X -h Yu.H- Za* H- Yw» H- etc. 4- aP" = o

les, coefilcieiis X, Y, Z , etc. , étant des fonctions de x telles que

X =5 jc- — Aa--' H- Ba-— — Cx—» 4- etc. ,

Y = ma*-^ — (m — i) Ajc— 4- (pi — a)Ba— > — etc. ,

Z = !*^Lnl>:r»-»-.^'"~^^^""''^Aj:^4- etc.,

c'est-à-<^re^ suivant la notation du calcul différentiel,

;y=l-^ Z—^*^ V— ^ etc

ît.' ». ' '

Donb, puisque par l'équation donnée (B) on a Xso, Téquation pré-^

DES ÉQ«4TI9»« SOM^ÏUQUES. j

cédente étant divisée par Uy deviendra ceUcnci; . ) ;,. : i. ,

Y4-Zii + Vii'4-etc.4-ii!-:^» = o (C).

Cette équation , si l'on y substitue potir x une quelconque des racines de l'équation (B)^ aura ponrT&cînes les différences entre cette racine et toutes les autres tfs la même ^qùation^ (B) : donc , si l'on combine les équations (B) et (C) en éliminant Xy on aura une équation en Uy dont les racines seront les différences entre chacune, des racipes de l'équation (B) et toutes les autres racines de la même équation; ce sera l'équation cherclrée.

Mais sans exécuter cette 'élimination, qui serait souvent Sgtl labo^ rieuse, il suffira de' considérer': — - - — -- .

I "*. Que cLy ^yyy etc. , étant les racines de l'équation en a y celles de l'équation en u seront a — jS, *— >, etc., ,/8 — fl^^ j3r— j^^ etc. , >< — a , y — j8 , etc. , etc. ; d'où l'on voit que ces racines seront au nombre de m (m — i), et que de plus elles seront égales d^mx à deux y et de signes contraires ; de sorte que Téquation en u manquera nécessairement die toutes les puissances impaires de u. Donc , eof Gnsant wnwt-^i j ;^ n ^ II» --« y-^ Péquation dont il s'agit senrde cette forme

u" — flw"~" 4- iw"~*— eu*—' -f- etc. = (D).

2*. Que (a — i8)% (et— >)•, (jS — >)% etc. , étant les différeiUes valeurs de u dans l'équation (D) y le coefficient m sera égal à la somme de toutes ces valeurs y le coefficient b sera la'^sontte éè tous leurs produits deux k deux y etc.

Or, il est facile de voir qiie (« — fiY+ (a — yY if- C/S"-^ >)• + etc. = (m — i) (a* 4- ^' 4^ yr + etc.) — 2^1^ Hr «> .^-i^^rH etc.) ; mais on sait que afi'+'Cty + fiy^ etc.s= B ; et a'-|-i8*+ >'4-etc. = A*— aB: donc on aura fl = (m — i)(A* — aB) — âft,' savoir: a=z{m — i) A* — amB ; et on pourra , de la même mapbivt/itr^iAver. la valeur des autres coefficiens by c y etc.

Pour y parvenir plus facilement y supposons

A, = a 4-/8 •\' y + eic. ,

A^ = *» -f- ja» 4- y\ "^éSLf :r:

A, = et» + /3»- + y 4- etc. ;

8 DE LA &ÉS0liU1?I0K

et l'on aura ,

comme

Vùa sait ,