BOT£ X

ainsi le polynôme primitif, en augmentant l'indéterminée^ d^une quantité quelconque, de manière que l'équation résultante en u n'ait point de racines égales.

12. Nous vencms de donner, non-seulement la manière, mais les formules mêmes par lesquelles on pourra toujours trouver im diviseur d'un degré n d'un polynôme quelconque du degré m -y et nous venons de démontrer par ces formules, que ce diviseur n^ dépendra que de la racine d'une seule équation du degré /te, savoir :

m(iii— i) (w»— a) (in — j»J*i>

*mm ,

Il suffira donc que cette équation ait une racine réelle pour que tout le diviseur soit réel; mais comme il n'y a, en général, que les équations d'un degré impair, ou celles des degrés pairs dont le dernier terme est négatif, où l'on soit assuré de l'existence d'une racine réelle, il reste à voir quelles sont les valeurs de n pour lesquelles ces conditions auront nécessairement lieu.

Quel que soit le nombre m ^ il est toujours rédueti^ à) k forme 2^ iy i étant un nombre impair: Supposons n =^ a^, on aura

OU bien , ce qui est la même cbose,

7f ilT,^ i—\) ( a' *— 2) , . ( af i— a^ + i\

'^ af (af — iT(a^ — a7 ..Ca"^ — âf^fi)'

et divisant le haut e( le bas de cette fraction par a^, ensuite par a, par 4 9 ct^- ^^ Awa

Gxnme le ouméiiateuF et le déncrainateur ne contieDDeat plus que des facteurs impairs,.et que le nombre >« est^ pe« sa nature^ m nombre entier^ il a'enjsuit ^'il sera nécessiâremekit inpaif.

aoo NOTE X.

Il suit de là que tout polynôme du degré a^ i peut toujours avoir uii diviseur réel du degré 2'; le polynôme restant après la division

sera donc aussi réel, et du degré a^i— 3^, savoir, 2^(1— 1); or, i étant un nombre impair, i — i sera un nombre pair, qu'on pourra

représenter par a'A:, k étant un nombre impair; le polynôme restant

sera alors du degré a^'^'A:, et aura un diviseur réel du degré a^"*"*^, et ainsi de suite. Comme de cette manière tout nombre entier peut être décomposé en un certain nombre de puissances croissantes de a ,

comme 2^ + a^ "*" *^+ etc. , il s'ensuit que tout polynôme d'un degré quelconque, pourra être décomposé immédiatement en un pareil nombre de polynômes, dont les degrés seront ces mêmes puissances de deux.

i3. Il reste donc à considérer les polynômes dont le degré est une simple puissance de a. Faisons dans la formule générale de ;a,

77i = a'^, et 71= — ssa"^ , on aura ' 2 '

2^(2^ — i) (2^—2) (af— a^-i-fi)

af (2f —0(2^ —2) (2f — 2^-'-f i)

divisant le haut et le bas de cette fraction par a^ ' , et ensuite par 2 , par 4 > etc. , on aura

Comme tous les facteurs du numérateur, à l'exception du premier a , ainsi que tous les facteurs du dénominateur, sont impairs, il s'ensuit que le nombre f6, qui est d'ailleurs entier par sa nature, sera nécessairement de la forme 2/, i étant un nombre impair.

Considérons dans ce cas l'équation en £i; puisque le degré du diviseur est la moitié de celui du polynôme , les racines de cette équation seront tous les produits qu'on pourra faire en p4^nant la moitié des quantités fl(, /3, y y etc. dont le nombre est supposé pair. Donc,

NOTE X. aoi

puisque le produit de toutes ces quantités est A , il s'ensuit que si u est un de ces produits partiels , - en sera un autre ; par conséquent si u est

une racine de Féquation dont il s'agît , - en sera une aussi. Cette

équation devra donc demeurer la m^e, en y substituant - pour u. Par cette substitution, l'ëquation

«r - Aa^* +Bi/*"~* — Ctt?*"^ -f- etc. — R«» + Sa«--TM+ V=o

deviendra, après avoir été multipliée par i/*et divisée par Y,

"'^ — -y-« -h-^tt —y-» H- etc. ç— u'

et comme ces deux équations doivent être identiques, on aura

A = -^, 15 = -^, t4=-^, etc.;

mais on a trouvé ci-dessus Y z=h\ p étant = — s=^ (à cause de i?i= a/i, dans le cas présent), et par conséquent impair; on aura donc

T = AA'-S S = BÂ'~^, R = CV~^,etc-;

ainsi, en substituant 2¥ à la place de fi, et réunissant les termes éga* lement éloignés du milieu, l'équation en u deviendra

-.C(ii^'""^ + V~^ li») + etc. = o.

i4* C'est la forme générale des équations qu'on appelle réciproques, et qui peuvent toujours s'abaisser à un degré moindre de la moitié.

En effet, en divisant l'équation précédente par ii% elle devient

— CiK -f--j^ j 4'etc. =:o.

Or, si Ton fait j z^ u ^ , on aura j^ z=l u^ H — ; + ih^

^ = w^ + -j-j- 3/t ^«4- -), et ainsi de suite; d'où Ton tire

et en général

etc. ,

Par le moyen de ces substitulions , l'équation en u du degré ar, sera transformée en une équation en j du degré r, laquelle sera de la forme

/-(A)y-* + (BJy-*-(C)/-3 + etc.=o,

en supposant

(D)=D-(,-^,)ÂB+l^^A^ etc»

Ensuite on aura u exxj par r^qwtioli iéV/*r- u^r 4. ft :3: o^.laquelle donne ii = r+V^C/-4^).

i5. Maintenant on voit qu'il suffit d,e.. .calculer directement la moitié des coeffîciens A, B, G, e£&. de' l'équation -en u\ ce qui réduit le calcul à la moitié. On voit de plus que^ comme l'exposant fi est, dans le cas

NOTE X. 3o3

présent 9 un nombre de la forme 2i, i étant impair, le nombre p sera impair, et par conséquent l'équation en j^ aura nécessairement une racine réelle.

Mais pour que u ait une valeur réelle, il ne suffît pas que la valeur dejr soit réelle, il ^ut encore qne.jr^^^^h soit une quantité positive. Cela aura lieu nécessairement lorsque h a une valeur négative; ainsi,

dans ce cas, le polynôme du degré a' est résoluble par deux polynômes

réels du degré 2^^'. Mais si A a une valeur positive, il faut voir de plus si l'on peut toujours trouver une valeur réelle dejTy telle que

16. Soit donc j^**^4^s=J5; qu'on substitue dans l'équation précédente en jTj 1/(2+ 4^) ^u l^^u de j^, on aura, après avoir fait disparaître le radical par l'élévation au carré, et ordonné les termes suivant les puissances de z, une équation en z du même degré v , laquelle aura nécessairement une racine réelle positive, si son dernier terme est négatif. Or, puisque if est un nombre impair, le dernier terme sera le produit de toutes les racines, pris n^tivement; ainsi la question est réduite à voir si le produit de toutes les valeurs de z est essentiellement une quantité positive, en supposant que la valeur de h soit positive. . .

Puisque z s=^ — 4^> ©t j^ = i« + - , on aura

Or tt a pour valeurs tous les produits qu'on peut fidre en multipliant ensemble une moitié des quantités et, j3, ^, etc., et nous avons

déjà vu que les valeurs de - sont les produits qu'on peut faire

en multipliant ensemble l'autre moitié des mêmes quantités; donc les

valeurs de u -— - seront deux à deux égales et de signes contraires ; par

conséquent, on aura toutes les valeurs différentes de z, en ne donnant à u que la moitié de ses différentes valeurs; U est évident que le produit de toutes les valeurs de z sera positif, si le produit des valeurs

ao4 NOTE X.

u — ^ peut être exprimé par une fonction rationnelle des coeffidens

a^byCy etc., car alors son carré sera nécessairement une quantité positive.

S'il n'y a, par exemple, que quatre quantités ^9 fi^ y, J", toutes les valeurs de u seront a/3, ay^ a/, fiy^ /SJ^, ^j et les valeurs différentes de £1 — - seront, en ne prenant pour u que les trois premiers produits,

le produit de ces trois quantités étant développé , donne

— . a*/3y — a*j8*cr* — «V<r* — /S VcT*^

où l'on voit que la partie positive et la partie native sont chaciuie une fonction invariable et symétrique des quantités a» jB, ^, cT, et peuvent par conséquent être déterminées en â, 6, c, J, par les formules données plus haut.

17. Généralisons maintenant ce résultat, et déâgnons, pour plus de simplicité , par P, Q, R, etc. les différens produits qu'on peut fiûre avec la moitié des quantités «t, /S, y,eic.y en y conservant une même quantité a, et par p^ (fj r^ etc. les produits fiormés par l'autre moitié des mêmes quantités, et que j'appellerai réciproqpes. Je vais d'abord prouver que les quantités P, Q, R, etc. et leurs réciproques /?, ^, r, etc. renferment toutes les valeurs de u. On a vu que ces valeurs sont au nombi^ de fi; et à cause de /n :=: 211, on a

ajê(an— i) (an — a). ...(>»+ i) ^""^ r . a . 3 n

D\m autre c6té, comme on a supposé que les quantités P, Q, R, etc. con tiennent toutes une même quantité a, il est clair que le nombre lie CVS quQUtittSs st>ra celui de tous les produits qu'on peut faire en ne prenant que ;i — i quantités sur an— i quantités ^ donc ce nombre

(aft — i)(an — a) t^^+O ^

NOTE X, 2o5

Donc, puisque les quantités P, Q, R, etc. forment la moitié de toutes les valeurs de Uy il suffira de prendre ces quantités pour les différentes

valeurs de u^ et p^Çy r^ etc. seront les valeurs correspondantes de -. Ainsi il s'agira de voir si le produit

est nécessairement une fonction invariable des quantités cl^ ^^ y^ etc.. auquel cas on sera assuré qu'il peut être déterminé rationnellement par les coefficiens a^ hj c, etc; D'abord il est évident que toutes les permutations qu'ion peut foire des quantités fi^ y, J", etc. entre elles, ne peuvent que faire échanger les produits P, Q, R, etc. entre eux^ et leurs réciproques en même temps entre eux ; de sorte qu'il ne peut résulter de ces permutations aucun changement dans le produit

Considérons ensuite les échanges de a contre chacune des autres quantités /3, y^J^j etc.^; il est clair qu'en échangeant a en j8, celles des quantités P, Q, R, etc. qui contiennent à la fois « et j8, ne souffriront aucun changement; il n'y aura donc à considérer que celles qui ne contiennent point jS. .Or si P, par exemple, ne contient point j3, comme les deux produits P et p contiennent toutes les quantités ee, jS, y y etc., il s'ensuit que jS sera contenu dans p^ et ainsi des autres; donc, par l'échange de a en j8, toute quantité P ou Q, etc. qui ne contiendra point j8, ne pourra que devenir une des réciproques py (jy r, etc. qui sont supposées ne point contenir «; ainsi P deviendra par exemple Çy et alors Q deviendra nécessairement/?; donc P — p deviendra q — Q, et en même temps Q — q deviendra p — P. D'où l'on peut conclure en général que, par les échanges de a en /S, y y etc., les différens facteurs P —/? , Q — y, R— r, etc. ne pourront que rester les mêmes, ou s'éclianger entre eux, en changeant en même temps de signe.

i8. Maintenant, si on cherche le nombre des produits P, Q, R, etc. qui ne changeront pas par l'échange de a en j3, ce nombre sera celui de ces produits où ce et jS se trouveront ensemble; donc le nombre total des quantités ce, /3, ^, etc. étant !i/i, et le nombre de ces quan--. tités dans chaque produit étant n, le nombre des produits, qui contiens

ao6 NOTE X.

dront à la fois a et j6 , sera celui des combinaisons qu'on peut faire en prenant n — 2 choses sur 211 -—2 choses; par conséquent, il sera exprimé par

comparant ce nombre au nombre p donné ci-dessus y il pourra s'expnmer par ^^, -

Or le nombre total des quantités P, Q, R, etc. étant p^ si l'en

en retranche le nombre , on aura — -^^ pour le nombre

des produits P, Q, R, etc. qui, par l'écliange de ee en /S, se changeront dans les réciproques p^ 7 , r, etc. ; par conséquent , ce nombre sera aussi celui des facteurs P— •/?, Q — y, R — r, etc., qui changeront de signe par ce même échange; donc, tant que n sera un nombre pair, et par conséquent tant que l'exposant m:=z2n sera une puissance de 2 , plus grande que 2 , le nombre dont il s'agit sera nécessairement pair; d'où il suit que le produit total

(p^)CQ^)(R r)

ne changera pas par l'échange de et en /3 ; il en sera de même des autres échanges de et en y' y J^j etc.

Donc enfin , ce produit sera une fonction invariable des quantités a y /3, y y etc., et pourra par conséquent se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficiens a, 6, Cy etc. du polynôme donné. Donc l'équation en z du degré impair r aura son dernier terme négatif; par conséquent, elle aura nécessairement une racine réelle positive (n* 3).

En prenant cette valeur positive pour 2, on aura (^"^ 'j ^^ ^9 et de là a = ^z. Donc , ii* — a ^z — - A s= o , et de là

uzsz ^ l/s d= t/r 7 *{* ^ } 9 quantité nécessairement réelle , puisque nous avons supposé la quantité h positive (n® 16).

Donc tout polynôme du d^ré 2^ tant que p sera plus grand ^ue l'unité y soit que sou dernier terme h soit positif ou n^tif ,

pourra se décomposer par les formules que nous venons de donner,

en deux polynômes réels du degré 2^ , et l'on aura ces deux polynômes à la fois, en employant la double valeur de u. Donc, en combinant cette conclusion avec celle qu'on a trouvée plus haut

pour tout polynôme du degré a^i, on en conclura généralement qu'on peut toujours résoudre un polynôme, quelconque en (acteurs réels du premier ou du second degré.

19. En appliquant aux équations la théorie que nous venons de donner sur la décomposition des polynômes, on voit qu'on peut toujours résoudre une équation quelconque en deux autres équations dont les coefliciens seront réels et ne dépendront que de la racine réelle d'une équation de degré impair. Or nous avons vu dans le chapitre P% qu'on peut tout de suite avoir les limites de cette racine par la simple substitution des nombres naturels i, 2t, 3, etc.; et qu'ayant les premières limites , il est facile de les resserrer à volonté par des substitutions successives.

Ainsi, lorsque l'équation donnée est numérique, on pourra la résoudre en deux autres équations numériques dont les coefficiens seront aussi exacts qu'on voudra ; et résolvant de même chacune de celles - ci en deux autres , on parviendra enfin à des équations du premier ou du second degré, lesquelles donneront par conséquent immédiatement toutes les racines réelles et les racines imaginaires. De là naît une méthode de résoudre les équations numériques, qui est indépendante de la recherche des limites entre racines, et qui, à cet égard , parait avoir quelque avantage sur la méthode des deux premiers chapitres. Mais d'un autre côté, il faut avouer qu'à l'exception de quelques cas particuliers où la décomposition de l'équation est facile , cette méthode sera impraticable par la multiplicité et la longueur de^ opérations qu'elle peut demander. Aussi l'objet principal de cette Note est de prouver à priori la possibilité de la décomposition des polynômes et des équations en facteurs. réels du premier ou du second dq;ré, objet qui n'avait pas encore été rempli d'une manière directe et complète.

\^ ^M^M^M^)»M^(WW»M>W V ^»VVW»^W^M<\^(V W »%^»»^ w %^<»»»^M^»»^W<»^M»IMM<W»% % »Mff^»<>^

Sur les formules d approximation pour les racines des

équations.

jNous avons vu, dans la Note Y, que la méthode de Newton consiste à substituer successivement dans une même fonction les résultats des substitutions précédentes ; ainsi l'on peut réduire en formule le résultat général de ces substitutions.

I. Soit Fj:=o l'équation proposée, et a la première valeur approchée d'une des racines de cette équation. Suivant la méthode dont il s'agit , on substitue a '+' p à la place de or , et l'on rejette dans le développement tous les termes où p monte au-dessus de la première dimension.

Par le développement connu des fonctions, l'équation Fx = o devient

Fa + pTa +£^ F'a + etc. = o, et se réduit d'abord à Fû + ;7Fa=ao, d'où l'on tire p=s — -p.

Fa

Ainsi a étant une première approximation , si l'on fait & = — - ^ , on aura a -f* & pour seconde approximation , et celle-ci donnera de la même manière, en faisant c =s — FrXx(> ^® troisième approximation a^b^Cy et ainsi de suite; de sorte que la valeur de or sera exprimée par la série û + i + c + rf-l- etc.

Or, je remarque. que si b est une quantité très petite, la valeur de F(a -|- b) sera ti^ès petite de l'ordre de b* ; car le développement

de F(û + b) donne Fa + iF'a -t- - F"a + etc. j mais b = — j;;-;

NOTE XI. dog

donc F (n + ^) =^ 7 F"^ + etc. ; donc , puisque c = — piiZl) ^

la valeur de c sera aussi du méoie ordre b*. De même, la valeur de F(a-f-J + c) sera de Tordre de c*, et par conséquent de l'ordre

de b^; car F(H-*+^) = F(^+*)-H?F'(a+*)+| F"(fl-f-i) + etc. j mais c== — l^^^t^; donc F(a+i + c?) = ^ F'(fl+*) + etc.;

donc, puisque rf = — -.^ , , "V > , la valeur de d sera aussi de

l'ordre de ^, et ainsi de suite. D'où il suit que si Fa est une quantité très petite, l'erreur des approximation^ a-^by a + b^c, a^b'^c + d, etc. sera respectivement de l'ordre des puissances 2 , 4,8, etc. de Fa.

Ce procédé est assez commode pour le calcul arithmétique ; mais si l'on voulait avoir une formule ordonnée suivant les puissances de Fa, il faudrait développer successivement toutes les fonctions, et l'on trouverait la série

2. On pourrait parvenir plus simplement à cette formule , en tirant la valeur de p de l'équation

Fa + pF'a + ^ F'a + ^ W"a 4. etc. =0;

on aurait d'abord

et l'on substituerait successivement les premières valeurs de p dans les termes qui contiennent p^^ /?', etc. ; ou bien on supposerait tout de suite

p = AFa + B(Fii)» H- C(Fii)» + etc. ,

et égalant à zéro les termes affectés des mêmes puissances de Fa ; ce qui donnera les équations nécessaires pour la détermination des

a»o NOTS XL

coefikâens indéterminés A, B, G, etc., on aurait

AJF'a 4- » =* o,

BFa + i^ F'a = o ,

CF'a + ABF'a H- ^ F"'a s o , etc.^

d'où l'on tire

" Fa»

Fa " a(Fay'

Gss .

ÇP'aY Va " «(Fo)» ' a.3(Fa)4»

etc.;

et la séiie

a -H AFa + B(Fa)* + C(Fay 4- etc. ,

sera la même que eelle qu'on a trouvëe ci-dessu&j ce qui prouve la correspondance des deux méthodes.

3. Mais on peut arriver à ce même résultat par une autre méthode plus directe et plus analytique.

La question consiste à tirer de l'équation F(a*-\^p) =: o, la valeur de p en série. Je puis regarder la quantité a comme une fonction d'une autre quantité a , et supposer que a devienne a^p lorsque a deviendra a^ù Ainsi, comme a devient en général

a •+• iV + - û" + — 3 a'" + etc. , lorsque a devient a + « , on aura

p = ia' ^ *- a" + -^ a'" + etc. j '

comme la quantité a est indéterminée, je puis la supposer telle, que l'oD ait Fa ss « ; alors f(a ^p) deviendra (t^i, et Féquatkm t{a'^p)ssio sera m'^i:as o, laquelle donne sur*le«cliamp

NOTE Xt tu

I 3s:-««ct=—- Ftf ; de sorte qu'on aura

p^^ i^a + ^(Vay - ^(F«)' + etc.,

et il n'y aura plus qu'à trouver les valeurs de a'y a!'^ ci'\ etc.

Ces valeurs sont les fonctions dérivées de a^ considérées comme fonction de ce; or on a pour la détermination de « en a, l'équation Fa = a ; donc , si l'on prend les fonctions dérivées relativement à a, en regaulant a comme la fonction de ce, et qu'on désigne, comme on l'a &it plus haut, par F'a, F^n, F'^'i», eto. les fonctions dérivées de Fa, par rapport à a, les fonctions dérivées de Fa, F'a, etc., relativement à et, seront a'F'a, aT"a, etc., et l'équation Fa = a donnera d'abord a'F'a = i , d'où Pon tire

et de là, en prenant toujours les fonctions dérivées, et substituant cette valeur de a\

— F^g ^ 3(Fay

"" (F^ ■*" (Fa)* '

etc.

On peut trouver ainsi successivement les valeurs de a', û/'^ a^^j etc. , par lesquelles on pourra continuer aussi loin qu'on vou dra la série

a ^ a'Fa + - (Fa)* — -^ (Fa)« + etc. ,

qui eiprime la valeur de x dans l'équation Tâc = o , et Ton aura la même série qu'on a trouvée ci-dessus.

Cette formule revient à celle qa^Euler a donnée dans la seconde partie du Calcul différentiel (chapitre IX, art. a34)« On voit par un Mémoire de CotutivroUj imprimé dans le volume de l'Académie des Sciences, pour l'année 1744 9 qv^Ealer l'avait déjà trouvée à

2ia NOTE XL

cette époque, et l'on peut la compter au nombre des découvertes dont il a enrichi l'Analyse. Par la manière dont nous yenons de la présenter, elle est une suite naturelle de la théorie du développement des fonctions.

4. Nous allons maintenant rapprocher les résultats précédens de ceux qu'on peut tirer des séries récurrentes. Suivant la méthode exposée dans la Note YI, pour avoir la valeur de la racine p de l'équation

Fa + pVa 4-^ F'a + ^ Wa + etc. = o, il faudrait développer la fraction

Fa + fY'a + ^ F*a 4- etc.

Fa + pPa +^ T'a + etc.

suivant les puissances de /i ; et si Tjt et V//*"*"' sont deux termes

T consécutifs, on aura ^ pour la valeur de p^ d'autant plus exacte

que ces termes seront plus éloignés du commencement de la série.

Dans la méthode ordinaire, les termes d'une série récurrente se forment les uns d'après les autres; mais cette manière, qui est très commode pour le calcul arithmétique, n'est pas propre à donner le terme général en fonction des coefficiens de l'équation , et il faut , pour cela, employer d'autres moyens.

5. Pour donner à cette recherche toute la généralité dont elle est susceptible , je vais considérer la fonction firactionnaire

dans laquelle je suppose que fx et ^x sont des fonctions de x telles, que

> = A + Bx + Cr* 4- Da?» + etc. , ça: = P + Qjc + R^* + &e + etc.

NOTE XL 2i3

Je représente par

(o) + (0^^ + (^)^* + (^)^ + etc.,

la série résultante du développement de cette fonction , suivant les puissances de ^, et je me propose de trouver l'expression du coeflicient {n) de la puissance ^*.

Je commence par développer la fonction suivant les puissances de^;

j ai la sene

^^ ^^A , J^lfL j. Pic

je considère chacune de ces fractions en particulier , et je cherche les termes multipliés par x" qui peuvent résulter de leur développement.

La fraction donne la série connue

-+nî+^4--ï + etc. ,

laquelle étant multipliée par la série représentée par ^x, donnera les termes suivans, affectés de a:",

(^ + ^ + ~ + —: + etc.)*-,

où il faut remarquer que , comme les puissances de u dans les dénominateurs vont en diminuant, il faudra s'arrêter au terme divisé par u,

6. Or, si l'on considère la fonction (px ^ qu'on la divise par ar""*"*, qu'ensuite on y change x en i/, et qu'on ne retienne que les termes divisés par u ou par des puissances de u^W est aisé de voir qu'on aura de cette manière la série qui multiplie x*. Donc, la partie mul-

tipliée par a:% provenant de la fonction , pourra être représen-

tée par —7 x", en ayant soin de ne retenir que les termes de -^ qui auront u au dénominateur.

De la même manière, si l'on cherchait la partie multipliée par x",

ai4 NOTE XI.

provenant du développement de la fraction ^ ^ suivant les puissances de :c, on trouverait „^7 ' af'j en ne retenant dans ^"^, <p6 1^ termes qui auraient une puissance de u au dénominateur. La quantité ,^f^ est donc identique avec le coefficient de ;r" dans le développement de '^ i donc l'identité subsistera encore entre les fonctions dérivées relativement à u\ d'où il suit que la fonction dérivée de — j^ip- , que nous dénoterons par \ Vvi J y ®^ra égale au coefficient de a:" dans le développement de la fonction dérivée de — — ^ relativement à u.

Or, comme u ne se trouve ici que dans le dénominateur, et que la fonction dérivée de est — / rr, on en conclura tout de suite

que r »4-i J ^ sera la partie du développement de — j—^^y q ui sera multipliée par ^, en ayant toujours soin de ne retenir dans la fonction ,4., , et par conséquent aussi dans sa fonction dérivée

r «^, J , que les termes qui auront u au dénominateur.

On trouvera pareillement que la partie multipliée par af dans le développement de , suivant les puissances de a:, sera exprimée

par — j^ — , en ne retenant que les termes divisés par des puissances

de u; donc l'identité subsistera encore à l'égard des fonctions dérivées relativement à u ; par conséquent , la seconde fonction dérivée de

,j^ -^ relativement à a, que nous dénoterons par ( J^ ) , sera encore égale à la partie affectée deor'dans le développement de la seconde fonction dérivée de ^S-£. Mais la première fonction dérivée de

étant— 7 rr, la seconde sera 7 r^i donc, divisant par 3, on

sera

NOtE XI. a^5

en condura que f \^ J a/' sera la partie du développement de v^ - ^s qui sera multipliëe par af, en ayant soin de ne retenir dans la valeur de r^^Tr} que le$ termes divisés par des puissances de u.

On prouvera par une analyse semblable, qu'en dénotant par

( ^^ »" J ^^ troisième fonction dérivée ^ relativement à u, de lafonc-

tion ^'YJti 9 ^ supposant qu'on ne retienne dans cette fonction que les termes divisés par des puissances de u^ la partie multipliée par or" dans le développement de — . V4 , suivant les puissances de jc,

exprimée par (-^3 .^J ^'î ^ «^în» de suite.

Donc, en rassemblant toutes ces parties, on aura l'expression complète du terme (n) x" du développement de la quantité ' \f > suivant les puissances positives de x, et Ton trouvera

en ayant soin de ne retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de u.

7. ISous remarquerons iâ qu'en prenant encore successivement les fonctions dérivées suivant u, on pourra avoâr les expressions des termes

multipliés par x* dans les développemens de ^ \. y^N» y de . ,^^3 »

de ^^^f\i J ^^^' Ainsi en désignant par (n)', (/i)'', (»)'", etc. les

fonctions dérivées, première, seconde, etc. de la fonction de u désignée par {n)y on aura

-(»)'a-, (»y'l', -.«'£, etc.

pour les expressions des termes dont il s'agit. Et pour avoir les valeurs

ai6 NOTE XI.

de (/»)', (/»)", etc. il n'y aura qu'à ajouter un trait, deux traits, etc.

aux fonctions -^, (-j^^j > c^c. de l'expression de (»).

8. Supposons qu'on demande le terme général {n)â^ de la série provenant du développement de la fraction rationnelle

On divisera d'abord le numérateur et le dénominateur par 2 cos €0

pour le réduire à la forme ~ , ^ - , et l'on aura par la comparaison

a lorme — u —

avec cette formule

çx = H ^ X ,

2C0Sd» ' 2006«

Jx = , u

Donc on aura

^ 2006« 200Sflr '

2008«' -^ (200«iP)*'

Donc

11»^' (acos*/ **" (acosâry ^

En prenant les fonctions dérivées par rapport à 11, on aura donc / fuX/*u \" (it — 3)(ji — a)]Piâ-« *'

etc.

NOTE XI. ai7

et par conséquent

.W — *^V2C0S. (2C0S-)» ^ a (2 COS.)' ®*^V

où il n'y a plus qu'à substituer au lieu de w sa valeur ^^;^- On aura ainsi

(n) = P Qacos^)-— (n~i) (2cosa))--* + i^i=^^^^^=^^ (acosoi)-* (;.-5)(^-4)(^-3) ç^ ^^ ^^..s ^ ^^^ H

Q rCacos^)-'— (/i— 2)(aco5a>)— ^+ fa- 4^11 -3) ^^^^^^^5

— i ^ — r-^-^ ^ (a cos û))" ' 4- etc. U

où il suffira de ne point admettre de puissances négatives de cos œ.

Cette expression peut se réduire à une forme plus simple , en employant les formules connues des sinus des angles multiples; on aura par ce moyen

^ ' 8m « ^ 8in« '

comme Euler l'a trouvé dans l'Introduction k l'Analyse ; mais la formule précédente a l'avantage de pouvoir s'appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque. En effet, pour la fraction

(1 — a«cos» + **)^'

on aura le terme général — (n)'^; et en prenant la fonction dérivée de l'expression de (/t) en k, on aura

^ ' \ a cos* (aco«»)*

(»-3)(»-2) (»—!)»acostf)^

•^^Vacos» (acos^)*

^^ 2 (a cos m)' /'

ai8 NOTE XL

et substituant pour u sa valeur , il viendra

— (ny = vT(n H* i) (2 cos «)■** — (n — i ) i» (:a cos a)*"' + C»-,3)(»-')(«-0 (3 cos •)"-» - etc.] , -|-Qrn(aco6«)*— (n— a) (n— i)'(acoB«)*~* ^ (»-4)J»z:3)0iIl2) (a cos «)--♦- etc. ],

OÙ il suffira aussi de pousser les sëries jusqu'aux puissances négatives de cos â» exclusivement, et ainsi de suite.

9. Reprenons mamtemmt Pexpression générale en u, du coefficient

(n) de la puissance a:" dans le développement de la fraction ^*r ^i et

supposons que le numérateur px soit i ^^fx^ ou plus généralement, de la forme 4^ (i ^^f^^)^ c'est-à-dire qu'il soit le produit de la fonction dérivée du dénominateur prise négativement, par une fonction 4^ y qu'on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de '\u{i'^'f'u) au lieu de (puj on aura

W— j^M..— ^.+1 T-V, W-+' J^\ î?*^ / Or (il>)' = ^/„ + (^)>,

et par conséquent

Donc faisant ces réductions, et supposant pour abréger

NOTE Xï. 219

on aura

Celle formule servira à trouver l'expression du terme général (n) or" dans le développement de la fraction

u — x+fi '

suivant les puissances de x^ pourvu qu'on ait soin de ne retenir que les termes qui contiennent des puissances négatives de u.

10. Supposons «^=1) et par conséquent ^^ucs:! , ^Msssii*^' y on aura le terme général (/})«r" du développement de la fraction

:^^Jify ' Or, si «, )8, ^, etc. sont les racines deFéquation ii-^<r-f:^P=o,

ce terme sera exprimé par

(i^Ti + jsrê + ;ï?î + etc. J afj

par ce qu'on a démontré dans la Note YI (n* 6). On aura doue, en mettant n & la place de ;» + i ,

i + |ï + 7 + etc.

^(Oqx£.y^^^

en ne conservant que les-puissances négatives de u. 1 1 . Soit proposée , par exemple , l'équation

fl — &c + c^ = o,

dont les racines soient a et fi.

On la divisera par b pour la réduire à la forme u^^x^Jx^ on aura fx = -7-9 et la valeur de u sera t. Donc changeant « en 11 dans

fx^ on aurais -r-, et de là

ncM"'*^' # \/ . . /». ncV"*"*^

(ïr-)'X/'« = —^Î^Ç^, etc. Donc ,

»(»— 5)(/.— 4)c» ^^, , où il n'y aura plus qu'à fiiire us=y. On aura ainsi

en continuant cette série tant qu'il y aura de puissances positives de -.

Si l'on voulait avoir la somme des puissances positives ci"»{-)9", il n'y aurait qu'à considérer l'équation ax*-—&x 4-^ = 0, qui résulte de

l'équation précédente, en changeant x en -, et dont les racines sont

par conséquent - et -; ce qui ne demande que de changer a en c et c en a. On aura donc ainsi

. -"-^^^siF-^(!r+e,c.

12. En général, cl^ ^^ y^ etc. étant les racines de l'équation

M— x^fx =0, on aura

II— Jtr+yxs: A:(ar — «) (^-—/S) (x — 7)

k étant le coefficient de la plus haute puissance de a:; et prenant les

NOTE XL ^ai

fonctions dérivées de part et d'autre,

+ A: (or — ct)(x — iS).. . . ; donc divisant et changeant les signes,

^ , ^ 1 hetc,

u — x-^fx a^x fi — x y — x

et multipliant par 4^^

u — x+fx • — ar i3— « y— jf

Or 4*^ étant supposé une fonction entière de a:, on pourra la diviser par a— «a:, jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste sans X'^ et, pour trouver tout de suite ce reste, il n'y a qu'à considérer que 4^ — - 4^ est divisible par « — jc , le quotient étant une fonction entière de x et a, que nous désignerons par F (a:, ce); et si '^xest une fonction du degré /», il est clair que F(j?, a) sera du degré m— I. Donc, puisque 4*'~4^ = ^('^> *) X (^ — ^)> ^^ aura 4a:=4^ — ^(jir, flt)x(a — x); donc --^ = — F(-», *) + -—•

On trouvera de même J^ = — F (or, ^) -j- ^^ , et ainsi des autres. Donc, en faisant ces substitutions, on aura

:!fii^'> = - F(x, a):- F(:r, ^) -F(x, >)-etc.

En résolvant ces fractions en séries, on aura après les m*— i premiers termes , dans lesquels se fondent les parties entières — F(x^ a)^ — F(a;, /3), etc. une suite régulière dont le terme général sera

(rfe + ^ + ,^ + «">•) -■;

de sorte qu'on aura, n étant ^ m,

(») = ;?^ 4- ;i5+î 4- ^t + etc.

C'est le terme général de la suite récurrente qui résulte de la fraction

u-lT+fx ' ®^P"*^ P^** ^ racines «, jS, >, etc. de l'équation w^x^fx^sz 0.

En comparant cette expression avec l'expression générale de {n) en u trouvée ci*dessus , et mettant pour plus de simplicité /i à la place de n-(* I, on aura

où '9u rr: -^ , et où l'on ne doit retenir que les termes qui contiendront des puissances n^atives de u.

i3. Supposons maintenant que l'exposant n soit infiniment grand, en sorte que le terme (ji)3^^^^ auquel il répond dans la série récurrente , soit pris à une ^£è» grande distance de l'origine , on pourra

alors regarder la fonction '^u = -7 comme ne contenant que des

puissances négatives de i«, et même toutes les fonctions 'Vu Xjuj '^'u X f^u y etc. , comme ne contenant aussi que des puissances négatives de u\àxi moins cette supposition sera d'autant plus exacte, que le nombre n sera plus grand- . Dans cette hypothèse , il n'y aura aucun terme à rejeter dans l'expression de (/s) , et l'on pourra r^rder la série

comme allant à l'infini sans aucune interruption.

i3. Or, j'observe que toute série de cette forme, dans laquelle iru et /u sont des fonctions quelconques de u, a cette propriété remarquable , que si on la multiplie par une autre série semblable , dans laquelle , à la place de la fonction ^k, il y ait une autre fonc-

WaTE XL m3

tioD quelconque IIii , le produit sera encore une série semblal4e , mais dans laquelle il y aura *tt X Fltt à la place de *«. Eu eCTet , si Ton multiplie ensemble les deux séries

nu + au ^ fi. + (Si?£ïy+ (p^^'-i- «0.,

on a

*tt X Ttu

+ (*K X n'u + ritt X '^u)fu

etc.

Or, -Iru X n'tt H- Dtt X *^« = (*" X Uu)',

çfu x/^^y^ i n'^i, X /-i^ + n'u x fufu,

donc la série devient

*ii x riii -f* ('♦i* X ntt>'yî« + \ (*tt X n"tt 4- 3*^« X n'w + nii X '^"u)f^u

+ (*M X ïluy/ufu 4- etc., savoir ^

*£* X nu H- (*a X uuy/u H- (^:!t><I^j£^ ^ eic.

Et l'on trouvera la màme chose ei» pouisanl la' mcAtiplik^tion pRls loin y et en rassen^lsBit les termes qui continuent les ittémes dimensions dejié.

Donc en général, si l'on (i|i^ta par (i^u) k série qu» eontîenC la fonction 'iTu ^ et de même par (Hu) la série qui contient (IIii) , la fonction yù demeurant la même daés les deuk séries, il résulte de ce

que nous venons de trouver , que l'on aura

(*-m) X (ritt) = (*•« X Uu)i

et comme cette propriété a lieu quelles que soient les fonctions *tt et ria, si l'on fait 'Iru x Uu =z9u^ on aura (*a) X (Iltt) =(*tt);

donc (n£i)= ^; mais Ha = |?, donc ^ 2=2 (î^) , c'est-à-dire

que le quotient de deux séries semblables , lesquelles contiennent deux fonctions différentes, 9u et '^u^ sera aussi une semblable fonction qui contiendra le quotient de ces mêmes fonctions.

i5. Donc, si l'on prend deux nombres très grands , n et /i+r, dont la différence r soit un nombre quelconque positif ou négatif, le quotient de la quantité

<^+ 1^4. % + etc.,

divisée par la quantité

-^ -+- -^ 4- ^ 4- etc sera exprimée par la série inûnie

*« + ^'a X /« + (p^^y +etc.,

en feisant SJ'Mzr:^ divisé par --^j c'est-à-dire 'iTu^ssu.

D'un autre côté, n étant un nombre infiniment grand, il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs premiers

termes ^ et -^,, et étant la plus petite des racines *, jS, >, etc.

Donc le quotient de la première des quantités , divisée par la se* conde, se réduira à a'; d'où il résulte ce théorème très remarquable :

Si CL est la plus petite racine de {équation

u ^ X ^ fx = o,

NOTÉ XI. aft5

on aura

-• = .. + (..y x> + (m:|<û;)'+ (fis!^"+ «c.,

r ^i^o/i^ {^ nombre quelconque positif au négatif.

Ainsi Ton a par cette formule^ non-seulemeiit la racine a, mais encore une puissance quelconque de la même racine.

i6. Si l'on fait maintenant r= n, n étant un nombre fini quelconque y et qu'on compare cette formule avec celle qu'on a donnée

plus haut pour la valeur de -^ + 75 + — H" ct^* > on en tirera la

<t fi y

conclusion suivante, très singulière.

Si^ dans la formule