CHAPITRE III
Nouvelle méthode pour approcher des racines des équations
numériques.
i8. i3oiT l'équation
Aa*»+Rr^*4-Gr^*+etc,4.Ks==o (a),
et supposons qu'on ait déjà trouvé par la méthode précédente , ou autrement ^ la valeur entière approchée d'une de ses racines réelles et po* sitives; soit cette première valeur /?, en sorte que l'on ait x^ p et
^^/'"Hi) on fera xzszp^- ^ et substituant cette valeur dans
l'équation proposée , à la place de x^ on aura y après avoir multiplié toute l'équation par j^\ et ordonné les termes par rapport à jr^ une é quation de cette forme
Ay» + B>*-»4-C>--*-|-etc.-|-K' = o (*).
Or , comme {hjp.) , - > o et < i , on aura J^ > x j donc l'équation
(fi) aura nécessairement au mcnns une racine réelle plus grande que l'unité.
On cherchera donc ^ par les méthodes du chapitre T', la valeur enr tière approchée de cette racine ; et comme cette racine doit être nécessairement positive , il suflira de conâdérer^ comme poâtif (n* 4)*
Ayant trouvé la valeur entière approchée de j^^ que je nommerai q^
on fera ensuite j^ s= ^ + - , et substituant cette valeur de j^ dans l'équation {b) y on aura une troisième équation en 2 de cette forme ,
AV + B^'z— » + C'2^*+etc. + K"=o (c),
laquelle aura nécessairement^ au moins, une racine réelle plus grande
que Puoitë y dont on pourra trouver de même la valeur entière approchée.
Cette valeur approchée de z étant nommée r, on fera z:=:r^ - ;
et substituant, on aura une équation en tt, qui aura au moins une racine réelle plus grande que Funité , et ainsi de suite.
En continuant de la même manière , on approchera toujours de plus en plus de la valeur de la racine cherchée ; mais s'il arrive que qttel<* qu'un des nombres/?, q, etc., soit une racine exacte, alors on aura x^=zpj ou ^ = 7, etc. , et l'opération sera terminée ; ainsi , dans ce cas , on trouvera pour x une valeur commensurable.
Dans tous les autres cas , la valeur de la racine sera nécessairement incommensurable , et l'on pourra seulement en approcher aussi prés qu'on voudra.
19. Si l'équation proposée a plusieurs racines réelles positives , on pourra trouver , par les méthodes exposées dans le chapitre I*', la valeur entière approchée de chacune de ces racines* et nommant ces valeurs p , p\ p"^ etc. , on les emploiera successivement pour apptocher davantage de la vraie valeur de chaque racine , il faudra seules ment remarquer ,
1**. Que si les nombres p^ p\ ;?", etc., sont tous différens l'un de l'autre, alors les transformées (A), (c), etc., du numéro précédent, n'auront chacune qu'une seule racine réelle et plus grande que l'unité ; car si , par exemple , l'équation (3) avait deux racines réelles plus
grandes que l'unité, telles que y^ et ^', on aurait donc or = ^ -f- -i.
et ar=/? + — ; de sorte que ces deux valeurs de x auraient la même
valeur entière approchée p contre l'hypothèse : il en serait de même si l'équation (c) , ou quelqu'une des suivantes , avait deux racines réelles plus grandes que l'unité.
De là il suit que , pour trouver dans ce cas les valeurs entières approchées y, r, etc., des racines des équations (d), (c), ctd. , il suffira de substituée successivement è la place àty^ z, etc., les noinbres iiatureb positif 1,2, 3 , etc., jusqu'à ce que l'on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signes contraires (n^ 6).
:2°. Que s'il y a deux valeurs de x qui aient la même valeur entière
DES ÉQUATIONS KUMÉKIQUES. 2I
approchée p^ en eœployaDi cette valeur, l'équation {b) aura aussi deux racines plus grandes que l'unité , et si leur valeur entière approchée est la même , l'équation (c) aura encore deux racines plus grandes que l'unité , et ainsi de suite , jusqu'à ce que l'on arrive à une équation dont les deux racines , plus grandes que l'unité , aient des valeurs entières approchées différentes ; alors chacune de ces deux valeurs donnera une suite particulière d'équations qui n'auront plus qu'une seule racine réelle plus grande que l'unité.
En effet , puisqu'il y a deux valeurs différentes de x qui ont la même valeur entière approchée py ces deux valeurs seront représentées par ;?+ - ; de sorte qu'il faudra que jr ait nécessairement deux
valeurs réelles plus grandes que l'unité : et , si ces deux valeurs de y ont la même valeur approchée q , il faudra de nouveau qu'en faisant
^ s= y -|- - , z ait deux valeurs différentes plus grandes que l'unité ,
et ainsi de suite.
Mais, si les valeurs entières approchées de^ étaient différentes, alors
nommant ces valeurs ^ et ^, on ferait successivement y z=z q ^ L
et^ssy^H--; il est clair que 2, dans l'une et l'autre de ces deux
suppositions , n'aurait plus qu'une seule valeur réeUe plus grande que l'unité, autrement les valeurs de^, au lieu d'être seulement doubles seraient triples ou quadruples , etc.
Donc , quand on sera parvenu à une transformée dont les deux racines, plus grand#9 que l'unité ^ auront dea valeurs entières différentes on sera assuré que les autr^ transformée^ résultantes de chacune de ces deux valeurs , n'auront plus qu'une seule racine plus grande que l'unité. Quant à la manière de trouver les valeurs entières approchées Pj ^f etc., lorsqu'elles répondent k plus d'une racine, voyez ci-après Ghap. VI , art. nr.
On peut faire des remarques analogues sur le cas où il y aurait dans l'équation (a) trois racines, ou davantage, qui auraient la même valeur entière approchée.
2o. Nous avons supposé dans le n^ 18 que les racines cherchées étaient positives j pour trouver les n^atives, il n'y aura qu'à mettre
a4 DE LA RÉSOLUTION
-— X à la place de x dans Féquation proposée j et l'on cherchera de même les racines positives de cette dernière équation : ce seront les racines négatives de la proposée (n^ 4)*
Quant aux racines imaginaires qui sont toujours exprimées par €e*|-j8^— i, nous avons donné, dans le chapitre II, le moyen de trouver les équations dont a et jS sont les radnes; ainsi il n'y aura qu'à chercher les racines réelles de ces équations, et l'on aura la valeur de toutes les racines imaginaires de l'équation proposée.
:k\. Pour faciliter les substitutions (n^ i8) de ;'+ -, au Ken de a;,
de ^ 4- -, au lieu de j^, elc. , il est bon de remarquer que les ooeffi-
ciens de la transformée (b) peuvent se déduire immédiatement de ceux de l'équation (a) en cette sorte :
A' = AfT + B;r-' + Cff-* H- D;>»-' -f- etc.,
B' = otA;>— • 4- ipi—i) B;?— • -f- (m— a) CjiT-* -f- etc. ,
G = «ifLziO A/T- H- ('"-'M'»-») B;;*-» H- etc.,
etc.
Ou aura de même ceux de la transformée (c) par ceux de la transformée (6), en mettant dans les formules précédentes ^ à la place de /?, A", B", C", etc. à la place de A', B', C, etc. et A', B', C, etc. à k place de A, B, G, etc. , et ainsi de suite.
De là , il est évident que le premier coefficient A' ou A'', etc. ne sera
jamais nul^ à moins que le nombre p ou ç^ elc. ne soit une racine
exacte , auquel cas nous avons vu que la fraction continue se termine
à ce nombre (n^ i8). En effet, si A'sso, ou A''=:o, etc.^ on aura
jrzs: co y ou 2 = 00; donc x=zpj ou j^ss^, etc.
a a. Soient donc;;, q^r^s^t^ etc. les valeurs entières approchées des racines des équations (a), (6), (c), etc., en sorte que l'on ait
jc =:p ^l, ^ = y4-i, » = r4.i, etc., sub9tituant successivement ces valeurs dans celle de x, on aura
« + etc.
iUnsi ia valeur de x, c^eat^^dite <le la racnbf chercliée,rsçrâ ei:primée par une fraoti0D^vQpntib)ie. Or^, pn «sait ^tie^oes ^rlés^âeirfràèUoiië donnent toujours l'expression, la plus simple, et qU'ibâïie temps 'k plus eiacte qu'il est possible d'un nombre quelconque^ iratiônnél ou irrationnel.
JSujrgens psLmU, tStrc le premier qui àitremarqué cçtIBKpjrapriëté des fractions continues, et qui en ait fait usage pour trouver les fractions les plus simples, et en. même temps les pluS approchantjss. fl'une fraction quelconque donnée. ( Voyez son Traité de Automaio planeiario,)
Plusieurs h2d>iles géomètres ont ebsùîté'dilfèlopi^ê dàvdiita^e b'etlë diéorie, et en ont^iait différentes âpplicafioiis iogéhîeuses .et utiles; mais on n'avait pas encore pensé, ce me semble , à s'en servir dans la résolution des équiitions. .
tZ. Maintenant, si on réduit les fractions continues
en tractions ordinaires, on aura en faisant
J^ = sy + fi, ., r r=^ sy' + ^', ' •
eiCk , eic* ,
on aura, dis- je, cette suitte de fractions jitoÛciiH^ës'i» ^l ^ ' l i^-
lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de x, et dont la première sera plus petite que eëttevaleufj la secoi^dè seiol^ plus grande, la troisième plus petite, et ^insi de^suite^ de sorte que la valeur cherchée se trouvera tou jburs ëntt^ diçur jfrâlétibns ' côésëcÉtives quelconque^ : .Q?est ee qu'il est si^è de déduire; de la na^we, mlffie4i&\l^ fraction continuey d'où œllesnci ^pat tirém. .,: ,i ■/ ,.t ,, . î, .,. ■/ -,-
Or^ il €ft ^cile de voir que le9?Mleu^/çJi^,^i,^,^;>iiPJ^.|ic^t al^ fi\ y, e,tç;.w»t. toujours telles qp|Bi../?fltî'fH-.^.:W)l^> ^^Tnî>/3^5pi f.,
Jy — ".>i^= 1 1 etc. : d où; il s ensuit , ^ • , ,
i^^' y}w ces firactions sont deja Téduites a Teurs nÉnnares termes;
CMT si y et y!j, par ezeuifle,. avaient oa commuu divîaeur aatt^ ^pte Ifioaité, il fiiuiratfc, eo^vert» de rjquatkn fiy^'^yfi'^ss t^ ^œ ft t. «mû dÎTisilile par ce* mime dififieur.
2^. Qu'on aura
jpr-^y— ;j^> -y— 5?— |py> y
etc.
de sorte que lies fractions' jpf V} ^y ^^» n®. peuvent jamais djSEsrer de la. vraie vateuv de x <p|a d'une quantité respectivement moindre que
-*»> |r^'9 -Tpr ^i^* r ^'^ ^ ^^^ fadld de juger de la quantiitdderapi»
proximation.
En général , puisque fi' > a', }^' > /S', etc. ^ on aura
î>7?> ÏÏ^^ÏÏÇ^ ^^^"^
d'où l'on voit que l'erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la même fraction. 3*. Que chaque fraction- aj^rochera de la valeur de x, non-seule* ment plus quir ne- fis( aueune des fractions précédentes , mais aussi plus que ne pbumit ftire aucnne autre fipaction quelconque qui aurait
un moindre déinoininateur. En effet, s! la fraction ^y par exemple,
approchait plus quala fraction -^9. y étante /i! y il faudrait que Ja
^M tfM ^F ^M 0kM ^S^ 0kM %
quantité ^ se trouvât entre ces deux -7 et pidonc -7 7<j7'— ;7< -^
et>03 donc î«y— y j' < y < i, et>oj ce qui ne se peut,puisque >> y'r f^jt^ *^^' ^^ nombres entiers.
àt fi y
a4« Le&fractions^^,j^9 -7-9 etc. peuvent être appelées fiactiani
primripédBSj ptffoe qu^elles^ eonvei^ent le* plu^* qu'il est possible vers la valeur cherchée 5 mais, ijfoand lea nondbres^/;, q^ p, etc. diffèrent àk Pnnité, on peut eneere trouver d^autres fractions convergente» vers la mteie vilemr, A qu'on- àppettera,. sillon v^ut, fractions ^ai?aitd!0//i?j%
Par exemple^ si r est ^ i , <in peut, entre les fractions -7 et ^^^^
DES ÉQXJàTIOSS KUMÉHrQUES. t?
sont toutes deux moindres cpie h valoir de xp^ insérer autant de fractions secondaires qu'il y a d'unités dans r-r- 1> en mettant successivement 1, a, 3^ etc. r— 1> au lieu de r. De cette manièrei A cause de ^sar^-|-«^ «t ys=srj3!»f-a', on aura oâtte suite de fractions
7> gr4r7> W^' W+7^ ^^^- rfiT+A"
dont les deux extrêmes sotil les deux fractions principales ^ , ^ , et
dont les intermédiaires sont des fractions secondaires,- Or, si on prend la différence entre deux fractions consécutives
quelconques de celte smte , comme entre ^ ' j et inf ' T v > on troQ^
va» (^ ^j\ (ifiA- a^) ^ ^® ^^*® ^^ ^^ diflEerence sera ta)4i)ours positive, et ira en diminuant d'une fraction à Tratre; d'oè il suit que comme la dernière fraction -7 est moindre que la vraie valeur de
la fraction oontimae , les fractions dont il s'a^t seront ^toutes plus petites que cette valeur, et seront en m&ne temps ooavci^gentes vers cette même valeur.
On fera le même raisonnement par rapport k toutes les autres fractions principales ; et si on ajoute & ces fractions les deux fractions { et ^, dont la première est toujours plus petite, et dont la seconde est plus grande que toute quantité doimée , on pourra former deux séries de fractions convergentes vers la valeur cherdiée , dont Pune contiendra toutes les iractions plus petites que cette valeur, et dcmt l'autre contiendra toutes les fractions plus grandes que la jnême valeur.
Fractions plus petites.
f,etc., « (J), '
F+7' 57+7' WT7' ***"» S^+7 -''w)*
etc.
' I ' ' Fractions plus grandes.
y + /> îy+ /• 3y + il ty + il //\
7+7, ay' + 7' V+/5" ^^^'^ ïy"+T--AF>
etc.
Quant à la nature de ces fractions, il est facile de prouver, comme nous ravons fak par rapport aux fractions principales, I^ qpie chacune de ces fractions sera déjà réduite à ses moindres termes; d'où il suit que comme les numérateurs et les dénominateurs vont en augmentant, ces fractions se trouveront toujours exprimées par des termes plus grands à mesuré qu'elles s'éloigneront du commenconent de la série. 3*. Que chaque fraction de la première série approchera de la valettr de X plus qu'aucune autre fraction quelconque qui serait moindre que cette valeur, et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction ; et que , de même , chaque fraction de la seconde série approchera plus de la valeur de x que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait plus grande que cette valeur, et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction.
En effet, s'il y avait une fraction comme ~ plus petite que la Valeur
de or, et en même temps plus approchante de cette valeur que la fiac-
tion avT / > P2»r exemple^ en supposant 3j8'-|-«'>/t4', il faudrait
(k cause que la fraction p est plus grande que la valeur dont il s'agit)
que la quantité ^ se trouvât entre les deux quantités " ^^jT • ^t ^;
donc la quantité ^ — ^v t * devrait être
donc il faudrait que ft(3i8*+a^) — jLt'(3i8-|-a) fût < J? < ij.ce qui ne se peut.
Au reste, il peut arriver qu'une fraction d'une série n'approche pas^ si près qu'une autre de l'autre série, quoique conçue en termes moins simples; mais cela n'arrive jamais quand la fraction qui a le plus grand dénominateur est une fraction principale (u* aS).
DES ÉQUATIOIÏS NUMÉRIQUES. 29
VMiMIM^yif^NiMkMiA^^Ê^MI/¥i»/*M>ttMilltm/yifyvmâllM¥kM^ MN»^
