CHAPITRE PREMIER

Méthode pour trouver, dans une équation numérique queUconque j la valeur entière la plus approchée de chacune de ses racines réelles.

I. Théorème I. oi Ton a une équation quelconque , et que l'on connaisse deux nombres tels qu'étant substitués successivement i la place de l'inconnue de cette équation , ils donnent des résultats de signes contraires , l'équation aura nécessairement au moins une racine réelle dont la valeur sera entre ces deux nombres.

Ce théorème est connu depuis long-temps^ et l'on a coutume de le démontrer par la théorie des lignes courbes ; mais on peut ausn le démontrer directement par la théorie des équations ^ en cette sorte* Soit X Pinconnue de l'équation^ et «, ^^y^ ^\^.^ ses racines, l'équation se réduira , comme l'on sait , à cette forme

a ^S lia EÉ^Lip^QH

Or, soient p et q ieê nombres qui, -si^tUttés par x, donneront des résultats de signes contraires, il faudra donc que ces deux quantités

{p ^ a) (p -^ fi) (p ^ yy (ç — «) (7 — fi) (9 — y)

soient de signes différens ; par conséquent , il faudra qu'il y ait au moins deux facteurs correspondans, comme ^-— a et q^^a^ qui soient de signes contraires : donc il y aura au moins une des racines de requal||on , coonne ^, qui sera entre les qombres p etq^ c'est«>idire ' plus petite que le plus grand de ces deux nombres , et plus grande que le plus petit d'entre eux ; donc cette racine sera nécessairement réelle.

2. Corollaire i« Donc si les nombres p et q ne. diSBèrent l'un de l'autre que de l'unité , ou d'une quaqtité moindre que l'unité , le plus petit de ces nombres, s'il est entier, ou le nombre entier qui sera immédiatement moindre que le plus petit de ces deux nombres , s'il n'est pas entier, sera la valeur entière la plus approchée d'une des racines de l'équation. Sjî la différence entrç petqest plus grande que l'unité, alors nommant n, n'^i^ /t-f-^? ^^c, les nombres entiers qui tombent entre ^ et ^ , il est clair que , si l'on substitue successivement k k plaof^ de Vi^çûnaue les non^)re3 PjUy ^"f*' > '^^'^^ ^^- ?> OR ^rqy^yera néçessairei^ç^t deux subsUtutiom cçoisijçc^tive^ qui dpnneront des résultats de signes différens ) dqpf( j puisque les nombres qui donneront ces deux résultats ne diffèrent entre eux que de Funité, on trouvera , comme ci-dessus, la valeur entière la plu^ ap*prochée d'une 4Çft ra^iflÇs 4e l'^c^ua.tiqp..

3^ Corollaire a. Toiite équation dont le dernier terme e^t négatif, 6XE^ suj^pp^f^t J^Q p;;çmier positif^ a necessairem^t une racolé, réeQe pq9JHfy,e.,.flp9H 01^ p,9^rIi? trouver la. vajeur entière, la çlus approchée , en substituant a la plajfl^ çle l'inconnue Içs nombres 9, i ,^ ^, 3j, ej^i, jusq^^à çfi qwft i;ofi. rpi^conjtre; deijix sul^tit^tions qui, donnent ^ps résiatat^ <jle ^ig^l^ ÇW^r^^^?. ,

^^% Sft «Ï^BB^^W^*, l9, Ç^ffîier t^rme a?*^ el^ le denier — H, (H estant

Htt nW^e PP?f^Ov ;?», ^W^^ ??^ %T*^, ^"^^ ^P r^ultat né^f —H. et en faisant x= 00. le iesùltat positif oû*; donc on aura ici

p SI o et 7 = CD ; donc les nombres entiers mtermédiaires seront tous

les nombres naturels F^-a, 3^ ete.*, tlojàc)-etc. (£oroU. préc.)

PES ÉQÙATIOIÏS HUMÉRIQUES. 3

De là on Voit, i*. que toute équation d'an degré iiripâir , dont le dernier terme est n^tif, a néôessairement une raôîné l'éeile

positive.

a*. Que toute ëquatk>n d'un degré impair , doiiit le dernier terme est pbntif, a néeésdairement une racine réelte négative; oàr, en clian^ géant x eu — â^, le premâôr terme de Féquation deviendra négatif : donc y changeant tous les signes pour rendre de nouveau le premier terme positif, le deriiiér devieiidlra négatif: donb l'équation aura alors une racine réelle positive; par conséquent l'équation primitive aura mie racine réelle négative.

3*. Que toute équation d'un degré pair , dont le dernier terme est négiatif , a nécessairement deux racines réelles , l'une positive et ï^atitre négative; car, premièrement,* elle aura une racine réelle positive ; ensuite, comme en changeant or en —or, le premier terme demeure positif, la transformée aura aussi une racine réelle positive : donc l'équation primitive en aura une réelle et négative.

4^ HenutrtjfU^ Gomtee on peut toujours chiîngieir tes racines négatives d'une équation quelconque en pontives, en chaiigeant ^ulèmént le signe de l'inconnue , nous ne considèrerond dans la suite , pour plus de simplicité , que les racines positives ; ainsi , quand il s'agira d'cfxaminer les racines d'une équation donnée, cm considérera d'abord les racines positives de cette équation , ensuite on y changera les signes de tous les teimes où llnconnue se trouvera élevée k une pais^ sance impaire , et On coniûdèrera de niéme les radnes positives dé cette nouvelle équation; ces racines, prises en mmM, seront lés racines négatives de la proposée.

5. Théorème II. Si dans une équation quelcontjue, qui a une où plusieurs racines réelles et inégales , on substitue successivement à là place de l'inconnue deux nombres, dont Fun soit plus grand et dont l'autre soit plus petit qvie l'une de ces racines, et qui difiSrent en même temps l'un dé Fautre d'une (Juantité moindre que la différence entre cette racine et chacune des autres racânes réeUes de l'équation, ces deux substitutions donneront nécessairement dèfnx résultats» de signes contraire^.

£n effet, soit a nue dés racines téellés et inégalée de l'équation , et jS, >, J^, etc. , les auti^ racines quélconqnei; soit de pltts f la' plus petite des différences entre Ift radne et et chacune des auUres ra<iined

réelles de l'ëquation , il est clair qu'en prenant p > « 9 9 < ^ 9 ^^ p^^q ^f yles quantités p^^a et q — A seront de signes contraires, et que les quantités p — /3 , P^^y> ^tc. ^ seront chacune de même signe que sa correspondante y — /S, y — y, etc., car , si p -^ fi et q — jg étaient de signes contraires , il faudrait que /3 fût aussi compris entre p et q^ee qui ne se peut. Donc les deux produits

(p-a)(p^ fi)(p^y)

(q — £ft) (y — fi) (q — >),....

c'est-i-dire , les résultats des substitutions de ;? et ^ i la place de linconnue a: (n*" i) seront nécessairement de signes contraires.

6. Corollaire i. Donc, si dans une équation quelconque on substitue successivement à la place de l'inconnue les nombres en progressi<»i arithmétique

o , A, 2Ûk y 3A, 4^, etc.,.. ••.••••• (A)

les résultats correspondans formeront une suite , dans laquelle il j aura autant de variations de signes que l'équation pn^osée aura de radnes réelles positives et inégales , mais dont les différences ne seront pas moindres que la différence A de la progression. De sorte que si l'on prend A égale ou moindre que la plus petite des différences entre les différentes racines positives et inhales de l'équation, la suite dont il s'agit aura nécessairement autant de variations de signes que l'équation contiendra de racines réelles positives et inégales.

Donc, si la différence A est en même temps égale ou moindre que l'unité, on trouvera aussi, par ce moyen, la valeur entière approchée de chacune des racines réelles positives et inégales de l'équation (n* 3).^

Si l'équation ne peut avoir qu'une seule racine réelle et positive , ou si elle en a plusieurs , mais dont les différences ne soient pas moindres que l'unité, il est clair qu'on pourra fidre As=s i, c'est-à-dire qu'on pourra prendre les nombres naturels o, 1,2, 5, etc. , pour les substituer à la place de l'inconnue ; mais , s'il y a dans l'équation des racines inégales dont les différences soient moindres que l'unité , alors il Êiudra prendre A moindre que l'unité , et telle qu'elle soit égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines dont il s'agit : ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur qu'on doit donner

DES ÉQUATIONS NUlfÉRIQUES. S

à A, en sorte qu'oa soit assuré qu'elle ne surpasse pas la plus petite des différences entre les racines positives et inhales de l'équation proposée : c'est l'objet du problème suivant.

7. Corollaire a. Toute équation qui a un seul cbangement d« signey a nécessairement uneaeule racine réelle positive.

Il est d'abord clair que l'équation aura nécessairement une racine réelle positive, à cause que son dernier terme sera de signe différent du premier (n* 3). Or je vais démontrer qu'elle ne peut en avoir qu'une.

Soit (en supposant le premier terme positif, comme k l'ordinaire) X la somme de tous les tennes positifs de l'équation , et Y la somme de tous les négatif , en sorte que l'équation soit X •— Y s= o ; et puisqu'il n'y a, par l'hypothèse, qu'un seul changement de signe, il est clair que les puissances de l'inconnue x du polynôme X seront toujours plus hautes que celles du polynôme Y; de sorte que si a:' e3t la plus petite puissance de x dans le polynôme X, et qu'on divise les deux polynômes

X et Y par af^ la quantité ^ ne contiendra que des puissances posi-

tives de a:, et la quantité -^ ne contiendra que des puissances néga-

tives de a:; d'où il suit que x croissant , la valeur de -j devra croître

aussi, et x diminuant, -; diminuera aussi, à moins que le polynôme

X ne contienne que le seul terme Af^ àûquer cas ^^^sra toujours une

quai\^té constante ; au contraire , x croissant, la valeur de -; dimi-

-i "sr I — t

nuera nécessairement , et a: diojiinuant , -p ira en augmentant. Soit a la racine réelle et positive de l'équation , on aura donc , lorsque x:=:a , X=Y; donc aussi —=: — : donc en substituant , au lieu de Xy des

nombres quelconques pluç grands que a , on aura toujours z; ^ ""> ^ et

par conséquent X — Y égal à un nombre positif; et en substituant , au

' ' - X Y lieu de x, des nombres moindres que â,-6h tiura toujbnrs z? < r? î ^^

par conséquent X — - Y égal à un nombre négatif : donc il sera impos^

6 • teE LA HÉSOtÙTfîOW

siHIè qm Féquatioâ ait de$ râtinte^ rêélled et poàîtivës pliis grandes* otr pfiiai jiétites que d:

Si Tëquation a plusieurs chatogi^etis de si^e, elle peut! âVôir aussi pkmëufS racines réelles? positives; mais leur nombre ne peuftÎMaâls surpasser celui des changeiAens on variations désigne:; cffi^kj ce: théorème qu'on appellQ la règle de Deseartes. Voyez la note VIII. ;

8. Problèmes Une équation quelconque étant donnée , troutec une autre équation dont le» sacines soient les différenoe^ »itareles:iiacines de Uéquation donnée.

. $oiiti4o?inée l'équation

en siait que jr peut étte indifféremm^it ^al à une quelconque de ses rtfeiues: soit â/une autre racine quelconque de la même éqiiatioii , en sorte que l'on ait aiussi

a/- — Aa/--:» + Bj:r'"-* — Gr'"^» 4-etc. = o,

et soit u la différence entre lea deux racines x et %% de manière que Ton ait i/=:a?-|-ii; substituant cette valeur dé o^ dans la^^detaièt^ équation, et ordonnant les termes par rapport à u, on aura une équation en u du même degré m , laquelle , en commençant par les

dernier^ termes • sera de cette forme .