T = 30* -. AS

^ T(3g° — A») 3ga —A*

où 0a est le premier terme dégagé, de a dans le développement de (J^j^aJj^^ J^ ct^Çy ; et l'on trouve , à cause de a' = i y

NOTE XIII. a63

Or on a (n* 17) §•= A* — Ç' — Ç" 5=s A' — M ; donc puisque ^'f =: N , on aura

T = aA' — 3M,

et substituant les valeurs de M et N trouvées ci-dessus, on aura

T = aA» — 9AB + 37C,

U = A* — 9A*B 4- ayA'B* — 37B = (A« — 3B)».

L'équation en 6 sera donc

^ (aA» -^ 9AB + 37C)9 + (A* — 3B)» = 0,

dont Ie5 deux racines étant prises pour ff et 6^% et substituées dans les expressions précédentes de a:\ a!\ x"\ etc. , on aura la résolution la plus simple de l'équation du troisième degré.

33. Venons à l'équation du quatrième degré représentée par la formulé

4P* — A«* + Bx* — Cr 4. D =? o.

Comme on a ici 4=3*39 ^ e^t plus simple de suivre la mé*-^ tliode du n^ a5 ; en faisant tz = a , on prendra pour cl une racine de l'équation ^—-1:^0, en sorte que «t* = i . On fera ainsi

î = X' + aX', X' = x' + x", X" = x" + x>\ De là, on aura

8 = Ç* + aÇ' et Ç* = X'* + X^ Ç' = aX'X".

Ainsi Féquation en ^, dont ^' est racine, ne sera que du d^re n — I ^ c'est-à-dire du premier degré , et ses coefficiens ne dé-

pendront que d'une équation du degré ^, y g= 3 (n* 27); de

sorte "que l'on aura en ^ une équation du troisième degré , telle que

g/3 i^/. + Nf — P = o.

Les racines de cette équàti<m seront les valeurs de

f = aX'X" = 2(x' 4- x'") (x" + x"),

qui proviendront des permutations entre les trois racines ; et il est Ëicile de voir en effet que ces valeurs ne seront que les tnns suivantes :

aCx' .4- a;'") (a/' + x") , alx' -f- x" ) (x'" -H X") , a(a:' -^ x"') (jc" + x"').

D'après ces racines, on pourra former les coefficiens M, N, qui se trouveront exprimés par des fonctions invariables de x'^ x", x"*, or**, et seront détenninables en A , B , C , D.

34* Pour fitciliter cette recherche , nous remarquerons que l'on a , par l'équation proposée,

B = x'a/' + x'x'" H- x'x" -h Jc"x"' •+■ af'x» + «"V' =s («' + xf") («" + X") + x'x'" + a^'x" = (a/ + jc" ) (^+ X") + x'a^' + jc"'x" = (a/ + X") (a" 4- Jc"') + a/a?" + xV" j

d'où il suit que si l'on fait ^' = 2B — 3tt , l'équation en ^' se transformera en une équation en Uj dont les racines seront

Soit

j|8 Ri^t ^ Sj^ X = G

cette équation en u, on aura

et l'on trouvera d^ la même manière, en employant lès formules don^ nées dans la Note X , les valeurs suivantes :

S = ÀC — 4D, T = (A- — 4B)D + C\

Désignons par vl une quelconque des racines de l'équation en 11 ,

ni .« Ba* + (AC — 40)» — (A* — 4B)D — C* = o,

on auraÇ'=aB— ai/j et de là, en faisant «=s>m et n=:a, on aura

fl' = A» — af = A« — 4B + K

et enfin

35. Maintenant, comme X' = x' + x''', on peut regarder a/ et x"' comme les deux racines de l'équation du second degré (n* 38) ,

jc* — • Xfx 1-f- A = oj

et pour avoir X, il n'y aura qu'à diviser l'équation proposée du quatrième degré par celle-ci; le premier terme du reste ^alé à zéro donnera

^ "^ aX' — A 5

ainsi, en résolvant l'équation du second degrés on aura

et comme X" = a:'' + ar*% on aura les racines «", x*^, en changeant dans ces expressions X' en X'^, ce qui ne demande que de changer

le signe du radical ^¥.

Cette solution revient à celle de Descartes , dans laquelle on résout l'équation du quatrième degré en deux du deuxième, moyennant une du troisième.

36. On peut simplifier ces formules en substituant d'abord. •• 2 — — à la place de u , ce qui donnera cette équation en 6,

8* — (3A* — 8B)fl" + (3A* — i6A*B + i6B* + 16AC— 64D) — (A*— 4ABH.8C)* = o,

dont ^ sera mie quelconque des racines k volonté; mais en employant les trois racines , on peut avoir tout d'un coup les quatre racines a/, a/', a/", ap'^.

Car en fisiisant a ss — i , on a

t66 NOTE XIIL

et par conséquent,

fl =s !• sa (or' + a/^ — a/' — x'^y.

Cette expression de d n'est en effet susceptible que de ces trois valeurs différentes

qui seront par conséquent les trois racines de Péquatîon en 0.

Nommons 8^, &*, 0^' les trois racines de cette équation ; on aura donc ces trois équations

x' -h af"^-

- af » =

= Vfl^,

qui , étant Juntes k l'ëqui^n

laquelle répond à «ss i, serviront à de terminer chacune des quatre racines a/, a/', «"', a;'% et Ton trouvera

ar"'

A + /y — v^S» »/TF ^-^—2 »

37. Cette solution, la plus simple de toutes, est due k Etder, mais elle présente une espèce d'ambiguité , ^ ^i caM^ dés radicaux carrés qui peuvent être piis chacun en plus et eft iiionb; Ëà eflfet, on voit qu'en changeant le signe d'un queloàtique "^e ées NidiOatix , ou les signes des trois radicaux à la fob, oa a on autre système de

racines, représente par les formules

ar"'

Au contraire, en ne changeant k la fob que les signes des deux radicaux , on a toujours le même système de racines. Ainsi , pour savoir lequel des deux systèmes il faut employer, il n'y a qu'à déterminer

le signe que doit avoir le produit V'fl' X V^' X V^-

Or l'équation en donne

fl' X ô'' X 0'" = (A» — 4AB + 8C)*i donc , extrayant la racine carrée

VS^ X \/fl^ X V/fl^ = =fc (A» — 4AB H- 8C), et remettant pour v/JTj V^> \/fi^ l^^rs valeurs en a/, a/'y etc. ,

Pour déterminer le signe ambigu , il n'y a qu'à considérer un cas particulier , par exemple , celui où les trois racines a/'y af^y x^f sont nulles. Dans ce cas, on aura Asso;', B=o, G=:o, D=o, et l'équation précédente deviendra ^r'* e= db A', par où l'on voit qu'il fiiut prendre le signe supérieur pour la rendre identique. Ainsi on aura nécessairement

Vfi^ X VS^ X Vff^ =^ A* — 4AB H- 8C.

D'où l'on doit conclure que lorsque la quantité

a68 NOTE XIII.

aura une valeur positive ^ il faudra employer le premier système des racines; et que lorsque cette quantité aura une valeur négative, il &udra employer le second système, en donnant toujours aux radicaux V^> V/5o V^fl'" ^^^ valeur positive (*).

38. Passé le quatrième degré, la méthode, quoiqu'applicable en général , ne conduit plus qu'à des équations résolvantes de degrés supérieurs à celui de la proposée.

Pour le cinquième degré, soit la formule générale

ar»— Aar^H-Bjc» — Ca:* + Dar — E = o,

dont les racines soient x', af', a/", cr*^, x^. On aura ici /7i = 5 nombre premier, et l'on fera

où CL est une des racines de l'équation ^* — i = o, autre que l'unité.

On fera ensuite 9 = t^j et l'on parviendra à une équation en du degré i»2.3.4> i^^i^ qui ^^ra décomposable en 2.3 équations chacune du. quatrième degré; de manière qu'en représentant chacune de ces équations par la formule

64 ifls ^ ufl. — Xfl + Y = o,

les coefficiens T, U, etc. ne seront susceptibles chacun que de six valeurs différentes, par toutes les permutations possibles entre les citiq racines a/, ;r", a:'", j:"^, a?', dont ces coefficiens sont fonctions'; el ces six valeurs ne dépendront par conséquent que d'une équation dà sixième degré ; de sorte qu'en dernière analyse , la résolution de l'équation du cinquième degré serait réduite à celle d'une équation du sixième. U est donc inutile d'entreprendre ce calcul dont on peut, au reste, voir le commencement dans les Mémoires de l'Académie de Berlin (année 1771 , p. i3o et suiv.}.