Supposons

Z = liT — AttT-' + Bi/^^ — CuT-^ + etc. =fc Vj

en sorte que 2=0 soit l'équation qui détermine la valeur de u: cette quantité Z étant regardée comme une Fonction de a , donnera les équations dérivées Z'sso, Z^'asOy Z'"^s Oy etc.

Mais pour pouvoir distinguer dans ces fonctions ce qui est dû en particulier aux variations des quantités Oy bj Cy etc. h et Uj nous représenterons en général, à l'imitation de ce qu'on pratique

('pjA-Tjj etc. les coefliciens des fonctions dérivées a\ V^ d^ etc.

dans l'expression de Z' j par T^J, Cd^V' v^y' ^^^*' ^^ coefficiens

des quantités a^*, dV^ V^^ etc. dans l'expression générale Tl\ et ainsi de suite, et nous appellerons de même ces fimctions, fonctions dérivées partielles. Lorsque a est la variable principale dont les autres sont ou peuvent être censées fonctions ^ on aura «' s= i ; mais nous retiendrons la lettre d sous les lettres Z', Tl\ etc. pour représenter en général les coefBciens des termes de Z', T]\ etc. qui contiendraient cette même lettre , si a était une fonction quelconque d'une autre variable principale, et pour dénoter par conséquent ce qui est dû en particulier À la variation de o.

Cette notation est plus nette et plus expressive que celle que j'ai employée dans la Théorie des fonctions , en plaçant les accens

,g6 NOTE X.

dîfieremment 9 suivant les di£Pérentes variables auxquelles, ils se rapportent. En la substituant à celle-ci, l'algorithme des fonctions dérivées conservera tous les avantages du calcul différentiel, et aura, de plus, celui de débarrasser les formules de cette multitude de d qui les alongent et les défigurent même en quelque façon , et qui rappellent continuellement à l'esprit l'idée fausse des infiniment petits.

10. On aura ainsi, en regardant toutes les quantités â, 6, c, etc. h y et zi, comme les fonctions quelconques d'une variable primitive ,

et prenant de nouveau les fonctions dérivées.

et ainsi de suite.

Donc, faisant â'ssi, a['=:o. etc., i'=:^-^a, 4"— - ÎLL^-ZLîi

4'"= G, c'= — ^-i, etc., comme nous l'avons trouvé ci-dessus , on aura les équations Z'=o, Z''=o, etc., savoir :

et ainsi de suite, dans, lesquelles les fonctions dérivées partielles

W/ ' \f) ' ^^^' ' Cô^/ ^ Cô^/ ' ^''^* seront des fonctions connues de a^ bj Cy etc. u.

La première équation donnera donc la valeur de <; la seconde donnera celle de s^ etc. en fonctions rationnelles de Hj by Cy etc. u;

(Z'\ —,j ne devienne nulle, auquel

cas la première équation ne contiendra plus ty ni la seconde s y 'etc. Dans ce cas donc il faudra tirer la valeur de t de la seconde équation, dans laquelle t monte au second degré 3 et les équations suivantes donneront alors les valeurs de ^, r, etc. par des fonc-

-7i ) était aussi nulle ,

l'équation en t ne serait plus que du premier degré , et si la somme des fonctions qui multiplient t était nulle en même temps , la quantité t disparaîtrait de la seconde équation, et ne pourrait être donnée que par la troisième, où elle monterait au troisième degré,

et ainsi de suite.

(Z'\ -7J est égale à

fjoJ^^ (;t— i)Aii^-^ + ((i — 3)Biir-^ — etc.,

et l'on voit que l'équation (27)^=0 renferme les conditions de l'égalité des racines de l'équation Z = o. D'où il suit que si cette équation a des racines égales , et qu'on emploie pour la valeur de u une

(Z\ -7J devienne nulle en

même temps que Z, le coefficient t dépendra alors d'une équation particulière du second degré; et par conséquent tous les autres coefficiens du polynôme diviseur, dépendront à la fois de la résolution deâ deux équations en u et en t. Nous en avons donné ci* dessus (Note précédente, n* i3) la raison métaphysique tirée de l'égalité des racines; mais on en a ici une démonstration analytique rigoureuse.

II. Une conséquence essentielle qui résulte des formules précé-*

dentés , c'est que tant que k fonction Cnj ne sera pas nuHe , tous les

coefficiens tj Sj r, etc. seront données en fonctions ralionneUes du coefficient a; et que par conséquent cela aura lieu néccssailement lorsque l'ëquation en u n'aura point de racines égales, ou du moins lorsqu'on n'emploiera pour la valeur de u que des racines inégales.

Or j'observe qu'on peut toujours faire en sorte que l'équadon en u n'ait point de racines ^les^ à moins que le polynôme donné n'ait lui-même des &cteurs ^ux ; mais comme on peut éliminer ces fiK>teurs d'ayance, on pourra toujours supposer que tous les fiideurs de ces polynômes soient in^aux. Gela supposé, si on substitue dbns ce polynôme x-— A à la place de x, ce qui changera les coefficiens a, by Cj en

i + (m-,)«A-HSi^:Llli)A-,

etc. ,

les facteurs du nouveau polynôme seront x — « — A, x — /S — A, X — y — A , etc. c'est-à-dire que les quantités [a, /S, y^ etc. deviendront ci+X^ /8-4-A, > + A, etc.

Donc les racines de l'équation en Uy seront tous les produits possibles de n quantités, prises parmi les m quantités a + A, /3-f-A, ^ -f- X, etc. ; et il est clair que deux de ces racines ne sauraient devenir égales à moins qu'il n'y ait deux produits égaux de deux 00 de plusieurs dimensions , formés de ces difiereutes quantités. Or il est yisiUe que tant que les quantités a, /8, ^, etc. seront ini^ales, on pourra toujours prendre A de manière qu'aucune de ces ^alités n'ait lieu • car en conûdorant, par exemple, les deux produits («(-H^) (/3 + ^) et (>+X) (cT^X) qui se réduisent â A'-h(a+/8)A-h«j3 et ^*-H>+J^)^+> J^j on voit qu'il n'y a qu'une valeur de A qui piûsse les rendre égaux; et que, par conséquent, il y en aura une infinité qm les rendront in^ux, à moins que l'on ait a-f-/3=>+^ct a)3=^, ce qui emporterait F^alité de a et /S avec y et ^.

Il en sera de même des produits d'un plus grand nombre de acteurs ; d'où l'on conclura en général , qu'on peut toujours transformer