Faisons; pour abréger

R î= 7 H 1- etc. ,

on aura , par la formule trouvée ci-des&us pour la valeur de p ,

ce— a a— a

donc,

it'^a'^p R(«e — a) «— a ^^ (• ^ a)'R*

D'où je conclus que si la valeur de R est du même signe que celle de a — a , la valeur de « — a — ^ sera encore du même signe , et que la condition dont il s'agit aura nécessairement lieu.

Mais si les deux quantités et— >a et R sont désignes contraires, alors, pour que la condition ait lieu, abstraction faite des signes,

il fiiudra que l'on ait ^ ^ ^ > . ^ ; or de l'équation précédente on tire

donc il fiiudra que . ^^ ^^^ + . j " ^ . ^g ; soit une quantité positive, et par conséquent que l'on ait la condition

a(«— fl)R -f. I >o.

ia6 NOTE V.

Comme la valeur de R dépend des autres racines fiy y^ etc. , qui sont inconnues, il est difficile, peut-être même impossible de trouver à priori un caractère pour juger si la condition dont il s'agit est remplie ou non.

n est aisé d'ailleurs de former à posteriori des équations où cette condition n'aura point lieu, en prenant les racines jS, ^, etc. , de manière que quelques-unes des différences fi — ^j > — «, etc. soient fort petites et de signes différens ; et si jS et 5^ , par exemple , sont imaginaires et de la forme deTT + pi/— letw— p |/ — i^ il n'y aura qu'à prendre tt peu différent de a et p fort petit. Alors la valeur corrigée a + ^, au lieu d'être plus près de la vraie valeur de la racine et que la valeur de a, s'en éloignera au contraire davantage.

5. Il n'y a donc que le premier cas où l'on puisse établir un caractère certain pour le succès de la méthode ; car il est visble que si la quantité a est à la fois plus petite que chacune des racines ce , j3, y^ etc. de l'équation proposée , ou plus grande que chacune de ces racines, en regardant, comme on le doit, les quantités négatives comme plus petites que les positives , et les plus grandes n^atives comme plus petites que les moins grandes 3 alors la quantité R sera nécessairement de même signe que la quantité «( — - a; et si , parmi ces racines, il y en a d'imaginaires de la forme ^+p l/— 'i?^— Pi^— i j

il en résultera dans R les termes ; — — h . ,

qui se réduisent à . ^^^ , , quantité qui sera aussi de même signe

que «( — « a, si a est en même temps plus petit ou plus grand que it.

D'où l'on peut conclure , en général , que l'usage de la méthode dont il s'agit, n'est sûr que lorsque la valeur approchée a est è la fois ou plus grande ou plus petite que chacune des racines réelles de l'équation , et que chacune des parties réelles des racines imaginaires ; et que par conséquent cette méthode ne peut être employée sans scrupule que pour trouver la plus grande ou la plus petite racine d'une équation qui n'a que des racines réelles , ou qui en a d'imaginaires , mais dont les parties réelles sont moindres que la plus grande racine réelle ^ ' ou plus grandes que la plus petite de ces racines.

Pour que les valeurs corrigées successivement approchent toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine , il faudra prendre pour première valeur approchée une quantité plus grande que la plus grande des racines, si c^est celle-ci qu\)n cherche; ou plus petite que la plus petite racine , si l'on cherche la plus petite ; alors toutes les valeurs corrigées successivement seront aussi plus grandes que la plus grande y ou plus petites que la plus petite des racines, et la condition nécessaire pour la convergence aura constamment lieu pour toutes ces valeurs, puisque R et a -^ a seront toujours de même signe , en prenant pour a chacune de ces mêmes valeurs.

6* Lorsque toutes les racines de Péquation sont réelles , il est facile de reconnaître si la première valeur a'pprochée a est plus grande ou plus petite que chacune des racines ; car en mettant Pé-quation sous la forme

{x — a) (jc— fi) {x — >)•••• =ïa, et substituant a -^ p pour Xy elle deviendra

oùa— -«(,a— - j8, a— «^, etc. , seront , dans le premier cas , des quantités positives , et dans le second , toutes négatives ; donc , dans le premier cas , on aura une transformée en p dont tous les termes seront positifs, et, dans le second cas, cette tranformée aura ses termes alternativement positif et négatiÊ.

Réciproquement, si les termes de la transformée en p sont tous positift, il est évident qu'il n'y aura alors aucune valeur positive de p qui puisse satisfaire à l'équation ; par conséquent les valeurs réelles de p seront nécessairement négatives : donc les racines de l'équation en p étant <e — a, j8 — a, 5. — a, etc. , il faudra que ces quantités soient toutes négatives ou imaginaires; donc la quantité a sera nécessairement plus grande que chacune des racines réelles de l'équation , quand même eUe aurait des racines imagi-^ naires.

On prouvera de la même manière que si les termes de la transformée en p sont alternativement positifs et négatifa , la quantité a sera

nécessairement plus petite que chacune des racines réelles y soit qu'il y ait des imaginaires ou non.

7 . Mais dans le cas où l'équation a des racines imaginaires , on ne pourra pas s'assurer de la même manière que la quantité a sera en même temps plus grande ou plus petite que chacune des parties réelles de ces racines; je ne vois pas même qu'on puisse s'en assurer autrement que par le moyen de l'équation dont ces parties réelles seraient racines. Or, si ^ = tt -|- f |/ — i , et

j.sss'Tr— p ^ — f,on a7r= ^ : ainsi l'équation dont ^

sera une des racines, ne peut être que celle qui aura pour racines les demi-sommes des racines de la proposée , prises deux à deux , et qui , par la théorie des combinaisons , montera au degré

Ayant formé cette équation par les formules que nous avons indiquées plus haut ( Note lU ) , on y substituera a -f- s à la place de l'inconnue ; et si la transformée a tous ses termes positiÊ , ou alternativement positifs et négatif ^ on sera assuré que le nombre a sera plus grand ou plus petit que chacune des valeurs de 9r , et par conséquent aussi que chacune des parties réelles des racines imaginaires.

8. ffewton n'a appliqué sa méthode qu'à l'équation x^ — oor— 5=so que nous avons résolue (n? 2S). Il suppose d'abord dans le chapitre ly a = a , et substituant 2 -H /^ à la place de âp , il a la transformée

o »s — I -H lop ^ 6p^ + p^^

d'où il tire p ss= — =9 0,1 ; il &it ensuite ;9 = o,i»H9>ilala nouvelle transformée

o 8= 0,061 + ii,a3^ + 6,3f* + y*,

d'où il tire y s= — j^-j ses — o,oo54 ; il continue en

^ ss — o,oo54 «H ^9 il vient la transformée

o ss 0,000541708 H* ii,i6i96r -i- 6,5/* -i- H,

d'où il déduit r = ^:i-î^^^^^=-o,oooo4853 ; et

ainsi de suite.

Ainsi les valeurs convergentes de x sont 2, 2,1, 2,0946, 2,09455147 9 dont la dernière est exacte à la dernière décimale près (numéro cité).

Dans ce cas, la série est, comme l'on voit, très convergente. On peut, en effet, s'assurer à priori par ce que nous avons démontré, que cela doit être ainsi.

Car nous avons vu ( numéro 26 ) que les deux autres racines de cette équation sont imaginaires , et qu'en les représentant par

p V — 1 , ou a a très peu près p' 5= j-jj = |- , et. . . .

^ = — 8?ï"+T=~ 17777 = " 444Î ^^'^^^ puisque, outre la

racine a que l'on cherche, il n'y a que ces deux racines imaginaires , on aura dans ce cas R = 7 — ^ ^. . . . Or, a étant = 2,

i353 ou a ^ — a :^ — -777- ; mais a étant à très peu près 2,0945 . . .

on a et — a =3 0,0^45 • • • • , d'où l'on voit d'abord que R et et — - a sont de signes diiférens, et qu'ainsi, pour que la première correction de a soit juste, il faut que la condition a(a — d) R 4-1 > o ait lieu. Or, on trouve R =— 0,6576, et de là 2(a — a)R = — 0,1244 ; de sorte que la condition dont il s'agit est amplement satisfeiite. Ainsi on est assuré que la première valeur corrigée 2,1 approchera davantage de la vraie valeur de la racine. Eu prenant cette

valeur pour a, on a «—<!=:—• o,oo55 ; donc * — a et

R étant maintenant de même signe, les corrections suivantes approcheront toutes de plus en plus de la vi'aie valeur de la radne cherchée.

^)^^^^^^^^^^V»^V^V V »VV%%VV % vVVV\(»V»%W^<V»<^\^ ^» »^^V»^^^^MMA^i>W^^^M^<<^^^A^^(V\^»^%V%»V^»V^MM^^^ WMW

NOTE YI.

Sur la Méthode d Approximation tirée des séries

récurrentes.