Représentons l'équation proposée par la formule générale

a* — Aor"-' + B»- • — C"-» + etc. = o ,

et désignons ses m racines par a:', a:"^ x'"^ etc. af^^-^ on aura, par les propriétés connues des équations,

A = «^ + ar" -H x''' 4- etc. + ««,

B = a/a^' + o/x"' + etc. + af'ao"' + etc. ,

C = afx''a:f^ -f- etc.

Soit t l'inconnue de l'équation résolvante; nous ferons, d'après ce que nous venons de dire,

< = a:' + cwc" 4- a^œ'" + a?a:'^ + etc. + a«-*jc«,

la quantité a étant une des racines m''"" de l'unité, c'est-à-dire , une des racines de l'équation à deux termes j' •— i = o.

Pour avoir l'équation en f , il &udra éliminer les m inconnues â/, a/', x^^ etc. , au moyen des équations précédentes qui sont aussi au nombre de m: mais ce procédé exigerait de longs calculs, et aurait, de plus , l'inconvénient de conduire à une équation finale d'un degré plus haut qu'elle ne devrait être.

3. On peut parvenir directement et de la manière la plus simple à l'équation dont il s'agit , en employant la méthode dont nous avons fait un fréquent usage jusqu'ici, laquelle consiste à trouver d'abord la forme de toutes les racines de l'équation cherchée, et à composer ensuite cette équation par le moyen de ses racines.

Il est d'abord clair que dans l'expression de < , on peut échanger entre elles , à volonté , les racines x^^ x"j etc. , puisque rien ne

les distingue jusqu'ici l'une de l'autre* D'où il suit qu'on aura toutes les différentes vsdeurs de <, en faisant toutes les permutations possibles entre les racines od^ oé\ ar% etc.; et ces valeurs seront nécessairement les racines de la réduite en t , qu'il ' s'agit de construire.

Or , Ton sait , par la théorie des combinaisons , que le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre m choses, est exprimé en génà^ai par le produit i.2.3. •• .m; donc l'équation en l aura en général autant de racines qu'il y a d'unités dans ce nombre, et sera par conséquent d'un degré exprimé par le nombre i • 2 . 3 . • • m ; mais nous allons voir que cette équation est susceptible d'abaissement par la forme même de ses racines.

Comme cette forme dépend de la quantité tt qu'on suppose être une racine de l'équation j^ — 1 = 0, nous commencerons par quelques remarques sur les propriétés des racines de cette équation ; et pour cela , nous considérerons séparément les cas où l'exposant m est un nombre premier, et celui où cet exposant est un nombre composé*

4^ Supposons d'abord que le nombre m soit premier; dans ce cas, toutes les puissances de (t jusqu'à a" auront des valeurs différentes, à moins que l'on n'ait a= 1. Gir si deux puissances a»» et a» étaient égales, on aurait «'»==*% et de là «'»—*= i; or aucune puissance de et moindre que m ne peut être .= i tant que a n'est pas = i. En effet, puisque a*^— - i =: o^ si l'on avait en même temps «■ — 1=0, n étant < /» , il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune; et en cherchant, par les règles ordinaires, le plus grand commun diviseur des deux quantités a" — i et «■ — I , on trouve nécessairement a — 1 pour ce diviseur, à cause que m est un nombre premier ; de sorte que la racine commmie aux deux équations a*— i = o et a"— i = o ne peut être que l'unité.

5. Il suit de là, l^ que les puissances a, a% a*, etc. a" représentenlr toutes les racines de l'équation y^ — 1=0, en prenant pour et une quelconque des racines de cette équation , autre que l'unilé. Car puisque a*ss 1 , on aura aussi a**=: i , a^'ss i^ etc. ;

NOTE XIII. a45

de sorte que les puissmces. et y a?, a', etc. a" seront aussi des ra* cines de la même équation ; et comme elles sont au nombre de m , et ont toutes des valeurs différentes , elles donneront nécessairement toutes les racines de Féquation^— i =:o.

6. Il s^ensuit aussi , a*, que si , dans la série des puissances a , a% a', etc. a""', l'on substitue pour a une quelconque de ces puissances, comme a", n étant <im; la nouvelle série a", a**, a'% etc., en rabaissant toutes les puissances au-dessous de a", à cause de a" =: 1 , contiendra encore les mêmes puissances, mais dans un ordre différent ; car il est visible que tous les exposans /}, a», 3/», etc. sont dîfférens, et que leurs restes de la division par m le sont aussi, parce que m est un nombre premier ; de sorte que ces restes étant au nombre de m, et tous différens entre eux, ne peuvent être que les nombres I ^ ^ , 3 , etc. /7t.

rj. G)nsidérons maintenant le cas ou 77» est un nombre composé. Dans ce cas , si n est un diviseur de 77t , toutes les racines de l'équation ^"— i = o seront commune à l'équatioù ^ — i =s o , parce qu'en supposant le nombre r racine de l'équation jr' — 1=0, on aura r"= i ^ et par conséquent aussi r*== i : de sorte que r sera aussi racine de l'équation j^ — i = o. En faisant donc a = r , on aura a"= i ; et si 77»=5 np^ il est visible que dans la série des puissances A, «t*, a', etc. a", chacune se trouvera répétée p fois; par conséquent ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l'équation ^ — i = o ^ parce que cette équation ne peut avoir de racines ^ales.

8. Soit m=pq^ P ^^ 9 étant deux nombres premiers, et soit j3 une des racines de l'équation j^p — 1=0, et y une des racines de l'équation ^ — 1 =s o , il est clair que jS et ^ seront aussi racines de l'équation ^—1=0, parce cjue ^ et y^ étant = 1 , on aura aussi jS^^s i , ^'^zz: 1 ; mais toutes les racines de l'équation ^-—1=0 ne pourront pas être représentées par les puissances successives de ces racines /3 et y.

On voit aussi que le produit fiy sera racine de la même équation ^ — ' I =s o ; mais aucune puissance de cette racine, dont l'exposant serait inférieur a iti, ne pourra être égale à l'unité^

à moins que j8 oa y ne soit = i ; car il Saindrait que l'exposant de cette puissance f^t un diviseur de m, et par conséquent ^al a p ou à 7; on aurait donc (jS^^sis i, ou (fiyy=: i. Dans le pre* mier cas, on aurait >' = i , k cause de jS^ = i (hyp.) : et comme on a déjà ^♦— 1 = (hyp.), il en résulterait y — 1=0, à cause que p et q sont premiers entre eux ; dans le second cas , on aurait /B I = o.

9. Ain» , tant que fi et y sont différens de l'unité , la racine fiy de l'équation ^—1 = 0, a, lorsque m^pq^ la même propriété que la racine a lorsque m est un nombre premier, savoir, que toutes les racines de celte équation peuvent être représentées par les puissances successives de fiy.

10. G)mme les valeurs de j8 sont au nombre de /?, et celles de y au nombre de ^, les valeurs de fiy seront an nombre de pç^ c'est-a-dire de m ; et il est facile de prouver que ces valeurs seront toutes différentes entre elles, parce qu'elles peuvent être représentées par fi^y'j en fisiisant successivement r= i , 2 , 3 • • • /f et. . .. 5=:i, 3, 3...7, à cause que les nombres p et q sont supposés premiers. D'où il suit que toutes les radnes de l'équation j^ ■ 1^=0 , m étant =/'79 peuvent être représentées par les produits fiy des racines des équations f^ — i=so,jrf — 1=0,/? et q étant des nombres premiers.

On prouvera de même que ûm^spqty en supposant /?, q^ r des nombres premiers , et que j8 , ^ , J^ soient respectivement des racines quelconques des trois équations^ — i = o, j^ — i — o, y — 1=0, le produit i3>/, en donnant succesâvement à jS, ^, i" toutes leurs valeurs , pourra représenter tontes les racines de l'équation j^ — • I == o ; et que celles de ces racines qui seront exprimées par fiyS" y en excluant l'unité des valeurs de j8, y^ J^, auront les mêmes propriétés que les racines de l'équation y^ —1=0, lorsque m est un nombre premier.

Et ainsi de suite.

1 1 . Mais si l'on avait m=^, p étant un nombre premier, en prenant /3 pour une quelconque des racines de l'équation j^ — isao, il est clair que jS serait aussi racine de l'équation j^ — i s= o ,

et que y file serait aussi. Ou prendrait donti, dans ce cas, pour y

une quelconque des "valeurs de v/p , et 1 on aurait également fiy pour l'expression de toutes les racines ^ — - 1 = o.

De Ynême, à mzs^j^y en conservant les valeurs de jS et y^ on

ferait, de plus, ^=iyfi^ et l'on aurait fiyS" pour l'expression de toutes les radnes de /*-^ i =0 , en donnant successivement k fi^y^J^ toutes leurs valeurs. Et ainsi de suite.

la. Donc, en général, si /ii=//*yV'. . . , et que iS , >, «T, etc.

soient respectivement des racines quelconques des équations. •••• •

jr^ — 1=0,^—1 ==0, y — I = o, etc. , py y, r, etc. étant des

nombres premiers, si l'on fait, de plus, /3'= i/jS, fif'zsiyfi'^ etc.,

y= V^j., y''=\/y, etc., J^^izzy^J', cT^zs/eT', etc., on aura... /SjS'^'^ . . X >yy. • . X cTcT^cT'. . . pour l'expression générale des racines de l'équation ^— i=:o, en donnant successivement à /S, /3', etc., y y y\ etc., cT, J^, etc. toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particulier.

On voit par là que pour avoir les racines de l'équation à deux termes j^ — 1 s=5o, lorsque m n'est pas un nombre premier, il suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposâns soient; les nombres premiers qui composent le nombre m.

i3. Enfin nous remarquerons que comme l'équation ^•— 1 ss o manque de tous les termes intermédiaires, si l'on nomme i, 4, j8, >, etc. ses racines, on aura par les formules générales données an commencement de là Note YI,

i-+'*+i3+>+cr+ etc.

I + *• + /3' + >• + J^' + etc.

I + a* + /8» + y + J'* + etc.

etc., 1 + a—' H- /3^* + >^" -H ^^ + etc. es: oj

ensuite^ à €au«e de a" = i , ^ s: t , etc., on aura

a48 NOTE XIII.

I + a» + /S- + >- + cT* 4- etc. = , + a»-^* + jS»-^* + >-^* + etc. = I + ««+• + /3*-^* 4- >-^» 4- etc. =

et ainsi de suite.

Ces différentes remarques nous seront fort utiles dans la suite.

i4* Ces préliminaires posés, considérons la fonction

f = a:' + Aod^ + a»y + é?x^^ H- a*a?^ + etc. + a""-'a:^\

dans laquelle x\ jc", x'^\ etc. a:^"^ sont les racines de l'équation proposée du degré /7i, et « est une racine quelconque de l'équation. . • ^—1 = 0, de manière que l'on ait a" = i .

On voit d'abord que cette expression est une fonction invariable des quantités cûoC^ aLod\ a^x'"^ etc., et qu'ainsi le résultat des permutations des racines x', od\ x'"j etc. entre elles, sera le même que celui des puissances de (t entre elles.

i5. 11 suit de là que at sera le résultat des permutations simultanées de x' en ai\ x'* en x'"j etc. , jp^"^ en j/, à cause de a*=i. De même etU sera le résultat des permutations simultanées de x' en x"', cd' en a:*% etc., o:^"*'^ en x\ et af^^ en x", à cause de fit" :;= I , a""*"* =^ flt , et ainsi de suite.

Donc, t étant une des racines de Féquatiou résolvante en t y eu y eeMy ct?tj etc., a""7 seront aussi des racines de la même équation ; par conséquent l'équation en t devra être telle, qu'elle ne change pas en y changeant t en ctty en a% en a?ty etc., en a^^^U; d'où il est fiicile de conclure d'abord que cette équation ne pourra contenir que des puissances de t dont les exposans soient multiples de m.

Si donc on £aitf* = 6, on aura une équation en S qui ne sera que du degré i.9*3...m— ^f, et dont les racines seront les différentes valeurs de 6 résultantes des permutations des m— *i racines j/', a?"', etc., a^ entre elles.

i6. L'expression de sera, à cause de *•= i, a*"= i, etc., de la forme

e = ^- + £tf 4- «•f 4- «»f^' 4- etc. 4- ^•^•p-'^

NOTE XIIÏ. a49

dans laquelle les quantités ^•j ^', 0", etc. seront des fonctions dëtei>minées de x\ ar", x"\ etc. , lesquelles auront en général la propriété d'être invariables, par les permutations simultanées de xf en a^'^ af' en x"\ etc. , or^"^ en x\ de x' en x"\ af' en x'^^ etc. , x^^^^h en x\ o:^"^ en j:", et ainsi de suite ; ce qui suit de ce que 9 est également s= r ==: (flt/)" == («•/)"•, etc»

Lorsque les quantités Ç*, ^, ^', etc. seront connues , on aura tout de suite les valeurs de toutes les racines a:', a/'y x^'^ etc. de la proposée. Car puisque Sc=f*, on aura f= |/9; et si l'on dénote par i, ^> /^ I 7 » 6^^* ï^ racines de l'équation j^ — i = o , et qu'on dénote aussi par 6"*, fi', 6'^, etc. les valeurs de 6 qui répondent à la substitution successive de ij cl, fi, y^ etc. à la place de et dans l'expression de 0, on aura, à cause de

< = or' -f. flur^' -f. et^x"' + etc. + a"-»ar^'^, les équations suivantes :

x' H- x" + x^' 4- etc. + a:« = V^, x^ + axf' + a^xf'^'J^ etc. + ef^'a^^ = \/F,

jc' H- fiaf' + /S-y'H- elc. + /S"— a<-> = v/fl*,

x!' + >a/' + >*a?"'+ etc. + y^»x« s= \/B^, etc.

Ces équations étant ajoutées ensemble , donneront d'abord par les propriétés des racines i , a, /S, 7, etc. (p? i3),

. ^/ô* + v/6' + y/? + etc. + t/flg =ô

Ensuite , si on les multiplie respectivement par i , a*r', j8*"*, >""*', etc. , et qu'on les ajoute de nouveau ensemble , on aura , par les mêmes propriétés ,

f, \/¥ + a"-' y/y + jg'»-' \/¥ + >■»-' v^y +ètc

2Sa NOTE XIII,

On trouverait de la mêaie manière

^6« + ««-* l/y + i8«-* l/a* + ^"'-« ^/8^ 4. etc.

et ainsi de suite.

17.. Nous remarquerons sur ces formules que le terme \/9^ëtant égal: à la somme a:' + a/' -j- a:"' + etc. des racines, est donné immédiatement par l'équation; de sorte qu'on a ^Q^r=:A (n®a),équa« tien nécessairement identique, et qui pourrait servir, s'il en était besoin, à s'assurer de la bonté du calcul.

li' suit de là aussi que comme 6* = ^* + 0' + ^'' + ®tc. , en frisant a = I , on aura

ça ^ ^/ ^ ^'/ ^ etc. + ^»> = fl* = A-, et par conséquent,

valeur qui^ étant substituée dans l'expreasîon générale de ft, la réduira k cette forme plus simple

k cette forme plus simple

=A-H-(«— o?'+(*'-or+(«'-or, etc.,

. aura les valeurs de d', 0'', 0^^, etc., en mettant a, fiyy^

et Ton aura les valeurs de ô', fl", fl''^, etc., en mettant a, i8,y, etc. racines de l'équation ^"'* H-J'**"^ + J^*"^ + etc. -f* ' = o , à la place de a (n^ a3).

18. La difficulté se réduit donc à trouver les valeurs des quantités ^'y j^'^ ^"^y etc< qui entrent dans l'expres^on de 6, lorsqu'elles ne sont pas données immédiatement. Dans cette recherche, il .convient de distinguer le cas où l'exposant /ti est un nombre premier de ceux où m est un nombre composé.

Supposons d'abord que m soit un nombre premier; nous avons: démontré ci-dessus (n^ 6), qu'alors en prenant* pour (t une racine quelconque de l'équation^— i =s o, autre que l'unité, si, dans la série des puissances a, a% oè^ etc» ct""*'^ on. substitue à -la place de a

HOTE XIII. tiSi

une quelconque de ces mêmes puissances, on retrouvera toujours la même série de pmssances, seulement dans tin ordre différent. Or il est visible que dans la fonction t , le changement de a en a* répond aux permutations simultanées de af' en x^^ x^^ en x^y etc.; que le changement de et en a^ répondra aux peritiutations simultanées de x^' en a:'% x^^' en ar^", etc., et ainsi de suite. Donc, les changemens successif de a en a% a', etc. «""% répondront à autant de permutations où x^' prendra la place de xf^y x*% etc. x^ ; ce qui fait m— -i permutations dont chacune pourra] ensuite être combinée avec toutes les permutations possibles entre lés autres m-— a racines «"', x^\ etc. a:^"^

Il en sera donc de même de la fonction ; et comme dans cette fonction les changemens de tf , en a% a', etc. répondent à des permutations de 0' en Ç", en 0'", etc. , correspondantes à celles de a/' en x^'y en x^\ etc. , dans la fonction f ; il est facile d'en conclure que les quantités Ç', Ç", Ç", etc. seront les m — i racines d'une équation en ^ du degré m — i , dont les coefficîens seront des fonctions de fi/, xf\ x^'\ etc. , qui ne seront susceptibles que d'autant de valeurs différentes qu'il y aura de permutations entre les m — a racines x^"y j:*% etc. jc^"\ c'est-à-dire de i.a.3. . .(iw*— a) valeurs , et dépendront par conséquent d'équations du degré • • . i.2«3.. .(m— «a).

19. On peut même démontrer que tous ces coefficiens ne dépendront que d'une seule équation de ce même degré j car si l'on re* présente par

0—» — M0— H- N^» — etc. s= o ^

l'équation en Ç, dont Ç', ^", ^'"y etc. sont les racines; en faisant dans les fonctions M , N , etc. les i • a • 3 • • • (m -— a) permutations entre les racines x^\ x^^, etc. , on aura autant de pareilles équations qui , étant multipliées ensemble , donneront une équation finale en ^ du degré i.a.3. • «m — i , dans laquelle les coefficiens seront des fonctions invariables des radnes a/, xf'y xf*y et par conséquent déterminables par les coefficiens A , B ^ G ^ etc. de l'équation proposée.

L'équation Ç*^' — M^*"* -f- Ni?^* — etc. = o sera donc un

a52 NOTE Xllt.

diviseur de celle-ci ; faisant la division à la manière ordinaire , et galant à zéro les /n— •'! termes du reste, on aura autant d'équations dont les premières m— 2 donneront les valeurs de N , P, etc. eh fonctions rationnelles de M. Ainsi il suffira de trouver l'équation en M du degré i«2.3...m-— x

Si donc cette équation pouvait se résoudre , et il suffirait d'en connaître une seule racine, on aurait les valeurs des coefficiens de l'équation en Ç, qui est d'un degré moindre d'une unité que la proposée , et dont les m — - i racines seraient les valeurs des quantités ^', Ç", 0''', qui entrent dans l'expression de ô.

20. Mais au lieu de chercher les racines ^^, Ç", ^'"j etc. , il pourrait être plus simple de chercher directement fl', 6'', fl''', elc. U est clair que ces quantités seront les racines d'une équation en du /îi — 1 degré, qu'on trouvera en éliminant a de l'expression de fl, au moyen de l'équation a" — « i ::= o , après en avoir ôté la racine i ,, c'est-à-dire de l'équation

ct*~* + "r:* + "^* + etc. 4- ' = ^«

Cette équation en sera ainsi débarrassée de la racine a, et ses coefficiens exprimés par les quantités Ç% ^', Ç", etc. étant considérés comme fonctions des racines or', ^', x^^\ etc. , ne seront susceptibles que de i • a • 3 • • . (m — 2) variations par toutes les permutations possibles entre ces racines \ car comme les changemens de place de oé* répondent aux substitutions de et*, «', etc. , au lieu de a, et que la quantité a a disparu de l'équation en S, il s'ensuit quie dans l'expression de ses coefficiens, on pourra r^rder oê^ comme fixe, ainsi que x\

Sans employer la voie de l'élimination , on pourra parvenir directement à cette équation en 0, au moyen de ses racines 0^, 0'^, 0'^, etc. , dont l'expression est connue ; car en représentant cette équation par

fl— 1 T0-^* + U0-^ — etc. = o ,

on aura , par les formules connues ,

T = fl' + 6" + 0'" + etc. , U = fl'fl" + fl'5''' + &T' + etc. ,

21. On pourra faciliter beaucoup la détermination de ces coefiicîens , en les déduisant des sommes des puissances successives des racines fl', fl'', etc. jusqu'à la m""*' puissance. En effet , si Ton élève successivement le polynôme

^o ^ ^^f ^ ^.^r/ ^ ^3çw ^ etc. + a«-«'gc— o

aux puissances a*"% 3*"", etc., et qu'on dénote par ^a, ^3, ^4> etc. les termes de ces puissances , qui ne seront point affectés de la quantité âi, après avoir substitué partout i pour a"*, et pont «1""^% et ainsi des autres; que, déplus, on fasse pour l'uniformité

fl» = Ç« H- ^' + I" + Ç"' + etc. + ^c— >.

en sorte que les quantités 6"*, 0', 6", etc. répondent aux racines i , a, /S, etc. 3 il est facile de voir qu'on aura , par les propriétés de ces racines exposées plus haut , m^*, m^2 , m^3 , etc. pour les sommes des puissances i*", 2*"% 3*—, etc. des quantités fl% 6', fl'', etc.

Or fl® = A" (n® 17); donc, si l'on retranche respectivement des quantités m^% m^2y /7i^3, etc. les puissances de A", les restes mÇ* — A", m^2 — A**, m^3 — A*", etc. sont les sommes des m — I racines fi', fi'', 0'", etc. de leurs carrés, de leurs cubes, etc.; d'où l'on tirera les sommes de leurs produits deux à deux, troia à trois^ etc. par les formules données dans le chapitre I*' (p? 8), ainsi qu'il suit :

T( wigo — A" ) m^a — A

fin

^ U(m^<> — A" ) T(mg2 — A*") /ng3 — A ^" ^ ~ 3 3 ^ 3 ~>

etc.

aa. Maintenant, si l'on fait dans les expressions des cpefficiens T, U, V, etc. en ai\ x", a/", etc. toutes les permutations pos-

254 NOTE xin.

sibles entre ces racines af^ a!'^ etc. , on ne trouvera pour chacun de ces coefficiens que i .a.3. . .(m-— a) permutations provenant uniquement des permutations entre les m — 2 racines or", x"\ etc.

Ainsi on aura pour la détermination de T une équation de ce même degré , qu'on pourra former par le moyen de ses racines, ensuite on trouvera les valeurs des autres coefficiens U , V, etc. en fonctions rationnelles de T, par la méthode donnée plus haut, relativement aux coefficiens de l'équation Ç (n** ig).

Le problème se trouvera donc réduit à la résolution de l'équation en T du degré i .2.3. • .(m — 2), laquelle sera toujours d'un d^ë plus haut que la proposée, lorsque m sera au-dessus de 3. Il est possible que cette équation puisse être abaissée à un degré moindre , mais c'est de quoi il me parait très difficile, sinon impossible, de juger à priori.

a3. A l'égard des racines ^ 9 jS > > 9 etc. , comme elles sont avec l'unité les racines de l'équation ^"'•—1=0, si l'on divise cette équation par jr^^iy pour en éliminer la racine i , on aura l'équa* tion du degré «fr— i ,

jm^i ^^-t ^^— s ^ etc. -|- 1=0,

dont a, jS, y^ etc. seront les /n— ^i racines.

Cette équation est d'abord , comme l'on voit , d'im degrtf moindre d'une unité que l'équation proposée ; mais étant d'une forme convertible, elle peut toujours s'abaisser à un degré moindre de la moitié; de plus, par la belle découverte de M. GausSj on peut la résoudre à l'aide d'autant d'équations qu'il y a de fiicteurs premiers dans ut — • I , et qui ne montent qu'aux degrés marqués par ces facteurs. On peut même la résoudre directement sans passer par aucune équation intermédiaire , comme on le verra dans la Note suivante.

24- Nous avons supposé (n^ 18) que l'exposant m du degré de l'équation est un nombre premier ; considérons maintenant le cas où cet exposant est un nombre composé. Dans ce cas, nous avons vu que les racines de l'équation ^ — i = o sont de deux espèces ; les unes sont commîmes à l'équation ^— -i=:o^ n étant un

NOTE XIIL 255

diviseur de m y et leurs puissances ne peuvent pas représenter toutes les racines de Féquation primitive, parce qu'elles n'ont de valeurs différentes que jusqu'aux puissances n ; après quoi , les mêmes valeurs reviennent toujours dans lé même ordre ; lès autres n'apparliennent qu'à l'équation j*"» — i = o , et jouissent des mêmes propriétés que les racines de cette équation , lorsque m est un nombre premier. Ainsi, il faudrait d'abord borner le raisonnement du n® i8 aux seules racines a, qui sont propres à l'équation 7* — '1=0, et modifier, en conséquence, les conclusions que nous en avons déduites, relativement à l'équation en ^. De plus, en n'employant même que ces racines pour a, on ne peut pas dire que la substitution d'une puissance quelconque de et à la place de et dans k série a, tt% a', etc. a"^*, redonne toujours les mêmes termes, parce que si m=:n^, la substitution de a" pour et, ne donnera jamais que les puissances a", a*% etc. et"'', à cause de et*^ ^ i . U résulte de là que les quantités ^, ^'\ ^"\ etc. ne pourront plus être les racines d'une même équation , mais devront dépendre d'équa-* tions différentes qu'il faudrait chercher séparément , ce qui al(»igerait le calcul.

Mais en employant les racines communes à l'équation j^ — i = o ,^ la méthode générale se simplifie, et la résolution du degré m se réduit à celle d'autant d'équations des degrés inférieurs n que l'exposant ma de facteurs premiers ; c'est ce que nous allons dcveloj^r.

a5. Supposons donc que le nombre m ait un diviseur /», nous avons vu (n® 7) que toutes les racines de l'équation j""-— ic=o sont communes à l'équation ^"^ — i = o ; ainsi dans la fonction

< =z= j/ + aa^' + <t'x"^ -f- etc. + a— 'a:^"> ,

nous pourrons prendre pour a une des racines de l'équation^*-— i:=sa. On aura alors flt"= i , a"^'=a, ût""*"*=a% etc., «•■=1 , a*""*"'»*^ «'■'*■• = a% etc., jusqu'à flt"=i ; et l'expression de ^ se réduira à cette forme plus simple,

I = X' + aX" + a-X'" + etc. 4- a-*'X^-^

en faisant, pour abréger ^

X' = a:' + ar^'-^'^ + a:^*»-^0 ^ etc. + jrC«— +o^ X" = ^' + a<-^*^ + a^"-^*> + etc. + jfi^'-^^\ X"'= 0:'''+ a:^»+«5 + o:^"-^^^ + etc. + o:^— «+«, etc. , XW= oi^co.^ jjC ■) .^ o:^^"^ + etc. + j:^*\

Regardant maintenant les quantités X', X'', X% etc. X^"^ comme les racines d'une équation du degré n^ il est clair qu'on pourra appliquer à la fonction t les mêmes raisonnemens qu'on a faits dans les n^* i5 et i6, et qu'on parviendra à des conclusions semblables.

Ainsi , en faisant <" = , on aura , à cause de a*s=i i , une expression de 9 de la forme

9 = ^» H- af + a*^" + etc. ct»-»^^— ^

dans laquelle les quantités ^% ^'^ ^^\ etc. seront des fonctions connues de X', X'', X'", etc. lesquelles auront la propriété d'être invariables par les échanges simultanées de X' en X", X" en X'^, etc. , XC^ en X'.

G)nnaissant ces quantités, on aura immédiatement les valeurs des racines X', X'', X''', etc. , par des formules semblables à celles du n® i6.

Ainsi, en prenant i , ci, /3, etc. pour les racines de l'équation. .. j^*— I =o; et supposant que 8% 9', 9", etc. soient les valeurs de fl qui répondent ketz=z i ^ a^ fi^ y^ etc., on aura

|/6» + v^ô' 4- l/ô- + etc.

V¥ + «— \/W + j8— \/¥ + etc.

Y/ff —

n V^F + «— • /r + |g»- t/F + etc.

etc.,

où l'on remarquera que le terme v^fl^ est toujours ^al à la sonune

NOTE XIIL aSj

des racineB, qui est ici

X' + X" + X"' + etc. = a/ H- x" + «^ H- etc. = A.

On n'aura encore par là que les racines X', X"', X*', etc.; pour avoir les racines primitives x', aP^ x'", etc. , il n'y aura qu'à reg&rder séparément celles qui composent chacune des quantités X', X'', X^, elc. comme les racines d'une équation du degré égal au nombre de ces ra:cines, et y appliquçr la m^e méthode.

26. Lorsque n est un nombre premier, ce qu'on peut toujours supposer en prenant pour n un des facteurs premiers du nombre m , les quantités f', ^'', ^'"^ etc. seront, comme dans le n^ 18, les racines d'une équation du degré n — 1 , dont les coefficiens dépendront d'une équation du degré i.:i.3.../i— -:i. Cette dernière équation aura pour coefficiens des fonctions rationnelles de ceux de l'équation en X, dont X', X'', X"', etc. sont les racines. Or ceux-ci ne' sont pas connus ; il n'y a que ceux de l'équation d<mnéé, dont JC^, a/\ xf"^ etc. Mat les racines, qui le soient; il s'agit donc de voir comment ceux-là pour* ront dépendre de ceux-ci.

Il est clair qu'en substituant pour X\ X'', X'^, etc. leurs valeurs en x\ j!\ ocP\ etc. , les coefficiens dont il s*agît deviendront des fonctions connues des racines x^, y, af^^ etc. ; et pour trouver les équations d'où ces fonctions dépendront , la difficulté se réduira à chercher de combien de valeurs différentes «es fonctions seront susceptibles par toutes les penaatfttîons possibles entre les racines Jt^, x", x^, etc. af^.

37. Le nombre total des permutations entre ces m racines, est en général i • :i . 3 • • . m ; mais s'il y a des pennutations qui ne produisent aucun changement dans les fonctions dont il s'agit ,^ il faudra diviser par le nombre de ces permutations le nombre total des permutations, parce que chaque permutation se combinant avec toutes les autres , ne s'ajoute pas aux autres , mais les multiplie.

Or les mcines a/, a:^'*»>, etc. , x^-^0 qui entrent dans l'expression de X', et qui sont au nombre de p ^ à cause de m sa /yi ^ .«ont susceptibles de i.a*3.*»^ permutations; mais comme eUet

«58 NOTE XIll.

entrent dans X' sous une forme invariable, leurs permutations ne produisent aucun changement dans la valeur de X'; par conséquent on aura d'abord le diviseur i .2.3. . . p.

L'expression de X'' étant dans le même cas, donnera de nouveau le diviseur i.a.i, . .p'y de sorte qu'on aura le diviseur (i .a.3. . .p)*, à raison des deux fonctions X' et X'' ; par la même raison , les trois fonctions X', X^, X'", donneront le diviseur (i .2.3. • ./?)' et les n fonctions X', X", X"', etc. X^"^ donneront par conséquent le diviseur ( 1 . 3 . 3 ... /?)".

Enfin les n quantités X^, X^', X'^', etc. sont susceptibles en ellesmêmes de I.3..3... /i permutations; et comme les coefficiens de l'équation en X, sont des fonctions invariables de ces quantités, il en résultera encore le nouveau diviseur i • a . 3 . . • n.

D'où l'on peut conclure que les coefficiens de cette équation , regardés comme des fonctions des m racines x'y x^\ a/^', etc. , ne seront

susceptibles que de 5 -7 = r: valeurs dinerentes , et

ne dépendront par conséquent que d'une équation de ce degré.

Ainsi , les coefficiens de l'équation du degré 1.2. 3.. .7» — 2, qui sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation en X, dépen* dront d'une équation de ce degré.

Donc, en donnant à ces coefficiens toutes les valeurs qui ré^ pondent aux racines de cette dernière équation , et multipliant ensemble toutes les équations résuhantes, on aura enfin une équa-

tion du degré ,.,...'„'';;^(V.a'I..p)« >< ».2.3. . .»-a), savoir,

f If i\ n f I 2 3 ï? ' ^^ ^^^ l'équation d'où dépendront les coefficiens de l'équation en ^ du degré — i ,. dont les racines seront les valeurs de ^', ^", ^'"^ etc. Ainsi on peut dire que c'est à une équation de ce degré que la résolution de l'équation proposée se réduira en dernière analyse.

28. Pour achever la résolution de Féquation proposée en jr,Tl faudra encore tirer les valeurs de ses racines a/, jr^, a/", etc. x^"^ de celles des racines X', X", X''', etc. (n* 25). Pour cela, on regardera les p racines «', ^"♦''^, etc. , qui composent la valeur

de X', comme étant les racines d'mie équation du p'^'^ degré , et qui sera de cette forme

a;^ — X'of-' H- ^of-* -- fjut^^ + vj^^ — etc. = o,

dans laquelle les coeiBciens A , /Et , y , etc. seront inconnus; mais comme cette équation est censée renifermer p des m racines de l'éqnation proposée

a^ — Ao:""' + Jc^*"* — Gr*"' + etc. =0,

où m:=inp j elle, devra être un diviseur de celle - ci ; par conséquent il n'y aura qu'à faire la division ordinaire, en supposant nuls les termes affectés de a:*^', af^^y etc. dans le reste. On aura, par ce moyen, p équations en X', A^ ft, etc. dont les /? — i premières donneront les valeurs de A , /i , etc. en X', par des équations linéaires. Ainsi X' étant connu, on aura aussi A, fe, etc., et il ne s'agira plus que de résoudre cette équation dn degré ;>. De même, en substituant la valeur de X'' à la place de celle de X', on aura l'équation qui donnera les racines x'', aff^^y af^^^\ etc. , et ainsi de suite.

29. On voit par là que cette dernière méthode revient à décomposer l'équation du degré m=inp en n équations du degré p'^ mais si, pour cette décomposition, l'on suivait la méthode ordinaire, il faudrait résoudre une équation du degré

mfjn"^ i) (m — 2)%.. ..(m— p + i) i.a.3 -P " '

«omme nous l'avons vu dans la Note X j au lieu que celle-ci ne demande que la résolution du degré