CA

etc;

Supposons de plus

a, = (et — fiy + (* — >)• + (/3 -- >)• + etc., a,z=z (a^ ^y + (a — >)♦ +v(i8 — >)^ + etc-, a, = (et - ^)* 4- (a - >)• H- (iS — >)• + etc., etCuj

il est facile de voir que l'on aura

«. = (m- i)A.-a(5^i21JILè-),

41. = {m - i)A, - 4(A.A, ^ A4)H-6( ^^^7^^ ), il, s=B (iw — i)A, -p- 6(A,A, -P- A,) H- i5(A,A4-^ A,)

etc.,

ou bien

f A V a, s=s otA, — a î^ ,

«, œmA, — 6A,A, + i5A,A4 — 20 ^^*,

etc. î

et , en général ,

-f 5 A.A(ayu— a) — etc.

Les quantités a^, a^^ 0$} etc., étant ainsi connues, on aura sur-le-

champ les valeurs des coeJQliciens a^ b^ Cj etc: , de Fequation (D) par les formules

bai -^ aa^ -f- 03

rf ^ ,

etc.

Ainsi on pourra dëterminer directement les coefiîciens a^ h^ c^ etc. , de l'équation (D) par ceux de l'équation donnée (B). Pour cela , on cherchera d'ahord , par les formules ci-dessus , les valeurs des quantités A|) A»y As, etc. y jusqu'à A„; ensuite, à l'aide de celles-ci, on cher* chera celles des quantités a^i a^j a^y etc., jusqu'à a., et enfin , par ces dernières, on trouvera les valeurs cherchées des coefficiens a, b, c y etc*

9. Bemarque. 11 est bon de remarquer que l'équation (D) exprime également les différences entre les racines positives et négatives de l'équation (B) ; de sorte que la même équation aura lieu aussi lorsqu'on changera ^ en — x pour avoir les racines négatives (n^ 4)*

De plus , il est clair que l'équation (D) sera toujours la même , soit qu'on augmente ou qu'on diminue toutes les racines de l'équation proposée d'une même quantité quelconque : donc, si cette équation a son second terme , on pourra le faire disparaître , et chercher ensuite l'équation en ti ; on aura ainsi la même équation qu'on aurait eue si l'on n'avait pas tait évanouir le second terme , mais l'évanouissement de ce terme rendra toujours la recherche des coefficiens a , bj Cy etc. , un peu plus &cile , parce qu'on aura A =c= o , et par conséquent aussi A, =: G ; de sorte que les formules du numéro précé* dent deviendront

A. = — aB,

A4 s= — BA, — 4D ,

10 p£ LA RÉSOLUTION

Û3 = mAfi + i5A^A4 -^ ^o^-r^?

etc. ,

ete.

ip, Corollaire i. Puisque les racines de l'ëquation (D) sont les carrés des différ^ices entre les racines de l'ëquation proposée (B) , il est clair que si cette équation (D) avait tous ses termes de même signe , auquel cas elle n'aurait aucune racine rédle positive ^ il est clair , disje y que , dans ce cas , les différences entre les racines de l'équation (B) j seraient toutes imaginaires ; de sorte que cette équation ne pourrait avoir qu'une seule racine réelle , ou bien plusieurs racines réelles et égales entre elles. Si ce dernier cas a lieu , on le reconnaîtra , et on . le résoudra par les méthodes connues (vojrez aussi plus bas le cha-*^ pitre II) j à P^ard du premier cas ^ il suit du n^ 6 qu'on pourra prendre A=si.

IX. Corollaire 2. Si l'équation (B) a une ou plusieurs couples de racines égales, il est clair que l'équation (D) aura une ou plusieurs valeurs de u égales à zéro; de sorte qu'elle sera alors divisible une ou plusieurs fois par u. Cette division faite ^ lorsqu'elle a lieu^ soit l'équation restante disposée à rebours de cette manière :

i4-at;-f-j8w*4-><u'-|-, etc.4-9'^'=o (E) ?

r étant s= 6u <^ /i; qu'on fasse t^ = -9 et ordonnant l'équation par rapport kjTy on aura

y + tfj^r' + jSx— 4-9ir"'+> etc.4-7r = o (F).

Qu'on cherche par les méthodes connues la limite des racines positives de cette équation y et soit / cette limite ; en sorte ^ue / surpasse cha-

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. n

cane des valeurs positives dejr^ donc y sera moindre que chacune des

valeurs positives de - ou de u ; et par conséquent moindre que chacune des valeurs de u% à cause de u = ii* ( problème précédent ).

Donc — > sera nécessairement moindre qu'aucune des valeiu's de

u j c'est-à«dire qu'aucune des différences entre les racines réelles et inégales de l'équation proposée (B).

Donc, I®. si ^/< I, alors on sera sûr que l'équation (B) n'aura point de racines réelles dont les différences soienlt moindres que l'unité : ainsi, dans ce cas, on pourra faire, sans scrupule, A =: i (n"* 6).

2^. Mais si )//= ou ^ I , alors il peut se faire qu'il y ait dans l'équation (B) des racines dont les différences soient moindres* que l'unité ; mais , comme la plus petite de ces difiërences sera toujours

nécessairement plus grande que —,y on pourra toujours prendre A =

ou < -^ (numéro cit^).

En général, soit k le nombre entier qui est ^al ou immédiatement plus grand que (//, et on pourra toujours prendre A = p

12. Scholie I. Quant à la manière de trouver la limite des racines d'une équation , la plus commode et la plus exacte est celle de Newton , laquelle consiste à trouver un nombre dont les racines de l'équation proposée étant diminuées , l'équation résultante n'ait aucune variation de signe ; car alors cette équation ne pourra avoir que des racines négatives ; par conséquent le nombre dont les racines de la proposée auront été diminuées, surpassera nécessairement la plus grande de ces racines.

Ainsi, pour chercher la limite / des racines de l'équation

(F) r4-«r'"'4-/3r^*4-9:r"'+etc. = o,

on y mettra j" -H /au lieu dej^, et ordonnant l'équation résultante par rapport à j^ elle deviendra

P+Qr4-Rr*+Sr' + etc.+y = o,

dans laquelle

P = /' + otl'-' -f- /3f-» + yl'-^ 4- etc. + TT ,

Q = r/'-' + (r — i) a/^* 4- (r— a) j8/'-' + etc. ;

etc.,

et il n'y aura qu'à chercher une valeur de / qui , étant substituée dans les quantités P, Q, R^ etc., les rende toutes positives; en commençant par la dernière de ces quantités, laquelle n'aura que deux termes, et remontant successivement aux quantités précédentes, on déterminera facilement le plus petit nombre entier qui pourra être pris pour /, et qui sera la limiter la plus proche cherchée.

Si l'on voulait éviter tout tâtonnement , il n'y aurait qu'à prendre pour / le plus grand coefficient des termes négatifs de l'équation (F) , augmenté d'une unité ; car il est facile de prouver qu'en donnant à / cette valeur, les quantités P> Q^ R, etc., seront toujours positives.

Cette manière d'avoir la limite des racines d'une équation quelconque est due, je crois, à Maclaurin; mais en voici une autre qui donnera le plus souvent des limites plus approchées.

Soit — fiy^ — y^^^" — ^""^ — €lc. , les termes négati& de l'équation (F), on prendra pour / la somme des deux plus grandes

tu n p

des quantités v//a , ^v , yTT , etc. , ou un nombre quelconque plus grand que cette sonune. Cette proposition peut se démontrer de la même manière que la précédente ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas. Au reste , il faut observer que les limites trouvées de l'une ou de l'autre de ces deux manières seront rarement les plus prochaines limites. Pour en avoir de plus petites, on essayera successivement pour l des nombres moindres , et l'on prendra le plus petit de ceux qui satisferont aux conditions que P, Q, R, etc., soient des nombres positifs.

i3. Scholie 2. Ayant donc trouvé la limite / de l'équation (F), et pris k égal ou immédiatement plus grand que \/ly on fera

D£S ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i3

As? (n* II) ; et on substituera successivement dans l'équation pro-

13 3 posée, à la place de l'inconnue, les nombres ^y %y %i Tj ^tc. j les ré-

soltats venant de ces substitutions, formeront une série dans laquelle il y aura autant de variations de signe que l'équation proposée contiendra de racines réelles positives et inégales, et, de plus, chacune de ces racines se trouvera entre les deux nombres qui auront donné des résultats consécutiÊ de signes différons; de sorte que si les nombres

T et 7" donnent des résultats de signe contraire, il y aura une racine entre t et — r— j par conséquent , le nombre entier qui appro-

dbera le plus de t sera la valeur entière approchée de cette racine

Ainsi Ton reconnaîtra par ce moyen , non-^seulement le nombre des racines positives et inégales de l'équation proposée , mais encore la valeur entière approchée de chacune de ces racines.

Au reste, il est clair que si l'on trouvait un ou plusieurs résultats ^aux à zéro, les nombres qui auraient donné ces résultats seraient des racines exactes de l'équation proposée.

Pour &ciliter et abr^er ce calcul , on fera encore les remarques suivantes :

I*. Si l'on cherche par les méthodes des numéros précédens la limite des racines positives de l'équation proposée, il est clair qu'il sera inutile d'y substituer à la place de l'inconnue des nombres plus grands que cette limite* En effet, il est fecile de voir qu'en substituant des nombres plus grands que cette limite , on aura toujours nécessairement des résultats positifs. Ainsi , nommant A la limite dont il s'agit , le nombre des substitutions à faire sera égal à AA:, et par conséquent toujours limité.

En général, sans chercher la limite A, il suffira de pousser les substitutions jusqu'à ce que le premier terme de l'équation ou la somme des premiers termes , s'il y en a plusieurs consécutifs avec le même âgne -f- , soit égale ou plus grande que la somme de tous les termes négatifs ; car il est &cile de prouver , par la méthode du n^ 7 , qu'en donnant à l'inconnue des valeurs plus grandes, on aura toujours à IHnfini des résultats positifs.

'i4 DE LA. RESOLUTION

9°- Aa Uea de substituer à -la place de Pinoonnue x Yen fitiotioDs

X, T, letc.^ on y mettra d'abord j à Ja place de âp, ou, ce qui r^ent

au même, on multipliera le coefficient du second terme par A:, celui du troisième terme par k% et ainsi des autre&j et on substituera ensuite à la place de x les nombres naturels o, i, a, 3, etc. jusqu'à la limite de cette équation, ou bien jusqu'à ce que le premier terme ou la somme des premiers, quaud il y en a plu^eurs consécutifs avec le même signe, soit égale ou plus grande que la somme des n^atifs ; par ce moyen , les résultats seront tous des nombres entiers, et les racines de Téquatipn proposée se trouveront nécessairement entre les nombres consécutifs qui donneront des résultats de signes contraires , ces nombres étant divisés par A:, comme nous l'avons vu plus baut

3^. Soit m le degré de l'équation dans laqueUe il s'agit de substituer successivement les nombres naturels o, 1,2, 3, etc., je dis que, dès que l'on aura trouvé les /7i-|-i premiers résultats, c'est-à-dire ceux qui répondent à ar=:o, i , ^, etc., m, on pourra trouver tous les suivans par la seule addition.

Pour cela, il n'y aura qu'à chercher les différences des résultats trouvés, lesquelles seront au nombre de m , ensuite les différences de ces différences, lesquelles ne seront plus qu'au nombre de iti— » 1 , et ainsi de suite jusqu'à la différence m**^.

Cett^ dernière différence sera nécessairement constante, parce que l'exposant de la plus haute puissance de l'inconnue est m y ainsi on pourra continuer la suite des différences n^'^ aussi loin qu'on voudra y en répétant seulement la même différence trouvée; ensuite, par le moyen de cette suite, on pourra, par la simple addition, continuer* celle des différences iw-^i**^, et à l'aide de celle-ci, on pourra continuer de même la suite des différences m— a'*^', et ainsi de suite, jusqu'à ce que Ton arrive à la première suite, qui sera celle des résultats cherchés.

Il est bon d'observer ici que si les termes correspondans des différentes suites dont nous parlons étaient tous positifs, les termes suivans dans chaque suite seraient tous aussi positif. Or, puisque la dernière différence est toujours positive , il est clair qu'on parviendra nécessairement dans chaque suite à des termes tous positi& ; ainsi il suffira de continuer toutes ces suites jusqu'à ce que leurs termes correspondans

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i5

soient devenus tous positif , parce qu'alors on sera sûr que la série des résultats^ continuée aussi loin qu'on voudra, sera toujours positive, et que, par conséquent, elle ne contiendra plus aucune variation de signe. Pour édaircir ceci par un exemple, soit proposée l'équation

on trouvera d'abord que les résultats qui répondent à 0:= o ^ i , :i,.3^, sont 189, 137, 71, 27, d'où l'on tirera les différences premières —6a, •— 56, -— 44> ^^^ différences secondes 6^ i a, et la différence troisième 6; ainsi on formera les quatre séries suivantes :

6, etc..

64 i etc..

ia7

27, etc.j

dont la loi est que chaque terme est ^al à la somme du terme précédent de la même série , et de celui qui y est au-dessus dans la série précédente ; de sorte qu'il est très facile de continuer ces séries aussi loin qu'on voudra.

La dernière de ces quatre séries sera, comme l'on voit, celle des résultats qui viennent de la substitution des nombres naturels 0,1, a , etc. à la place de x dans l'équation proposée ; et comme les termes de la septième colonne ^ savoir : 6, 4^» 64 9 27, sont tous positifs , il s'ensuit que les termes suivans seront tous aussi positif ; de sorte que la série des résultats, continuée aussi loin qu'on voudra , n'aura plus aucune variation de signe*

i4« Remarque. On avait déjà remarqué que l'on pouvait trouver la valeur approchée de toutes les racines réelles et inégales d'une équation quelconque, en y substituant successivement à la place de l'inconnue di0érens nombres en progression arithmétique; mais cette remarque ne pouvait pas être d'une grande utilité , &ute d'avoir une méthode pour déterminer la progression que l'on doit employer dans chaque cas, en sorte que l'on soit assuré qu'elle fiisse connaître toutes les racines réelles et inhales de l'équation proposée. Pïous en sommes heureusement venus à bout à l'aide du problème du n^ 8, et nous

i6 DE LÀ RÉSOLUTION

verrons encore d«après d'autres usages de ce même problème par rapport aux racines égales et imaginaires.

Au reste, la recherche de la quantité A (n^ ii) ne serait point nécessaire si l'équation proposée n'avait que des racines réelles; mais les conditions par lesquelles on peut reconnaître d'avance la réalité de toutes les racines, lorsqu'elle a lieu dans une équation donnée, dépendent de l'équation même des différences, ou de formules équivalentes. (Voyez la note VIII.)

DES ÉQUATIONS NUMÉ&IQUES. 17

«WMMM«MMU¥MWMMMMMMMlMIWMMM«MMMMIfMM^^

CHAPifRE II.

De la manière das^oir les racines égales et les racines

imaginaires des équations.

i5. jNous n'avons considéré , dans le chapitre précédent, que les racines réelles et inégales de Véquation proposée (B) ; supposons maintenant que cette équation ait des radnes égales : dans ce cas, il finidra (n^ 1 1) que l'équation (D) soit divisible autant de fois par u qu'il y aura de combinaisons de racines égales deux ^à deux ; par conséquent il faudra qu'il y ait dans cette équation (D) autant des derniers termes qui manquent; ainsi on connaîtra par ce moyen combien de racines égales il y aura dans la proposée.

Mais on peut s'assurer d'avance si l'équation proposée a des racines égales, et même trouver ces racines indépendamment de l'équation (D). Car puisque dans le cas des racines égales, on a nécessairement 11=0 (n^ 8) , l'équation (C) du même numéro donnera pour ce cas Y =: o ; ainsi il faudra que les deux équations en x, X = o^ et Y=o, aient lieu en même temps lorsque x est ^1 à une quelconque des racines ^les de l'équation (B).

On cherchera donc, par les méthodes connues, le plus grand commun diviseur des deux polynômes X et Y.; et faisant ensuite ce divir seur égal à zéro, on aura une équation qui ne sera composée que ()é| racines égales de la proposée , mais élevées à une puissance, moindre de l'unité.

Soit R le plus grand commun diviseur.de X et de Y, et XMe quotient de X divisé par R, il est facile de voir que l'équation X's=o contiendra toutes les mêmes racines que l'équation proposée X = o , avec cette différence que les racines mùTtiples de cette équation seront simples dans l'équaticm X'=o; ainu l'équation. X'=sOi sera dans le cas des méthodes précédentes. ...

On peut encore, si l'on veut, trouver deux équations sépajr^^ ^içnt

id JDE LA RÉSOLUTION

l'uoe contienne seulement les racines égales de l'équation Xko, et dont l'autre oontieiiAe les racines inégales de la même équation. Pour cela, il n'y aura qu'à chercher de nouveau le plus grand commun diviseur des polynômes X' et Y; e( nommant ce diviseur R', on prendra le quotient de X' divisé par R', lequel étant nommé X'', on fera ces deux équations X''=o, et R'=:o.

I^^ prçniière Qoi|j4eadr$i çe^uleqaent iesi racines inhales de ï'éqçatioi^ X = o, et la second^ copt^eadra seulem^ixt les racines égales de la même équation, mais chacune une seule fois; de sorte que les deux équations X'^=o, et R'=o, n'auront que des racines inégales, et par conséquent serpnt su^ceptiUes des méthodes du chapitre précédent

i6. Connaissant ainsi le nombre des racines réelles, tant inégales qn'^ales, de l'équation proposée, si ce nombre est moindre que le degré de l'équation, on en conclura que les autres racines sont nécessairement imaginaires.

En général, pour que l'équation (B) ait toutes ses racines réelles, il fiiut que les valeurs de u soient réelles aussi ; donc il faudra que les valeurs de ii* ou de v soient toutes réelles et positives; par conséquent, l'équation (D) du n^ 8 doit avoir toutes ses racines réelles positives : dcmc il &udra, par ia règle connue, que les signes de cette équaticNCi soient alternativement positifs et négatif ; de sorte que si cette condition n'a pas lieu, ce sera une marque sûre que l'équation (B) a nécessairement des racines imaginaires.

Orj on sait que lés racines imaginaires vont toujours en nombre pair, et qu'elles peuvent se mettre deux à deux sous cette forme, «H-jS V/ — ï j a — jS^/— 1, a et fi étant des quantités réelles (*); donc on aura uzsidanfi^'-^ i , et par conséquent u = -« ^fi^ ; d'où Pan voit que l'équation (D) aura nécessairement autant de racines réelles négatives qu'il y aura de couples de racines imaginaires dans l'équation (B).

Doùc j û l'on feit w s=s — w , ce qui changera l'équation (D) en celle-ci ^

fv-^- a^\ + *H^-* 4- w— 3 + etc. = o (G),

cette équation aura nécettàirement autant de racines réelles po-

(*) Tojfc» la note IX.

DES ÉQUATIONS. «UMÉiîQUES. f^

sitiyes qu^ y aora de couples de racmes imaginaires dans l'équa^ tion (B). ' . '

17. II' suit de là que poiit a voit* là yaléi^ desf raèSpéà îMàgfaianrés de réc[uatioD (B) , il n'y a qtt'à cbériilié^ \éi racines réelles pMltiVei^ dé l'équation (G)- En éflel , Soient iv^, fV", t*/*^, été. ces racine^ , on aura

d'abord -î^^ — , ^ — , ^ — , etc. pour les valeurs de j3j ensmte, ppjir

trouver les vakurs o6rrésp<»dàntes'«^ on rabstituem ^ dan» J'équafibn (B), « -f* j3 v^-^ t , à la place dé Xy et on fera deiÉi équAtions séparëea des termes tons réels , et dé ceux qur seront multipliés païf |/-— 'i ; de cette manière, on aura deux équations éti « de cette forme i

mar

. + Par-' +Qa— + etc. = 01. ,j^.

I + par-- + qar-^ + etc, = p j* ••'• ^"^^

dans lesquelles les coefficiens P, Q, etc. p^ q, etc. seront donnés en ay bj Cj etc. et en j8.

Donc 9 si l'on donne à j3 quelqu'une des valeurs précédentes, il faudra nécessairement que ces deui équations aient lieu en même temps, et par conséquent il faudra qu'elles aient un diviseur commun. On cherchera donc leur plus grand commun diviseur; et le feisànt ^al à zéro, on aura une équation en a et /3, par laquelle /3 étant connu, on trouvera a.

Il est bon de remarquer que, si toutes les valeurs de fi tirées de l'équation (G) sont inégales entre elles, alors à chaque valeur de fi îl ne pourra répondre qu'une seule valeur de et] donc, dans ce cas, les deux équations (H) ne pourront avoir qu'une seule racine commune ; et par conséquent leur plus grand commun diviseur ne pourra être que du premier degré.

On poussera donc la division jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste où c( ne se trouve plus qu'à la première dimension , et l'on fera ensuite ce reste ^al à zéro; ce qui donnera la valeur cherchée de a.

Mais si parmi les valeurs de fi tirées de l'équation (G) , il y en a , par exemple, deux égales entre elles, alors, comme à chacune de ces valeurs égales de jS, il peut répondre des valeurs différentes de ce, il fendra qu'en mettant cette valeur double de fi dans les équations (H), elles puissent avoir lieu par rapport a l'une et l'autre des valeurs de et qui y répondent; ainsi ces deux équations auront nécessairement

deux racines communes, et par conséquent leur plus grand commuD diviseur sera du second degrë. Il faudra donc y dans ce cas , ne pousser la division que jusqu'à ce que l'on arrive à un reste où et se trouve à la seconde dimension seulement j et alors on fera ce reste égal à zéro , ce qui donnera une équation du second d^ré y par laquelle on déterminera les deux valeurs de a , lesquelles seront nécessairement toutes deux réelles.

'De même, s'il y avait trois valeurs ^ales de jS, il faudrait, pour trouver les valeurs de « qui répondraient à cette valeur triple de /3 , ne pousser la division que jusqu'à ce que l'on parvint à tm reste où la plus haute puissance de « fût la troisième ; et alors fidsant ce reste égcd à zéro , on aurait une équation en a du troisième degré , laquelle donnerait les trois valeurs réelles de a , correspondantes à la même valeur de ^ , et ainsi de suite.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. ^i

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