Nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions résoU
{*) Fbyez page 3io , la correction laissée par M. Lagrange pour cet article.
vantes de la forme J5'4-ew:"+a*J5'"+etc.; mais les pnncipes .que nous avons employés pour trouver directement Téquation dont ces fonctions seraient les racines, peuvent s'appliquer à toute autre fonction des racines or', oi\ a/", etc. de Péquation proposée. Il ne s'agit que de chercher toutes les différentes formes dont la fonction proposée est susceptible par toutes lejs permutations des racines x\ a/', a/", etc. entre elles, et former une équation .qui ait toutes ces différentes formes pour racines* Les coeffîciens de cette équation étant des fonctions invariables de ces racines , seront aussi des fonctions invariables des racines de la proposée, et pourront par conséquent se déterminer par des fonctions rationnelles des coeffîciens de celles-ci, qu'on trouvera toujours par les formules données dans la Note X.
On pourrait croire que chaque fonction différente des racines d'une même équation, dépendrait aussi d'une équation différente; cela a lieu en effet pour toutes les fonctions qui ne sont pas semblables ; mais pour celles que j'appelle semblables, et dont la propriété consiste en ce que, par les mêmes permutations, elles varient ensemble, ou demeurent les mêmes, on peut les faire dépendre toutes d'une mçme équation , parce qu'on peut toujours les exprimer par des fonctions rationnelles d'une quelconque d'entre elles.
J'ai donné, dans les Mémoires de Berlin de l'année 1771 (p. 2o3 et suiv.) , une méthode générale pour la détermination . des fonctions semblables des racines d'une équation quelconque donnée; je ne la rapporterai point ici , pour ne pas trop alonger cette Note.
40. Mais je ne saurais la terminer, sans dire un mot du beau travail que feu Vandermonde a donné dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris (année 1771), sur la résolution générale des équations. Son. ouvrage et le mien ont été composés et lus à peu près en même temps, l'un à l'Académie des Sciences de Paris, et l'autre à celle de Berlin# Vandermonde, en partant d'un .principe général, est arrivé à des résultais semblables à ceux auxquels m'avait conduit Texamen des différentes méthodes connues jusqu'alors. Comme ce rapprochement est iptéressant pour l'Analyse, on sera liien aise de les trouver ici.
970 NOTE XIIL
Le principe dont il s'agit est que l'expression analytique des racines d'une équation doit être une fonction de ces racines, telle qu'elle puisse égaler indifféremment chacune des racines , ' et qui ne soit qu'une fonction de leur somme, de la somme de leurs produits deux à deux , de celles de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, afin que cette fonction puisse en même temps se déterminer par les seuls cœffidens de l'équation donnée.
4i- En examinant, conformément à ce principe, la résolution connue de l'équation du second degré, Vandermonde observe que la fonction qui donne cette résolution est de la forme .
a et b étant les deux racines de l'équation. En effet, à cause de l'ambiguitf du, radical carré ^ cette expression devient indifféremment a, ou &, et en. même temps les deux quantités a +^ et (tf -— * ^)^ 'sôiit exprimables par les ooefficiens de l'équation :^ -^ hx -{« B = o ; car on a
a+* = A, (a— .*)*=a*+4»— aii*=5(a+*)*~4fl45=A* — 4B;
ce qui donne la résolution connue — — ^i5/.
L'auteur applique ensuite le même principe aux équations du troisième degré , et il trouve que la fonction qui donne leur résolu^ tion , peut se réduire à la forme
où a, h^c sont les trois racines de l'équation , et r^, r^' les valeurs qui satisfont avec l'unité, à l'équation r*— -1 = 0. En effet, cette expression devient d'abord égale à a, i cause de r + r^-f*^' ===^ o; ensuite , comme chaque radical cube peut être multiplié par r^ ou r^', la même expression deviendra 6, ou c, en multipliant les deux radicaux par r' et /', ou par r^' et r^, à cause de r^' = r'* (n® 5). De là Vandermonde conclut que pour un nombre quelconque m de racines , la fonction qui deviendra indifféremment a, ou &, ou c, etc. ,
sera de la forme .
+ V'(i»4-r'»i4-W*c-fetc.)"+V'(<i+r'»54-y'»tfH-etc.)"H-etc.,
r', r^', r''-, elc- étant avec l'unité les racines de Téquation: ?•— i =0.
Si l'on compare cette expression à celle de la racine ^ du ti^ 16', on verra facilement leur accord , en considérant que est en général = (ar'+aa/' + fit*J^'' + etc.)"(n* i5), et que 9', fl", etc. sont les valeurs de qui répondent aux racines a, j9, ^, etc. de l'équation j^— 1=0, lesquelles sont désignées par r', r^', r"', etc. dans l'Analyse de P^andermonde , et que lorsque m est un nombre premier, tontes les racines sont représentées également par i , a, ct% «*, etc., par i, /3, /3% /3^ etc. (n* 5).
Pour déterminer les valeurs de (« + r'i + i^'c -|- etc.)" en fonctions des coeffîciens de l'équation donnée, en quoi consiste toute la difficulté du problème, l'auteur emploie un algorithme ingénieux , fondé sur une notation particulière ; il ne cherche pas à priori , comme nous l'avons &it, le degré de l'équation d'où cette détermination doit dépendre ; mais il donne pour les équations du troisième et du quatrième degré, leur résolution complète; et pour celles du cinquième et du sixième degré , des formules générales qu'il appelle types , et qui font voir que la résolution de l'équation du cinquième degré dépend en dernière analyse d'une équation du sixième , et que la résolution de celle-ci dépend de celle d'une équation du quinzième ou du dixième degré , comme nous l'avons trouvé.
43. P^andermonde a aussi remarqué les simplifications dont la formule générale des racines est susceptible dans les degrés dont l'expo« sant est un nombre composé ; par exemple , il trouve que , pour les équations du quatrième degré , les racines a^b^Cyd peuvent être représentées par la fonction
en prenant les radicaux carrés en plus et en moins , et il en déduit la résolution donnée plus haut (n^ 36).
G)nime la méthode de Vandermonde découle àixxsi principe fon* dé sur la nature des équations, et qu'à cet égard elle est plus di-^ recte que celle que nous avons exposée dans cette Note ^ on peut re-r garder les résultats communs de ces méthodes sur la résolution générale des équations qui passent le quatrième degré , comme des conséquences nécessaires de la théorie générale des équations.
«A«»%« kVMIM» »\%i%WV¥W»V»^rWV»MWv»fVl^»»^<>W»W^Wf»i»<MMMWMW»^M»i<^^^»- J V» V »V«iV» ••«•v« i « i - , ^Vtv > vvytv ^ vvvvv| , vv ^^| ^ ^, ^j^ |y^ ^^j^j |^
Oh Von donne la résolution générale des équations à
deux termes.
I. Quoique les équations à deux termes, telles que ^— A = o , ou plus simplement , a/* — i = o ( puisque cette forme-là peut se réduire
k celle-ci, en y mettant x^A pour x)y soient toujours résolubles par les ti^bles des sinus , d'une manière aussi approchée qu'on puisse le désirer, en employant la formule connue
jc = cos - 36o® + sin - 36o* X V/ — i ,
et faisant successivement y= i, 2^ 3, etc., ft, leur résolution algébrique n'en est pas moins intéressante pour l'analyse; et les géomètres s'en sont beaucoup occupés, ils ont d'abord réduit la difficulté à résoudre les équations dont le degré a pour exposant un nombre premier, romme nous l'avons vu au commencement de la Note précédente. Ils
ont trouvé de plus que comme l'équation j/*— - 1 = o a nécessairement I pour l'une de ses racines , en la divisant par o: — i , on a pour les autres l'équation du degré /ea — • i ,
x'*""' +«3/*'"^+J::'*~^+etc.+ i = o,
laquelle étant du genre des équations qu'on appelle réciproques, parce qu'elles demeurent les mêmes , en y changeant a: en - , est dëcompo*
sable en ^ équations du second degré, telles que a:*-— yj>f-i==:o,
dans lesquelles y dépend d'une équation du àe^gcé ^~*- de la
forme
^(L-3)(>-4y-5 etc. = o,
où F=^- , comme nous l'avons vu dans la Note X (n® i4).
De cette manière on avait pu résoudre l'équation jc'-— i = o, parce qu'elle se réduit à une équation du troisième degré ; mais on était arrêté à l'équation a:'* — i =s o , qui ne se réduit par ce moyen qu'à une du cinquième.
a. On en était là lorsque M. Gauss donna j^ en i8oi ^ dans son excelrlent Ouvrage intitulé Disquisitiones arithmeticœ (^) , une méthode aussi originale qu'ingénieuse pour réduira la solution de l'équatioa
jc^-— I ss:o, lorsque ft est un nombre premier, à la résolution d'autant d'équations particulières que le nombre f( -— r contient de £aicteurs premiers , et dont les degrés soient exprimés par ces mêmes facteurs. Ainsi l'équation x^^^ r =: o ne demande que la résolution de deux équations du second , et d'une du troisième, parcequeiS— -i=!2.x3. L'équalion x'' ^-* i = o ne demande que la résolution de quatre équations du second degré , et ainsi da suite.
Mais en appliquant les principes de la théorie de M. tîauss à la méthode exposée dans la Note précédente , j'ai reconnu qu'on pouvait obtenir directement la résolution complète de toute équation à deux termes dont la degré est exprimé par un nombre premier ^ sans passer par aucune équation intermédiaire , ni avoir à craindre l'inconvénient qui naît de l'ambiguité des racines. C'est ce que je vais développer dana cette Note.
3. Soit l'équation à résoudre :r^ — i =: o ^ ft étant un nombre premier ; si l'on en sépare la racine = i , elle s'abaisse à celle - ci du degré ft— i ,
a/*^ " + jc^"^ + a:^~^+ etc. + 1 = 0.
Soit r une racine quelconque de cette équation , on pourra représenter
(*) Cet ouvrage vient d'être traduit en français, sous le titre de Recherchée arithmétique» j chez Bachelier,
NOTE XÏV. t^S
ses /u — I racines par les termes de la sërie géométrique
r, r^9 ^j ^> etc., /^',
comme nous l'avons démontré dans la Note précédente (n® 5).
M. Gauss a eu l'idée ingénieuse et heureuse de substituer à la progression arithmétique des exposans de r, une progression géométrique , en vertu du fameux théorème de Fermât j sur les nombres premiers.
Par ce théorème démontré d'abord par EulePj et ensuite par tous ceux qui se sont occupés de la théorie des nombres , on sait que si fjt est un nombre premier, et a un nombre moindre que /^, le nombre
af* ' — I sera nécessairement divisible par fi, de sorte que le reste
de la division de û^ par fjL , sera l'unité.
Euler a démontré de plus que si en divisant tous les termes de la
progression a , a% a', etc. , af^ par ffc , il se trouve d'autres puissances de a qui donnent aussi l'unité pour reste , les exposans de ces puissances seront nécessairement des diviseurs de /x—- i. De sorte que pour savoir si parmi les puissances de a moindres que
af^ *) il y Ç^ ^ aussi qui, étant divisés par /u, donnent le reste I , il suffira d'essayer celles dont l'exposant sera un diviseur de fe — I.
4. On nomme racines primitives les nombres a dont aucune puis«-
sance moindre que o^ ne donne le reste 1 par la division par )k; et ces racines ont la propriété que tous les termes de la progression
a, a^o*, etc.,^ étant divisés par ft , donnent des restes diSerens, et donnent par conséquent tous les nombres moindres que ft pour restes, puisque ces restes sont au nombre de ^ — i. Car si deux puissances a", a^ donnaient le même reste y n et p étant •< /jl , et /? < n, leur différence a* — «^ = O' (û""*'* — i ) serait nécessairement divisible par fx , mais /i n'étant pas divisible , et /n étant premier, il fendrait que el^^ — t le fi\t; donc il y awfiit une ptnssance
a""' moindre que cT "" ' qui donnerait l'unité pour reste , par conséquent a ne serait pas racine primitive, contre l'hypothèse.
On n'a pas, jusqu'à présent, de méthode directe pour trouver les racines primitives pour chaque nombre premier ; mais on peut toujours les trouver facilement par le tâHonnement. Euler en a donné dans les Commentaires de PétersboiÉ|^ C^f**® XVIII ) , une table pour toiis les nombres premiers jusqu'à 87 ', que nous placerons ici.
iy 3 3, .5
la, i4
5, 7, 10, II, i3, 14, i5, 17, 20, 21
3, 3, 8, 10, II, 14, i5, 18, 19, 31, 26, 37
3, II, 13, i3, 17, 31, 33, 34
où l'on remarque que le nombre de ces lacines primitives, pour un nombre premier fi donné , est toujours égal à celui des nombres moindres que /x», et premiers à ft — i. On peut voir, sur ce sujet , la seclion troisième des Disquisitiones arithmeticœ.
Au reste , pour notre objet , il suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné , et il sera toujours plus avantageux , pour le calcul , d'en connaître la plus petite.
5. Soit donc a une racine primitive pour le nombre premier ft , de manière que les ft — - i termes de la progression géométrique a ,
a% a*, etc. J^ ', étant divisés par ft, donnent pour restes tous les nombres moindres que fc , dont l'unité sera le dernier j il est &-
cile de voir que les /ea— « i racines r, /*, r*, etc. r^""' (n* 3) pourront aussi, en faisant abstraction de l'ordre, être représentées par la série
etc. r
Car comme on a par l'équation a/* — 1=0, dont r est supposé racine , r^ = I , il est visible qu'à la place de chaque puissance de r , comme r^, lorsque X^fij on pourra toujours prendre la puissance
r\ oii y sera le reste de la division de A par fc. Ainsi , dans la série précédente , on pourra toujours réduire les es^posans de r à leurs restes après la division par /t, restes que nous avons vu comprendre tous les nombres t , ^2, 3 , etc., jusqu'à jEi — 1 , mais dans un ordre différent de Tordre naturel , ce qui est ici indifférent pour les racines r, r^yf'^y etc. ; , .
L'avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que si dans la série des racines
on met r^ à la place de r, elle devient
a a* a^ a^ afi ,
r , r , r , r , r , etc. r ;
et si l'on y met r^ à la place de r , elle devient
a* a^ a^ cfi j^ . a
r , r y r , r , r , etc. r, r , et ainsi de suite.
En effet, il est visible que par la substitution der^ à la place de r, r** devient (r^/* == ^^^ ^' devient (j^)^ = r^, etc., et le dernier terme
devient \j^r =^ = r, à cause que le reste de a^""' après la division par fi est l'unité.
De même, par la substitution de r au lieu de r, r^ devient
(r^*^^ssr j r* devient (/^ )^ = f" > etc. l'avant dernier terme
r^'^ deviendra (r ) = r^^ s=s r, le dernier deviendra ••• •
(r^ y^ == r =5 /* , à cause que le reste de la division de a par fé est a, puisque i/* = a X ^^'""^ > et que le reste de la division de
* est i.
6. Cela posé , si pour résoudre l'équation du degré u — i (n^ 3)
^""' -h o/*""^ 4. a^^ + etc. -h 1 = o, dont ies racines sont (n* 5)
r^ r'y r* ^ r y etc; r ,
/* étant =5 I , en vertu de l'équalion a/* — 1 = o , on emploie la méthode de la Note précédente, et qu'en prenant ces racines pour x\ jc", Jt'", etc., on fesse (n^ i4, Note précédente),
t=r + ar''^<^r'^+ a^r^ + etc. aT-^/^"^",
où flft est une des racines de l'équation j^'* "— i :=o; qu'ensuite on développe la puissance /ea— -1^^ de <,en feisant attention de ra«
baisser les puissances de cl et de ?• au-dessous de et'* * et de r^,
par les conditions et'*""' == i et r^= 1, de manière qu'on ait cette fonction ordonnée suivant les puissances de a,
9 = «**""" = ^* + < -f- «•r + *'^'" + etc. + af-^çO—-^),
les quantités ^^, ^', ^", etc. seront des fonctions rationnelles et entières de r, telles qu'elles ne changeront pas par la substitution de
/•^, r^ , r^ j etc. à la place de r, puisque nous ayons vu (n* i6, Note précédente) que ces quantités regardées comme des fimctions de afj od'y x'^'y etc. sont invariables par les permutations simultanées de x' en x^'y af' en a/*, etc., ainsi que par les permutations simultanées de af en x^"y xf' en x^\ auxquelles répondent les changemens
de r en r , en r , etc. (p? 5).
7. Maintenant il est clair que toute fonction rationnelle et entière de r, dans laquelle /^ = i , peut toujours se réduire à la forme
A -f. Br + O* -f- Dr» + etc. -f- Nr*^',
les coefiiciens A, B, C, etc. étant des quantités données indépendantes de r. On peut même prouver que toute fonction rationnelle de r est réductible à cette ferme; car si elle a un dénominateur, on pourra toujoiu^ le feire disparaître, en multipliant le haut et le bas
de la firaction par un polynôme convenable en r y comme nous l'avons vu dans la Note IV (n* 3).
Of puisque, dans notre cas, les puissances r, r*, r*, etc. r^""' peuvent être représentées, quoique dans un antre ordre, par les
puissances r^ r^y r* ^ r etc. r^ , on pourra également réduire toute fonction rationnelle de r à la forme
A + Br + C/J" + Dr*^ + E/^' -f- etc. + ^/^\
en prenant pour A, B^ C, etc« des coeffîciens quelconques indépendans de r.
Donc si cette fonction est telle qu'elle doive demeurer la même, en y mettant r^ à la place de r, il fau^ que la nouvelle forme
A + Br"* -HCr"^ + D/^ + etc. + Nr
(la puissance r devenant r se change en r, puisque r^ s= i
et ^^^ divisé par fjt donne le reste i) coïncide avec la précédente, ce qui donne ces conditions
B = C, C =s D, D = E, etc. N = B,
et réduit la forme de la fonction- à eelle*ei
A 4. B(r + '''' + '•'** + r"^ + etc. + r^" ').
8. DonesiFon dénote par ^ la somme des racines r,^.r^y^ r*^ etc. i'*"**, on aura également
^ = r4"'' ^r +r -J- etc. -f- r ,
et les qmntités Ç% ^'y ^'y etc. de la fonction â, seront toutes de h forme A H- B^.
Les coefficiens A et B se défermineront par le développement
actuel de la fonction =s ^^'^ et k quantité $ est connut par la nature de l'équation k râoiBdre,
j/**^ + oT^^ + etc. -f T ssb e (n*6),
laquelle donne sur-leW:hamp s^z—t. Ainsi on a Ke csas où fe$
28o NOTE XIV.
valeurs des quantités ^'^ ^, ^", etc. sont connues immédiatement , sans dépendre d'aucune équation ; de sorte qu'en désignant par
I , flfc, j8, 3^, etc. les /*— i racines de l'équation j^^^ — » i = o , et par 9% fl', 9", 9^'', etc. les valeurs de 9 qui répondent aux substitutions de ces racines à la place àe et ^ on aura sur - le - champ , par les formules de la Note précédente (n"" i6), en substituant r pour x et )tA — I pour m,
/t*--i. /«— 1 ft— I A«""'
v/e* + v/fi' + v/fi" + etc. + v/ao*-')
Telle est l'expression d'une des racines de l'équation a/* -»- i s=: o ;
on aura toutes les autres par les puissances r*, r', etc. r^"* ; mais on peut aussi les avoir directement par les mêmes formules, en pre^
uant r pour a/', r pour acf"^ etc.
On aura de cette manière
a /F 4- «f*-» V^? 4- (8^-* V^ 9* + etc.
U — I fl^I ft— 1
3 v/5^ + a/^--^ y/y + gF-3 y/g^ + etc.
etc.
g. On pourra aussi, si l'on veut, se dispenser de calculer ces quantités ^® et 9*; car, par ce que nous avons vu dans l'article 17
de la Note précédente, le terme y 9* (en faisant ici m = ;A— i) est toujours égal à la somtne des racines que nous dénotons en général par s y et l'expression de 9 peut se mettre sous là forme
9;=^""' + (et- e + («•- i) f .+ (et'- Oe'^'^ etc.,
qui ne renferme pas ^"^ ; et il n'y a plus qu'à substituer a , /S , ^ ^ etc. , au lieu de a , pour avoir les valeurs de 9', 9", 9'^*, etc.
De cette manière, la résolution de l'équation o:^— - 1 s= o , i^e dépendra que de la résolutiop de l'équation J^""' — 1=0, dont 1,
NOTE XIV. «8i
ât, j3, ^, etc. sont les racines. Or, celle-ci est d'un degré moindre que la proposée; mais de plus, comme f6-—i est nécessairement un nombre composé , on aura les racines a, j8 , y y etc. par celles
d'autant d'équations y^ — i = o qu'il y aura de facteurs premiers w dans le nombre /i — i , comme on Ta tu dans la Note précédente (n* 12).
10. Soit, par «jsemple, l'équation a^ — 1=0 dont on demande les racines. Cette équation étant résoluble par les méthodes connues, on pourra comparer cette solution avec ceUe <\m résulte de la méthode précédente.
En ôtant par la division la racine i , on a l'équation du quatrième degré
dont les racines seront r, /*, r*, r*.
Puisqu'on a ici fi^ssSy on trouve parla table donnée ci-dessus (n"" 4) ^U6 Is plus petite racine primitive est 2; de sorte qu'on a a=:2j et que les racines dont il s'agit peuvent être représentées
par les puissances r, r^, r^ , r^ , lesquelles se rabaissent, à cause de r* = I , à celles-ci t*, /*, r*, r*, en prenant au lieu de l'exposant 3' = 8, le reste de la division par 5.
On fera donc
< =s r + ar* + «•r* + a*r^,
en prenant pour et une racine de l'équation ^ — - is= o, de manière que l'on ait a^ = i .
Maintenant, pour trouver la fonction B, il n'y a qu'à élever à la quatrième puissance le polynôme < , et le développer suivant les puissances de a, en rabaissant celles-ci au-dessous de a^, et celles de r au-dessous de r", par les conditions a^=si et 7*2=1. On trouve, par un calcul qui n'a aucune difficulté,
où les quantités f *, ^', etc. ont les valeurs suivantes , dans lesquelles
a8a NOTE XIV.
je meU s pour la somme des racines r, i*, r*, t'
f = la -f- i3*, ^' î= i6 -H 12*, f = 24 -f 10*, f"= 16*.
Ainsi f comme 5 =3 — * i par la nature de l'équation ei> x , on aura
et la fonction 9 deviendra
Or Féquation^— i =0 se décomposant en ces deux-ci^' — 1 =0 et ^•-J- 1=0, donne tout de suite les quatre racines 1, — 1,
y/ — i^ y/ — ij qu'il faudra substituer successivement pour et, pour avoir les valeurs de 8°, fl', 9'', 9'".
On aura ainsi
^ Donc substituant ces valeurs dans l'expression de r du u"* 8 , et mettant jsir— 1 au lieu de v/9^ (n* 9), on aura sur-le-champ
r= i [— 1 + V/5+ V^(-i5-f-2ov/— i)-f-V/(— i5 - 20 v/— i)].
iT. Mais on peut a^ir une eipressiou plus simple de la même racine r, en faisant usage de la méthode du n"* 25 de la Pïote précédente , laquelle est toujours appKcable aux équations du genre que nous traitons , parce que l'exposant (A — i est nécessairement un nombre composé.
Supposant donc en général ft — » r := i'tt , et prenant pour cl une
racine de l'équation ^-'—1 = 0, la fonction < du n** 6 deviendra de la forme
tz=zli! ^ ùL%!' ^ a?\"' + etc. + «'"'X^'^ dans laquelle
NOTE IIV.
Oi
X" = r" + r" -4- r" 4- 1^ 4.etc.4-r''
X'" = r** + r** H- r« 4" /• 4- etc. 4-/^
etc. ,
X«= r-'-' 4- r«""' 4- r«''"' 4" /•"*'"' +elc. + r'*^\
On formera ensuite la fonction fl = ^', laquelle, à cause de «'= i, sera de la forme
. ?• + «r + <" 4- *»0"' 4- etc. 4- «'"■' r""'»
et aura la propriété que les quantités ^*, ^, ^\ etc. seront des fonctions de X', X", X'", etc., telles qu'elles demeureront invariables, en échangeant à la fois X' en X", X" en X'", X''^ en X'% etc. ,
X('^ en X'.
Or on voit par les expressions précédentes de X', X", etc. , qu'en y substituant r* à la place de r, X' devient X", X" devient X% etc. ,
et X^'^ devient X', car X^'' se change en
/^' + r^'' + r«^' + etc. + r'^'^i mais ?ri» = f6 — i,etr^ =^7 comme on Ta vu ci - dessus
Donc les quantités ^•, ^', ^', etc. devront être des fonctions de r telles qu'elles demeurent invariables par le cliangement de r en /^; par conséquent, par le n® 7 , elles ne pourront être que de la forme A + Bf, A, B étant des coefliciens qui seront donnés par la formation de ces mêmes quantités , et s dénotant la somme des racines
P ^ P^ ^ r H- r^ + etc. -J- r**^ , laquelle est = — i par l'équation proposée ; de sorte que les quantités ^•j Ç', ^", etc. seront toutes données, comme dans le cas précédent (n* 10), et l'on aura sur-le-champ, par les formules du n* aS de la Note précédente, en y mettant f à la place de n, et ^ somme des racines
a84 HOTE XIV.
à la phçte du terme v6*9
Y, j 4- y/y 4 - y/ F + et c.
„ a + «t^-' y/y + y-' y^ë' + etc.
iTW * + àt^^^' V^V + p-^^/b" 4- etc.
etc.
Dans ces eiLpressions et, /S, y, etc. sont, avec l'uuilé, Tes racines
de Féquatîon^' — i =o et 9', ô^j fl"', etc. sont les valeurs de 6 qui répotident à la substitution de a, j9, }^, etc. au lieu de eu
On n'aura pas besoin de calculer la valeur de ^""^ en employant l'expression de G du n* 9 laquelle devient ici
fl = /-h(«-i)f + (««-i)f + («» — i)f' + elc.
%2. Le cas de y =3 mérite une attention particulière , parce
qu'il donne la division de la circonférence en /jc parties.
Soit donc p = '^^— — , et par conséquent ^ z=s 2y on aura. •.
X' = r -J- r^ ^ . Or, puisque a i est divisible par /jl , et que
M—' « est supposé une racine primitive , a ^ -— 1 ne sera pas divisible
(fui ffnl
par ft; mais i/*~ — -i =:(is * j) (a * + i). Donc, fe étant un
nombre premier, a ^ -f- i sera divisible par /a, par conséquent,
— I sera le reste de la division de ,a * p.ir /t'y, donc r^ * sera égale à -.
Ainsi l'on aura
X' = r+1, X"«;^ + i, X'^=;^- + i-, etc.
NOTE XIV. a85
Or on a, par les formules connues du théorème de Cotes,
r = cos + sm — v — i v^ >
et, en général,
/"* = cos — 36o' + sin — 36o' v/— i.
Donc
X' = acos — i, X" = acos- 36o*, X"''::^ acos — 36o% etc*
Ainsi les valem's de X', X'', X"', etc. sont toutes réelles dans ce cas, et donnent immédiatement les cosinus des divisions de la circonférence en /i parties.
i3. Ayant trouvé, par les formules générales du n* ii, les racines X', X'^, X^'', etc., il faudra poursuivre le calcul de la même manière pour arriver à la racine f. On regardera donc les tt racines qui composent la fonction X', comme les racines d'une équation du
degré ^r , et on les substituera pour op', x"y ocf^^ etc. x^^* dans Fexpression générale de la fonction i ; on aura ainsi
<,= r + or"* + ct^r"* + a^r"* + etc. + a*^'/^ ,
où il &udra prendre pour tt une racine de l'équation J^^-— i =o. De là on aura , à cause de a' = i ^
fl. = <: = ç: 4- «ç; + «.ç: + etc. + «— ç<r'^-
( J'écris ici ^1 , 0| , Ç. pour distinguer ces quantités de celles que nous avons désignées plus haut par t, 6, Ç). G)mme les quantités ^t 9 Ci > ^' 9 ^^c* ^Ql^ ^n général des fonctions de y, o/^^ ^'^, etc. , qui ne varient pas par les permutations de oé en a!\ a!' en xf^^ etc.,
JT^^ en a:' (n* i6 , Note précédente ) , elles seront ici des fonctions de r qui ne varieront pas , en y changeant r en r^ , puisque par ce
changement, les racines r^ r y r ^ etc. r deviennent respec-
tivement r , r , r , etc. r.
Or il n'est pas difficile de prouver , par un procédé semblable à celui du n*" 8 , que toute fonction rationnelle de r, qui aura La
propriété d'être invariable par le changement de r en r^ , sera nécessairement de la Forme
A + BX' + CX" + DX^" + etc. + HX^,
en conservant les expressions de X', X", X'", etc. du n* 1 1 .
Car d abord toute fonction rationnelle de r peut se réduire à la forme (n^ 7),
Br + Cr^ + Dr^* + E/''' + etc. + Nr^"^';
et pour que cette fonction demeure la même , en y changeant r
en r^ j il font que les coefficiens des termes qui renferment
r^ y r^ j r^ 9 etc. soient les mêmes que celui de r; que les coeffi-
ciens des termes qui renferment r , r , r , etc. soient
les mêmes que celui de r* ; que ceux des termes r^ ^ r^ ,
r* , etc. soient les mêmes que celui de r^ , et ainsi de suite ; ce qui réduit la fonction à la forme que nous venons de lui assigner.
En eflet on voit que chacune des quantités X', X'', X'", etc. X^'^
demeure la même, en y substituant r à la place de r; car le dernier terme r^ ' de X' devient r^ = r* s= r, le dernier
r* de X" devient r^ = r^, et ainsi des autres.
14. Donc chacune des quantités ^^ ^', 0", etc. deviendra, après le développement, de la forme
A + BX^ + CX" + DX'" + etc., et aura par conséquent une valeur connue. Ainsi la fonction 8
sera connue, et Ton aura les valeur» de ô', 6", ô'", elc, en y substituant, au Heu de a, les t — i racines a, jS, >, etc., qui, avec
l'unité , résolvent IVquation y' — 1=0. On aura ensuite pour r une formale semblable à celle du n* 8, en y mettant m à la place
de (Lt— I, et X'j somme des racines, au Keu du terme \/^, On aura ainsi
ir ir T
y + y/y + \/v + y/y- + etc.
i5. On aurait aussi, si on le désirait, les expressions des autres racines r^ , r" , j^ , etc., qui composent la fonction X' (n* 11),
ar ir
en multipliant dans Pexpression de r les radicaux Vo, V'6'^ etc. , d'abord par a^^", fi^^\ etc., et ensuite par a*~^, 0^~^, etc., ctT'^, lar^^, etc.
On pourrait même , sans faire un nouveau calcul , avoir ^le-
ment les racines r^, r , etc., qui composent la fonction X'', par la seule considération que X' devient X'', X" devient Tl'^j etc., en y changeant r en /^; de sorte qu'il suffira de changer dans l'expression générale de 6, X' en X", X'' en X% etc. , X^'^ en X'. Par la même raison, comme X' devient X"', X"^ devient X'^, etc. y
par la substitution de r^ à la place de r,* on pourra déduire des expressions des racines qui composent la fonction X', celles des racines qui composent la fonction X% en changeant simplement dans l'expression générale de ff, X' en X'", X" en X*% etc.,
X^'""^ en X', X^'> en X", et ainsi de suite.
16. Si le nombre tt n'est pas premier, on pourra, en le décomposant en ses facteurs , décomposer encore l'opération présente en d'autres plus simples.
Ainsi si TT =2 v'^rr^f on pourra ne prendre poor a qu'une racine
de l'équation jr^ — iss^o, en sorte que et = i, et la fonction t^ (n* 1 1) deviendra •
a98 NOTE XIV.
«. = X; + eiX: + ««X: + etc. + «•'~'XÎ''^ en supposant
X: = r + r«''' + r-"' + ^•'" + etc. + r'*""\ X = r«'' + Z''^"^' + ;^^"'-^^' + etc. H- ^«^'-''*'^
