente donne à la

NOTE IV. lai

vérité une limite un peu plus petite , mais que la différence est peu considérable. Au reste, quoique pour une équation du troisième d^é il n'y ait guère rien à gagner par cette méthode sur la longueur du calcul, il n'en sera pas de même pour les équations des degrés supérieurs; car le nombre des opérations que cette méthode exige n'augmente que comme le degré de l'équation , au lieu que celui des opérations nécessaires pour calculer l'équation des différences et en déduire la limite cherchée, augmente comme les carrés de ce même d^é.

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Sur la Méthode d Approximation donnée par Newton.

OoMMS la méthode de Newton pour- la résolution approchée des équations numériques est la plus connue et la plus usitée à cause de sa simplicité , il est important d'apprécier le degré d'exactitude dont elle est susceptible; voici comment on y peut parvenir.