I. Soit l'équation générale du degré m

or — A;r*"» + Bjc"^» — etc. = o,

dont on cherche une racine. La méthode dont il s'agit demande qu'on connaisse d'avance une valeur approchée de la racine cherchée ; en désignant cette valeur par a , on fera a: ss a *!* ^ , et l'on aura par cette substitution une équation transformée en p , qui ^ à comniencer par les derniers termes, sera de la forme

X + Y;> + Z;>* + V;?» + etc. + ^ ,

où les quantités X ^ Y , Z , etc. seront des fonctions de a y qu'on trouvera tout de suite, par les formules du n^ 8, en changeant a? en a; ainsi on aura

X == rf* — A"-' + Bfl"— — OP-» + etc. ,

Y = ma-' (m — i) Arf— + (m — a) Brf""' — etc.,

Comme p doit être par l'hypothèse une quantité assez petite, étant la différence entre la vraie racine et la valeur supposée de cette racine , les puissances p^^ p^^ etc. , seront de fort petites quantités auprès de p ; par conséquent les termes affectés de ces puissances seront eux-mêmes nécessairement très petits à l'égard des

NOTE V. ia3

premiers termes X 4* ^p 9 puisque les coefficiens Z , Y , etc. , ne peuvent jamais devenir fort grands, étant des fonctions sans dénominateur : ainsi, en réduisant toute l'équation à ses deux termes,

on en tirera une valeur approchée de p , qui sera = — - =. Appelons b

cette valeur approchée de /? , on pourra faire par la même raison , dans l'équation en /? ^ la substitution de b ^ q^ k Isl place de p , et négliger ensuite dans la transformée en ^ les termes qui contiendront le carré et les puissances plus hautes de 9; cette transformée étant ainsi réduite aux deux premiers termes de la forme (X) -f* (Y)^,

donnera sur-le-champ ^ = — - ^. Cette quantité étant nommée c ,

on substituera c ^ r k la place de if dans la dernière transformée , et l'on en aura une nouvelle en r, d'où l'on tirera de même la valeur en r , et ainsi de suite.

De cette manière l'on aura les approximations a ^ a -f* ^ 9 ^ + A + c , etc. , vers la vraie valeur de la racine cherchée.

a. Voilà la méthode telle que Newton ]'a donnée dans la Méthode des Fluxions ; mais il est bon de remarquer qu'on peut se dispenser de &ire continuellement de nouvelles transformées; car, puisque la transformée en p est le résultat de la substitution de a ^ p , au lieu de x , dans l'équation en or , et que la transformée en ç est le résultat de la substitution de b ^ q y qlxx lieu de py dans la transformée en ^ , il s'ensuit que cette transformée en q sera le résultat de la substitution immédiate de a ^ b ^ q k la place de of dans la même équation en x ; par conséquent elle ne sera autre chose que la première transformée en /? , en y changeant p en q ^ et a en a 4* ^; d'où il suit qu'ayant trouvé l'expression générale de p en a , on aura celle de ^ , en y substituant a ^ b au lieu de a ; et par la même raison on aura la valeur de r, en substituant a^b-^- c au lieu de a , et ainsi de suite.

Donc en général si , dans l'expression de ;? en a ^ on substitue pour a un terme quelconque de la suite convergente vers la racine cherchée , on aura la quantité qu'il faudra ajouter k ce terme pour avoir le terme suivant.

La méthode qui résulte de cette considération est, comme l'on voit, plus simple que celle de Newton; c'est celle que Baphson

a donnée dans l'ouvrage intitulé Anafysis ^quationum imwersalis j imprimé k Londres en i6go, et réimprimé en 1697. Gomme la méthode de Newton avait déjà paru dans l'édition anglaise de V Algèbre de FTallis en i685 , et qu'elle a été ensuite eipliquée en détail dans l'édition latine de 1793, on peut être surpris que Raphson n'en ait pas fait mention dans son ouvrage ; ce qui porterait à croire qu'il la regardait comme entièrement différente de la sienne : c'est pourquoi j'aî cru qu'il n'était pas inutile de faire remarquer que ces deux méthodes ne sont au fond que la même présentée différemment.

3. Maintenant , il est clair que la bonté de la méthode dont il s'agit y dépend de cette condition , que si a est une valeur approchée d'une des racines de l'équation proposée, a ^ p sera une valeur plus approchée de la même racine^ c'est donc ce qu'il faut examiner.

Soient ct^ fi^y^ etc. , les m racines de l'équation

xT — Ajc""* -|- Bo:"""* — etc. c= o ;

cette équation , comme nous l'avons vu dans la Note seconde , peut toujours se mettre sous la forme

{x — et) {x — /S) (jc — 5,) sso.

Mettons a ^ p kht place de or, et développons les termes suivant les puissances de pi on trouvera pour les deux premiers termes X + Y;:^ , ces valeurs de X et Y ,

+ (a — «) (a — )8) + etc.,

d'où l'on tire

v = r "H : + —etc.,

A a — fit ' a— /8 a — j^ '

et par conséquent

+ etc.

+ etc.

Supposons que a soit la racine que l'on cherche , et que a soit une valeur approchée en plus ou en moins , ce — - a sera le défaut ou Poxcès de la valeur a sur la véritable a , et a -^ a -*— j9 sera le dé&ut ou l'excès de la valeur comgëe a^p^ et il faudra , pour la bonté de la méthode , que la quantité a -— a — - ;? soit toujours plus petite que la quantité ce — - a, abstraction faite des signes de ces quan*

tités; et par conséquent que la quantité • soit toujours plus

grande que , abstraction faite des signes.