I. Reprenons l'équation

a:-— - Ai— ' + Bx— — Gr— ^ + etc. = o,

dont on a désigné les racines par a, ^9 >> etc.; on aura (Note II), par la nature de ces racines, l'équation identique

af" — AoT-' •+- Ba:— — Gr"-^ + etc.

= {x — a) {œ — jS) {x — y) (x — cT). . . . ,

laquelle doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de x.

L'identité de l'équation subsistera donc encore en mettant a: -{- < au lieu de Xy quelles que soient les valeurs de x et i; donc aussi si après la substitution , on développe suivant les puissances de /, les termes affectés de 1% etc. , fourniront d'autres équations identiques ; ce seront les équations que nous avons appelées dérivées , dans la Théorie des Fonctions,

La première de ces équations dérivées sera

maf*'^^ — (m — ^ i) Ajj"""* + (/w — '2} Hx*^^ — etc.

=s{x— fi) (x-^y) H- (^ — a) (^ — >)

(x — et) (a: — jS).... + etc.

Divisons cette équation par l'équation identique ci-dessus, on

aura

Tiuf»-' — (wf — i) Aaf^ + (m — 2) Bx— ^ — etc. X- — Aa:«— -+. B««-* — Gt^^ H- etc.

= — 1 ^ + -A- + etc. ,

équation qu i doit aussi être identique , quelle que soit la valeur de x.

NOTE VL i3i

Donc, elle le sera encore si on en développe les deux membres en séries qui procèdent suivant les puissances positives ou natives de X.

2» Développons d'abord smvant les puissances négatives ^ la fraction qui forme le premier membre deviendra

P «lQ J^^ •l-^ -i fr

et pour trouver les valeurs des coefiiciens P , Q , R , etc. , il n'y a qu'à multiplier par le dénominateur x" — Aof*""' -|- etc. , et comparer ensuite les termes avec ceux du numérateur maf""* — (^m — i) Aaf*"' -f- etc. > on aura ainsi