UT

CO'/" + m^+ (fiqx£,y ^ ^ ^

on ne retient que les termes qui ont des puissances négatii^es de u, elle donne la valeur de la somme des puissances — n de toutes les racines et^ ^ 1 > ? etc. y et si Von y conserve tous les termes', elle ne donnera que la même puissance de la plus petite racine a,

17. Ainsi, comme nous avons déjà trouvé plus haut pour les racines CL et fi de l'équation ca^^^bx -f- a = o, la formule

«• "^jS- "" \a) h \a) "*" 2ft* \a) TSP \aj ^ ®^^-'

en ne continuant la série que tant qu'il y a de puissances positives de - : si l'on continue cette même série à l'infini sans aucune inter-

ruption, on aura alors la valeur du seul terme ^, en prenant pour a

la plus petite des deux racines cl et fi; et même on pourra y Ëiire n positif ou négatif, à volonté.

Les deux racines de l'équation cx^ — i^ + ^ = o étant «

ft26 NOTE XI.

et /3 , celles de Téquation ax^ — ix + c = o , seront - et ^ , 'et l'on auca

tt "^ 2a 2fl ^ "^ aa aa

a étant supposée la plus petite des deux racines. Ainsi la série

en ne retenant que les puissances positives de - » c'est-à-dire les puissances négatives de a, sera égale à

[& + j/Ç^'^ — 4ac)]» + [b— {/{b^ — 4ac)]'

(aa)»

n étant un nombre entier quelconque; et si l'on continue la série à l'infini, elle deviendra égale à

/ 6 4- v/(^>* — 4ac) V

iz étant un nombre quelconque positif ou négatif.

La première partie de cette proposition est facile à vérifier par le simple développement des puissances /i'^""'^ puisque le radical V/(i* — 4^c) disparait de lui-même j et d'ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Mowre.

Pour vérifier l'autre partie , il faut réduire en série le radical lu imême. Ainsi en £iisant, par exemple, » = i, la série devient

b c 2ac^ 3,^*c^

laquelle peut se mettre sous cette forme

b b £ ac i . I 8ac' i . i . 3 Sao'c^

Or cette série est évidemment égale à — -I- ^-^ ^21.

i8. Soit l'équation indéfinie

a^^has^oxf" — doi?. + ^ocS ^-^fa^ H- etc. = o j

on fera , dans la formule générale du tliéorème ci -dessus ,

f ... ^^^ "^ ^ ^ ^^^ ^'fw^ -f" etc.

d'où

l'on

tire

• ^cdlC^ + (c/* + 2Ctf

3crfi^' + etc.

etc.

etc.

Or («')' = ru"— 'j donc,

/ r\/ ^ ^ ^ cw**' — </«*'•♦* + evT^ —fia^ + etc. («'/ -X, fu =i r -i-g ^ in ,

(uf)' X f»uz= r p :ï- — ,

Prenant les fonctions dérivées, et substituant dans la formule dont il. s'agit, on aura, après avoir fait u:s= T) et changé »

en x,

/r'— «^ , , r r^'^'*^ '^'^ . t. ^* - g^/+ etc "1

^ i \, — wi ^ — Fi=5 ' F' ^ y

, J / (/•+5)(r+4)(a^V) (r+6Mr-fg)or*^X3«f ^^^ \ 2 . 3 \ 6*^^ ft'**^ ^^ /

etc.