Si /•==!, on aura
ag..
a28 NOTE XI.
^ = Â + "ï5- — •ïr + "ft^~"ï?" + ®^^-
bi
yi "r ^'^'
C'est la formule connue de Newton^ pour le retour des suites, qu'on n'avait encore trouvée que par la méthode des indéterminées. L'analyse précédente , en même temps qu'elle donne la loi de cette formule et le moyen de la continuer aussi loin qu'on voudra^ fait voir que la valeur de x qu'elle exprime est la plus petite des racines de l'équation proposée.
30. Si l'on veut appliquer la formule précédente à la détermination de la valeur de p dans l'équation
"Pa^p^a H- ^' r'a + ^F'"^ + etc. = o,
que nous avons considérée au commencement de cette Note, il n'y
aura plus qu'à substituer Fa , — F'tf, -F"a, ^F'"a, etc., au lieu
de a, ^, c, dy etc., et p au lieu de xj on aura ainsi
Fa {Yayra (Fa)^a (Fa)^ (Fa)*
'^ ~ ~ F^ Wàf **" 2.3CFa)4 ïcF^s— -1- eic. ,
ce qui donne la même série que nous avons trouvée par deux méthodes différentes.
Nous pouvons généraliser encore la formule du théorème donnée plus haut. En effet, puisque cl est une des valeurs de x, ce théorème peut se présenter ainsi.
2 1 . L'équation a: = « ^Jx donne en général
x- = ^ + M' x> + (M^y + (m:j^)V etc.
Or, soit F^ une fonction quelconque donnée de x; on peut la
supposer réduite à la forme Ma:' + No:' + Vx* + etc. j ainsi , pour la valeur de Fjc, il n'y aura qu'à ajouter ensemble les valeurs de afj x'y a:', etc. , multipliées respectivement par M , N , P, etc. ; on aura par ce moyen une formule dans laquelle, à la place de u^, il y aura Mtt' + Nk* -|- fu* + etc. , c'est-à-dire ¥u , et par conséquent Ftt à la place de (i/)'.
De là résulte enfin ce nouveau théorème y remarquable autant par sa généralité que par sa simplicité.
L'équation xz=u ^fx donne
Fa: = F«+FttX>H- i(Ftt X /•«)'+ r^(F'wX/M'+ etc.,
oh les /onctions désignées par les caractéristiques f et F'^ peuvent être quelconques.
En effet, ce théorème, présenté de cette manière, est indépendant de la considération des racines, et n'est plus qu'un résultat de la transformation des fonctions, qu'on peut vérifier par l'élimination successive de x ou de u. J'ai donnée le premier, ce théorème dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, pour l'année 1768; j'y étais parvenu par une analyse à peu près semblable à la précédente, mais moins rigoureuse. Plusieurs géomètres se sont occupés, depuis, à le démontrer h posteriori par le développement des fonctions j mais Laplace en a donné , dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, pour l'année 1777, une démonstration directe et él^ante, tirée du calcul différentiel ; c'est cette démonstration que j'ai transportée dans la Théorie des Jonctions (n* 99).
Il est bon de remarquer qu'en faisant z/ = o , l'équation
X == 1/ -f-yir devient x:=ifxy laquelle peut représenter une équation quelconque en X} et l'on aura la valeur d'une fonction quelconque Fx, en faisant i^ = o dans la série
Fi^+r« X> + i (F'w X /•//)' -1- -^ {^u X Puy^ etc. ,
après le développement des fonctions; ce qui est beaucoup plus simple.
22. Avant de terminer cette Note , je vais faire voir comment la
i3o NOTE XI.
méthode du n^ i3 , pour résoudre par approximation l'équation
F(a-f-;9)=so, peut être appliquée à la résolution sumultanée de plusieurs équations à plusieurs inronnues.
Supposons que Ton ait deux équations entre les deux inconnues x et j^ que nous désignerons en général par F {x ^j) = o , e\.f[x ,^) =s o. Supposons en même temps qu'on connaisse déjà deux valeurs appro* chées â et &, de x et^; ensorte qu'en faisant xz=za^pyjz=zh^q^ les quantités p et q aient des valeurs fort petites. Il s'agira de tirer ces valeurs des deux équations
F(a-+-;^, * + 7)=:o, f{a+py *-|-7) = o.
Suivant l'esprit de la méthode de Newton, on développerait les deux fonctions en séries , les deux équations deviendraient ainsi
F(a, b)+Mp + Nç -4-etc. = o, '
/(Uj b) + mp ^ nq ^ etc. = o,
d'où l'on tire pour première approximation
^~"" M/i — Nti* '
^ M/(a, &)-i>^(a, ft) y— Nu» — M;»
Ainsi a et b étant les premières valeurs approchées de .r et ^, a^Py ^ + 7 seront des valeurs iilus approchées qu'on pourra substituer à la place de aet b dans les fonctions ;? et 7; et désignant par Pt^^t ces nouvelles valeurs de ;? et ^, on aura <ï+/H-/^i et ô-f-y+y' pour les valeurs de xetjr encore plus approchées, et ainsi de suite.
Ce procédé a été donné par Thomas Simpson , dans ses Essais sur plusieurs Sujets mathématiques, et il est assez commode pour le calcul arithmétique ; mais il serait difficile d'en tirer des expressions de or et ^ en séries ordonnées suivant les puissances des quantités F(a^b) , et /^(aj b)y qui expriment les erreurs provenantes des premières suppositions, et surtout d'avoir la loi de ces séries^ voici comment on peut y parvenir.
On regardera les quantités a etb comme des fonctions quelconques de deux autres quantités 0» et j3 , etc. , de manière que ces quantités de-
NOTE XI. s3i
yenaDt a-|-/ et /3-|-o, les quantités a et b deviennent à*+-p el 6 + ^; et on supposera que ces fonctions soient telles que F(â, b) = a et /{a, i) = /3; ce qui donnera , en mettant a-+- 1 et jS + o au lieu de a et j3,
de sorte que les équations proposées deviendront alors fle+i=o et j8+o=oj d'où Ton lire i=— a=— F(ii, b) et o=— i3=— /(a, b).
Or, en adoptant la notation des fonctions dérivées, indiquée dans la Note précédente (n^ 9) , les fonctions a et b des quantités et et /B y lorsque ces quantités deviennent a + « et /3 + o, se développent dans les séries
Donc, substituant —F (a, b) pour i et -^/(fi^b) pour o, on aura ;,=-(^)F(a,*)-(|;)/(a,i)
^(;i^)7(â7*)*+ etc., oh il n'y aura plus qu'à substituer les valeurs des fonctions partielles Cv» (?/' Cv» ®**^* *1^'°^ tirera des équations
F(a,*)=«, et /(«,*) = /S,
eu prenant successivement les fonctions dérivées relativement à a et jS , et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes.
a3a NOTE XL
Ainsi on aura d'abord
Mais on a en général, relativement a a el b^
/'(a,») = (%ii).'+(i>a)»'i
donc, en regardant aet b comme fonctions de et et /3, on aura relativement à chacune de ces quantités en particulier,
d'où Ton tirera les valeurs des quatre fonctions dérivées partielles du premier ordre (jt\ C^p w)^ \f)^ exprimées par les fonctions par-
déduire des fonctions données F (a, b)y /(a, b)j en prenant leurs fonctions dérivées, relativement & a et 6 en particulier.
Ensuite , en prenant de nouveau les fonctions dérivées des valeurs r^V r^\ etc. relativement à a et /3, on aura les valeurs de (pi)i
f -7-7Y etc. et ainsi de suite.
Si l'on fait pour abréger
on aura
W*" M»— Ni»' W*" V/~" Ml» — Nii»' W
Mn — Nm'
"*Mb — Nm'
et les premières valeurs de p et q seront
nF(a,b) , N/(a,&) '^ — "" Mb — Ni» ^ Mi»— Ni»»
mF(a,& ) M/(a,fe) ■
^ •"■ M» — Nn» M» — Ni»*'
Ces premières valeurs de p et q coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-deSsus; mais les formules que nous venons de donner pour les expressions générales dep et q ont l'avantage de présenter des séries tontes développées, et Ëidles à continuer aussi loin que l'on veut.
tmm
*W<WWWW»WWV »W»WM»^»%»»»WW»W<<WW»M»»WIW»¥WMW<W<W» » M<»<M<WW<l<M<WI<W<W<Wa»aMWI<^^
Sur la manière de transformer toute équation j en sorte que les termes qui contiennent T inconnue, aient le même signe, et que le terme tout connu ait un signe différente
J'ai observé dans l'Introduction, que les méthodes de f^ieie et de ffarrioi, pour la résolution des équations numériques , ne peuvent s'appliquer d'une manièfe certaine qu'aux équations dont tous les termes qui contiennent l'inconnue y ont le même âgne y et le terme tout connu a un signe afférent, et j'ai dit qu'on peut toujours ramener à cette fi>rme toute équation, pourvu qu'on ait deux limites d'une de ces racines, lesquelles soient assez rapprochées pour que toutes les autres racines réelles, ainsi que les parties réelles des racines imaginaires, s'il y en a^ tombent hors de ces limites. Comme j'ignore si cette transformation est connue^ je crois devoir l'exposer ici, afin que ceux qui déûreraient se servir des anciennes méthodes puissent toujours les employer avec succès.
I. Soient a, b les deux limites données, ou connues d'une manière quelconque, a la limite en mmns, b la limite en plus. En supposant que x soit l'inconnue de l'équation proposée, oa
fera x= t/^ 9 et après les substitutions et les réductions, on
aura une équation transformée en ^ , du même d^ré que l'équation en Xj qui aura la forme demandée f si la limite a est assez près de la valeur de la racine.
Car soient ^9 jS, >, etc. les racines de l'équation proposée en a:, et CL la racine dont aetb sont les limites. Puisque x = ^ . > on
aura jr = ^^^ ; donc les racines de l'équation en y seront r^-^ y fZTfiy rZT" » ^*^' Qr wi a par l'hypothèse a > a < i ; donc ,
NOTE XII. a35
« — a>>o, 4 — a>oj donc la racine ç-^^ sera positive et cPau-
tani plus petite, que la différence entre la limite a et la racine a sera moindre. Ensuite^ comme les autres racines fi^ y, etc. sont supposées tomber hors des limites a et b^ si /S << ^ , on aura aussi nécessairement j8 < i ; donc jS — a <COj etA — /3>o; donc la
racine f-— g sera nécessairement négative. Si, au contraire, /B > i,
on aura aussi /3 > a ; donc /3 — a>o, et ft — /3<;o; donc , ~^
sera encore une quantité négative. Donc la racine , ^ sera , dans
tous les cas, n^ative. Il en sera de même de toute autre racine, comme Y , qui correspond k une racine réelle y de l'équation en X.
Mais supposons que fi et y soient imaginaires , elles seront nécessairement de la forme p + a*!/— i , p — o-j/ — i , p et a* étant des <{uantités réelles (Note IX); donc faisant /3 = p + o'^/— i, la racine ^ ^ deviendra ^~^*^^~ j multiplions le haut et le bas
par*— p4-crv/— I, on aura ^^ i^ [b—fy+a^ •
Mais on suppose que la partie réelle p tombe aussi hors des limites a et J; donc si p <fl, on aura aussi p <^; par conséquent p— •fl<o, i— p>o; donc (p— a)(ô — p)<o; et si p>^, on aura aussi p >> a; donc p— a^o, &— p<o, et par conséquent aussi (p — a) {b — p)< o; donc la quantité (p — a)(b — p) sera, dans tous les cas , négative.
Donc , puisque a* et ( ^ — p )* sont essentiellement des quantités positives , la racine i ~^ deviendra , dans ce cas , de la forme
— P -I- Q \/ — I , P et Q étant des quantités réelles, et P étant essentiellement positive. De même, en faisant j^ssp— O'j/— i,
la racine ^-^11? deviendra — P — Q i/— i , et ainsi des autres racines imaginaires.
Donc, en prenant des quantités positives p^ 9, r, etc., P, Q, R , etc. , les racines réelles de Féquation en x donneront dans la
transformée en y les racines réeUes /?, — y, — r, etc., et les racines imaginaires de la même équation donneront dans la transformée les racines— P+Qi/—i,—P — Q/—i,--R+Si/—i, — R — S j/— I , etc. Donc la transformée en y sera formée des ficteurs
y — P^ J + 97 J^ + '' etc.} jr + V — Q\/—i,
^ + P + Ql/— I, J^+R — Sv/— I, ^H-R^-Si/— I, etc.
Or , les deux facteurs imaginaires ^-|-P— Q j/ — i et ^-f-P-f-Q l/— i , donnent le facteur double réel/* -H aPf +P* -|- Q*, et ainsi des autres. Donc l'équation en y sera
(r--p){r+9) (^4-/-)-(r+3Pr+P*+Q*) ( r-+3Rj+R*+so-=o.
a. Considérons le produit de tous ces facteurs , excepté le premier, j^ — Pi comme tous les termes de ces facteurs sont positifs, il est visible que leur produit, ordonné par rapport à /, ne pourra contenir que des termes positifs. Le produit sera donc de la forme
^— H- Ay— • -I- B>*-» -I- etc. + K ,
où les coefHciens A, B, C, etc. K seront tous positifs, sans qu'aucun puisse être nul. Multiplions maintenant ce polynôme par le fiicteur y '^Pj on aura
jr- 4. (A— ;;)7-^« + (B — A;^)/-- + (C — B;;)j^' + etc. — K^ sn o,
pour l'équation en jr.
On voit ici que le dernier terme — - K/? est essentiellement négatif, et que les termes précédens seront tous positifs, si l'on a A>Pj B> A/?, C >B/7, etc. Gomme en rapprochant la limite a
de la racine a , la valeur de p , qui est v ~ , peut devenir aussi
petite qu'on voudra, il est clair qu'on pourra toujours prendre a
telle que l'on ait P<A, < j, <g, etc., ce qui rendra tous les
termes positifs, excepté le dernier.
NOTE XII. !t3^
On ne doit pas craindre qu'en diminuant ainsi la valeur de p , les valeurs de ^, r, etc., P, Q, etc. diminuent en même temps, de manière à devenir nuUes avec P. Car en faisant a = ct^ ce
qui donne pzzzOj la valeur de q , qui est l^% deviendra — ^~* ; et les valeurs de P et O, qui sont — TI n7"i T et .,^ *^fV -i, deviendront rt xTi 7" et .. "^^j^ , et ainsi des autres.
Donc, on est assuré que la substitution de ^^^ au lieu de a: ^
donnera une transformée en jr qui aura la condition demandée , pourvu que la limite a en moins soit assez près de la racine dont elle est limite j ce qu'on pourra toujours obtenir eu essayant succès* sivement pour a des valeurs grandes.
3. On a trouvé dans le chap, IV (n* 27) , que l'équation oc^ — 70:4-7=0 a trois racines, deux positives et une négative ; et que les deux racines positives sont exprimées par des fractions continues , dont les termes sont 1,1,3,49 etc. et i , :» , i , 4 ^ etc. ; de là on peut former ces fractions convergentes vers les deux racines
i i - ^ iS etc
On voit d'abord que 1 et 2 sont deux limites de la première racine; mais, comme la seconde racine est renfermée entre les nombres 1 et | , elle se trouve aussi nécessairement renfermée entre les mêmes limites 3 on prendra donc les limites suivantes a et f ,
et Ton fera a = f , 6= 3 , et par conséquent a?= 7:7— = 3/, .y
Mais , puisque les multiples dejr ne changent pas les signes de l'équa-
tion en^, on pourra faire simplement a:= ^ , , en mettant j-
pour 3/. On trouvera ainsi la transformée
qui est, comme l'on voit, h l'état demandé.
De même , si l'on prend pour l'autre racine les limites f et | , en faisant a=4 et 4= | , on aura la substitution x = I-^îj21 -s j,,^^ ,
ou bien, en mettant simplement^ au lieu de 3jr^ a:=g-J-^, et l'on trouvera la transformée
qui a aussi la forme demandée.
Les limites que nous avons employées ont conduit directement aux transformées que l'on cherchait , mais si l'on avait pris, par exemple, pour la première racine les limites a et |, qui ont également la propriété qu^aucune autre racine s'y trouve comprise, puisque l'autre racine réelle est moindre que f, on aurait eu a =s|,
bssi2i ce qui aurait donné la substitution x = * , ^"^ == , , . ,
ou bien, en mettant jr pour a/-, or = "V,^^ ? et Ton aurait trouvé la transformée
qui n'a pas encore la forme demandée , parce que la racine positive se trouve trop grande.
Mais, sans recourir à une nouvelle substitution en augmentant la valeur de a, il suffira de diminuer toutes les racines d'une même quantité /, en faisant ^ = 2 -{- i, et chercher ensuite par des essais une valeur de / qui satisfasse aux conditions qu'on demande. On aura ainsi cette transformée
et il s'agira de prendre i positif, et tel que 3i*^2i^2 et... i* -4" ^^ ^ ^^ + I • On voit tout de suite que i = i satis&it , et l'on a la transformée
z^ + 4*' -f- 3^ — I == o, qui est la même que la trans£3rmée en jr trouvée d'ab(M*d. 4. Nous avons vu dans l'article III du chapitre Y ( n^ <y2),
que si ^ et A sont deux fractions convergentes vers une des racines de Péquation en a' , la transformée en i qui doit servir à trouver la fraction suivante, résulte directement de la substitution
de ^7T-^ , au lieu de x dans l'équation proposée. Faisons tz=s ^^
on aura
"•'Cy+O j'H-'
Cette substitution est, comme l'on voit, analogue à celle que nou»
avons employée ci* dessus, en prenant ^ et 7 pour les deux limites
que nous avons nommées a et b.
Or, comme deux fraclions^ consécutive» sont elles-mêmes des limites alternativement plus, grandes et plus petites que la racine cherchée , et qui se resserrent continuellement , il s'ensuit que les transformées qui répondent aux fractions plus petites que la racine , approcheront de plus en plus d'avcnr les conditions nécessaires pour pouvoir être de la forme proposée; et les transformées in->
termédiaires auront ta même propriété, en y substituant -au lieu de j^; car si ^ > >, Pexpression de x devient, pat cette substi-
tution, ; — ^.
La différence entre les deux fractions -7 et 7 étant -t7 9 lorsque
cette différence sera devenue moindre que la plus petite différence entre les racines de l'équation proposée, c'est-à-dire moindre que
la limite -r- (Note IV), on sera assuré qu'il ne pourra tomber entre
ces fractions qu'une seule racine 3 mais , à l'égard des parties réelles des racines imaginaires, il ne sera pas facile de s'assurer à priori qu'elles tombent hors de ces fractions , à moins de former l'équation dont les racines seraient a— — ^i^, et de chercher ensuite une limite plus petite que chacune de ces racines, pour la comparer avec la même différence -7-7.
24o NOTE XII.
Au reste , quoique les fractions consécutives fournissent des limites qui se resserrent de plus en plus autour de la même racine » il est possible que les transformées n'acquièrent jamais la forme dont il s'agit, par la raison que les deux limites se resserrant à la fois, la racine positive peut aller en augmentant au lieu de diminuer. Mais , lorsqu'on sera parvenu à des fractions entre lesquelles il n'y aura qu'une seule racine réelle et aucune des parties réelles des racines imaginaires, il suffira de diminuer toutes les racines de la transformée correspondante , d'une même quantité qu'on pourra trouver par quelques essais, comme on l'a vu plus haut.
Lorsqu'une équation est réduite à la forme dont nous parlons , c'est-à-dire que tous ses termes ont le même signe, à l'exception du dernier terme tout connu, on fera passer ce dernier terme dans le second membre, et l'on pourra en extraire la racine à peu près comme dans les équations à deux termes où il n'y a qu'une seule puissance de l'inconnue; seulement on aura besoin de plus d'essais et d'épreuves , à raison des différentes puissances de l'inconnue qu'elle contiendra.
Ainsi, par exemple , si l'on a l'équation du troisième degré
J^ + Ar-l-Br — N = o,
dans laquelle A, B, N sont supposés des nombres positife, en la mettant sous la forme
^ 4. Aj^ + Bj = N,
on voit qu'au lieu d'extraire simplement du nombre N la racine de la puissance j^, il s'agit d'en extraire celle de la somme des puis^ sauces y^ -f* A;^ + By ; et si a est la partie de cette racine déjà trouvée, et p le reste, on aura
(Sa* H- 3Aa+B> + (3a 4- A);>* -|-;i» = N — a»— Afl»— Ba;
et par conséquent,
N — tt(a«+Aii4-B)
NOTE XII. a4i
formule qui répond à celle-ci p < ^ ^ , sur laquelle est fondé le
procédé de l'extraction de la racine cubique. Prenons l'équation trouvée plus haut
la formule sera ici
11 est d'abord facile de voir que le premier chifite de la valeur de a ne peut être que 0,9 j fisiisant donc a =3 0,3, on trouvera •••
p < Y — >> o,o5. En prenant p £= o,o4> la nouvelle valeur de a sera 0,24, et l'on trouvera p < -^^ — ^-^^ ^0,0089 etc.
W » »VWA)\ WW iV¥» l <¥W¥Wll(¥l¥¥>V»V¥VWV>VWVVVy i ftVV >i lft'>1*>' l ' ** ! *** '* ! ***' ***'**'***"'**'^
Sur la résolution des équations algébriques.
La résolution des équations du second degré se trouve dans Diaphonie, et peut aussi se déduire de quelques propositions des Data âiEucliâe; mais il parait que les premiers algébristes italiens l'avaient apprise des Arabes. Ils ont résolu ensuite les équations du troisième et du quatrième degré; mais toutes les tentatives qu'on a faites depuis pour pousser plus loin la résolution des équations , n'ont abouti qu'à faire trouver de nouvelles méthodes pour le troisième et le quatrième degré , sans qu'on ait pu entamer les degrés supérieurs, si ce n'est pour des classes particulières d'équations, telles que les équations réciproques qui peuvent toujours s'abaisser à un degré moindre de la moitié, celles dont les racines sont semblables aux racines des équations du troisième degré, et que Mowre a données le premier , et quelques autres du même genre.
I. Dans les Mémoires de l'Académie de Berlin (années 1770 et 1771 ), j'ai examiné et comparé les principales méthodes connues pour la résolution des équations algébriques , et j'ai trouvé que ces méthodes se réduisent toutes , en dernière analyse , à employer une équation secondaire qu'on appelle résolvante^ dont la racine est de la forme
x! + aa^' + a^x'" + a^x^'' + etc. ,
en désignant par ^, a!'j a!^^ etc. les racines de l'équation proposée, et par (t une des racines de l'unité, du même degré que celui de l'équation.
Je suis ensuite parti de cette forme générale des racines , et j'ai cherché à priori j le degré de l'équation résolvante et les diviseurs qu'elle peut avoir , et j'ai rendu raison pourquoi cette équation, qui est toujours d'un degré plus haut que l'équation donnée.
HOTE XIII. a43
est susceptible d'abaissement* pour Jes équations du troisième et du quatrième degré, et peut servir à les résoudre.
J'ai cru qu'un précis de cette théorie ne serait pas déplacé dans le présent Traité, non^-seulement parce qu'il en résulte une méthode uniforme pour la résolution des équations des quatre premiers degrés, mais encore parce que cette méthode s'applique avec succès aux équations à deux termes, de quelque degré qu'elles soient.
