ni

qui est toujours moindre que le précédent.

Soit m = 4 9 '»= ta y ^ ss 2 , ces degrés seront

«6o NOTE XIIL

Soit m ss 6, nssziy ;9SS53, on aura

i îs= ao, — 7 — ^Tï- = lo:

«t ti l'on fait iissS, /issa^ on aura

et ainsi de 'suite.

3o. Appfiquons la théorie précédente aux équations <ia second ^ du trovstëme et du quatrième degré.

Soit d'abord l'équation du second degré

Jt* •■*• A^ *+• B as» o^

dont les racines soient ^ et aP.

On a id /nsssa, qu'on peut regarder oosune un nombre premier ; prenant f^our ce. --ime ncine de l'équation ^ — - i ss: o , on &ra

t =z a/ + <ta/'y

d^où l'on déduit

9 as (• ta jc^ + ;r^'* 4. 9M(/x^\

à cause de a* as i ) donc ^ = ^x^od'y fonction invariable des racines a/ et af*.

En efiet , on a B =s x^af^j et par cotiséquent ^' = 3B. Or l'équation ^ — is=3 données: i^ """^î <lonc a=— i, et (n** 17) fi' =s À* — a^' = A* — « 4^. Ainsi les expressions des deux racines seront (n*** 16, 17)

comme on le sait depuis long-temps.

3i. Soit maintenant l'é<|sation générale du tnoisiéme degré

a^ — • A^* + Br — C ;= o,

dont les racines soient x?^ af^ air"'.

Ou a ici 771 s=: 3 nombre premier; la fonct^Hi t sera dooc^ en prenant pour cl une racine de j*' — i s= o ,

^ = jc' + «/' 4. (x*a?"', et la fonction :?= I' sera , à cause de a' =s i ,

où l'on aura

Ç* = x'^ + ar"« + ^w ^ ôa^ai'aJ",

Les quantité Ç', Ç" seront donc les racines d'une équation du second degré, dont les eoeiEciens dépendront d'une équation du degré 1 . 2 . • . /7i — 2 ,. c'est-à-dire du premier degré , et qui seront par 000séquent des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée. En effet , on voit que par toutes les permutations possibles entre les trois racines x\ x^\ x"\ les deux fonctions ^', ^" restent les mêmes , ou se changent l'une dans Tautre ; de sorte qu'en les supposant ra-^ cines de l'équation

?• — MÇ H- N = o,

on aura M = 0'+^", N=Ç'§" fonctions invariables de x\ a^y x^, et par conséquent déterminables par les coefficiens A , B, G de la proposée.

En effet, on trouve facilement, par les formules de la Note X (n^ 4)>

M = g' + ^' = 3AB — 9C, ^ N == er = 9B' 4- ^^' — 6AB)C H- 8iC\ Ainsi l'on n'aura è résoudre que féquation du second degré

^•-.(3AB--9C)e + ftB'4-9(A» — 6AB)CH-aiC';?=P,

dont on prendra les deux racines pour les valeuns dis ^' >et:i^. Faisant ensuite (n^ 17}

9" = A» + (/3 - or + (^* — i)f ,

et subtituant^ dans les formules du n® i6, 3 au lieu de m^ et A au lieu de \/S* (n? 17) , on aura

A + V^ + V^fl* 1

ar ,

à cause de /3 = «% et par conséquent j8* = a.

Et les deux quantités a, /3 seront (n^ a3) les racines de l'équation J^ + J^ + I s= o > laquelle donne

3a. Mais on peut avoir des expressions plus simples, par le moyen de l'équation en , qui sera ainsi du second degré.

En représentant cette équiation par

fl« — Tfl H- U

on trouvera les valeurs de T et U par les formules données plus haut (n* ai).

On aura ainsi