AX AX

Désignons par y' ou f (x) la dérivée de y = f (x), on a par définition

lim — = y' = /'* (#).

Si s désigne une quantité qui devient nulle quand Ax devient infiniment petit, on peut écrire

A y — [/’ ( x ) i | Ax.

Ainsi :

7 . L’ accroissement d’une fonction est égal à l' accroissement de la variable multiplié par la dérivée augmentée d’une quantité qui tend vers zéro en même temps que cet accroissement.

Si on passe à la limite dans l’égalité précédente, on a

lim A y = f' (x) lim Ax

ce que l’on écrit plus simplement :

dy = f' (x) dx ou

dy = y'dx.

L’accroissement infiniment petit dx de la variable s’appelle la différentielle de la variable, dy est la différentielle de la fonction. L’égalité précédente ne présente de sens précis que si l'on imagine qu’on a divisé les deux membres par dx, et elle sert alors à définir la dérivée de f (x) ou y 1 .

8. Il résulte du théorème énoncé S 7, que l’accroissement d’une fonction pour un accroissement positif de la variable est de même signe que la dérivée. Eu d’autres termes :

Une fonction est croissante ou décroissante suivant que sa dérivée est positive ou négative. La réciproque est évidente.

9. Maximum et minimum d'une fonction. On dit qu’une fonction est maximum pour x — a lorsque pour des valeurs voisines elle est moindre. Si pour des valeurs voisines de a, la fonction a une valeur plus grande, elle est minimum pour v = a.

Pour fixer les idées, proposons-nous de trouver les valeurs de x qui rendent y maximum. Soit x = a l’une d’elles: pour x = a — h la fonction y est croissante, donc y' est positif, pour x — a -+- h elle est décroissante, donc y' est négatif. Ainsi la fonction yf change de signe quand x passe d’une valeur plus petite que a à une valeur supérieure à a ; si donc on suppose la fonction y continue, y' ne pourra changer de signe qu’en passant par zéro. Le même raisonnement s’applique à la recherche des minimums de la fonction.

Ainsi :

Les valeurs de la variable qui font prendre à une fonction une valeur maximum ou minimum annullent la dérivée.

C’est ce qui ressort immédiatement de la représentation graphique de la fonction et de la dérivée.

10. Caractère du maximum et du minimum. Pour que la fonction atteigne un maximum, il faut qu’elle croisse puis décroisse: la dérivée est donc d’abord positive puis négative, elle a par conséquent une marche décroissante, donc la dérivée seconde est négative. De- même, la dérivée seconde est positive si la fonction passe par une valeur minimum. Réciproquement, lorsque pour une valeur a de x, qui annulle la dérivée d’une fonction, la dérivée seconde est négative, la fonction est maximum pour x = a ; si la dérivée seconde est positive, la fonc-

lion prend une valeur minimum. Si la dérivée seconde est nulle on ne peut rien conclure. (')

11. Détermination de la dérivée d’une fonction. La recherche directe de la dérivée d’une fonction quelconque serait un problème long et difficile dans la plupart des cas, mais elle est ramenée à des règles d’une application facile quand on a distingué dans la fonction les éléments dont elle se compose, et les opérations qui y sont indiquées. ,

On appelle fonctions simples, celles qui sont liées à la variable par une relation qui n’est pas susceptible de décomposition. Ce sont :

1° La fonction algébrique x; 2° les fonctions transcendantes sin x, cos x, tg x, cotg x, séc x, coséc x, arc sin x, arc cos x , etc., log x, a *. (*)

On appelle fonction composée une fonction dans laquelle entrent plusieurs fonctions simples. Exemple :

y = x 1 2 * — ÀsillÆ.

Si la variable qui entre dans une fonction dépend elle-même d’une autre fonction, la fonction se nomme une fonction de fonction. Exemple :

y = w 5 + lu,

n étant lié à x par la relation

Nous n’aurons guère à considérer que des fonctions que l’on peut mettre sous la forme y == f (x). On les nomme fonctions explicites et on appelle implicites les fonctions dont la valeur ne peut être exprimée au moyen de la variable. Nous allons donner les règles à suivre pour trouver la dérivée des fonctions explicites, et les appliquer à quelques exemples.

1 . Voir, pour plus de développements , le Traité de calcul dilTéreutiel de Duhamel.

2. Nous désignerons toujours par log. uu logarithme vulgaire et par l nu

logarithme népérien.

Nous montrerons aussi comment on trouve la dérivée d’une fonction implicite.

12. La dérivée d’une fonction de fonction est égale au produit des dérivées des diverses fonctions prises par rapport à la variable au moyen de laquelle elles sont immédiatement exprimées.

Si l’on a par exemple y = f(z), z = <p ( u ), u = (x); pour

avoir la dérivée de y par rapport à æ, on prendra la dérivée de y par rapport à z, la dérivée de z par rapport à u, et enfin la dérivée de u par rapport à x, et on fera le produit de ces dérivées, c’est ce que l’on exprime, d’après les notations adoptées, par l’équation

dy dy dz du

dx dz ' du ‘ dx

Il faut bien remarquer que dans le second membre de l’expression , il n’y a aucune réduction à faire entre les facteurs , chacun des rapports écrits étant un symbole qui marque les opérations à effectuer.

13. La dérivée d’une fonction composée est égale à la somme des dérivées de la fonction, prises successivement par rapport à chacune des variables qui y entrent.

Si l’on a y = f(u, v, w «, v , w étant des fonctions qui dépendent de x, on aura

dy dy du dy dv dy dw

dx du ' dx dv dx dw dy

Chacun des termes qui composent le second membre est un produit de deux facteurs, d’après le théorème précédént, et si

w, par exemple, ne dépend pas immédiatement de x, ^ sera

aussi un produit de dérivées successives,

14 La dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées des termes qui la composent.

dy du dv

dx dx dx

dw dx '

15. La dérivée d’un produit est égale it la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres facteurs.

Soit y = A uvw , A désignant un nombre;

dy , du . du dw

Tx = kvw dx +kuw Tx + kuv T x -

16. La dérivée d’un quotient est égale à la dérivée du numérateur , multipliée par le dénominateur, moins la dérivée du dénominateur multipliée par le numérateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.

Ainsi lorsque

du du dy ' dx w dx . dx v'

17. La dérivée d’une puissance s’obtient en multipliant la puissance par l’exposant, diminuant cet exposant d’une unité et multipliant encore par la dérivée de la fonction soumise à l’exposant.

Si y = u m , m désignant un nombre quelconque positil ou négatif entier, ou fractionnaire,

dy ,

~ = mu m dx

du dx ’

en sorte que si l’on a à prendre la dérivée de \/ on écrira

l’expression sous la forme u " et on lui appliquera la règle précédente.

En particulier si

Il = Vu =

dy 1 JL du dx

dx 2 W " dx ~ “2 j/,7

Cette expression se rencontrant souvent, il est bon d’ex-

primer la règle à suivre pour en prendre la dérivée et l’on voit que :

18. La dérivée d’un radical (carré) est égale à la dérivée de la fonction soumise au radical, divisée par le double du radical.

19. Tableau des dérivées des fonctions simples. A l’aide du tableau qui suit et des règles qui précèdent, il sera aisé de trouver la dérivée d’une fonction explicite quelconque.

mx 1

11° cosec x . .

cotg a;

a x la

sin#

— loge

12° arc sin x. .

4° log x . . . .

13” arc cos a; .

5° tx

6° sin x . . . .

eos#

14" arc tg x . .

1° cos x . . . .

sin x

COS a X

15° arc cotg# .

9" cotg x . . .

16° arc sec x. .

sin'a;

x \Zx x — 1

10° seca; . . .

Ig a;

17° arc coseca;.

COS

20. Application des règles précédentes. Proposons-nous de trouver la dérivée des fonctions suivantes :

Exemple I. Soit

y = sin m x.

Posons

u = sin a:.

d’où

Prenant la dérivée de y par rapport à u et la dérivée de u par rapport «à x , on a

d’où § 12

dy , du

-T- = >»«"•— 1 , -T = COSX,

du, dx

dÿ

= mu m — 1

cosx,-

remplaçant ?t par sa valeur

Exemple II. Soit encore

y = log sin 4 ( x * — l} 5 Posons « = sin 4 (x* — 1)' v = sin (x 1 — 1 ) 2 t v— ( x 1 — 1 )’ t — x' — 1

Nous n’aurons qu’à faire 1< tions y, u, v , w, t, il viendra

iti.r cos x.

d'où y = logn « = v' v = sin w w= t' t — x' — 1 .

produit des dérivées des fonc-

~ — loge. 4t> 3 . cos te. 'il. ’ix.

dx u e

ou en remplaçant u, v, w , t en x et réduisant

lit Inrr 4

dx '

dy .... x J — x

dX~ ’ ° g< tir ( x >.

tg (x*— 1)* '

D’après ces exemples, on voit qu’on peut se dispenser d’introduire les variables u, v, w, t et prendre la dérivée de l’expression en regardant comme une seule variable la quantité soumise à chaque signe de fonction. Ainsi, dans le dernier exemple, on a d’abord à prendre la dérivée d’un logarithme, puis il faut la multiplier par la dérivée de la quantité soumise au signe logarithme ; cette quantité étant une fonction élevée à une puissance; on a en second lieu à prendre la dérivée d’une puissance et il faut la multiplier par la dérivée de la quantité soumise à l’exposant; cette 'quantité étant un sinus, on doit en troisième lieu prendre la dérivée d’un sinus, etc C’est ce qui

dy »

est du reste exprimé dans la valeur de , seulement on écrit

immédiatement les fonctions de x, représentées par u, v, w, t.

Exemple III. Prenons pour dernier exemple :

y = a mx sin"pa;

posons pour l’explication 1 ( 1 — x)

u = v = a mz w = sin " px

d’où

et d’après les règles §§ 13 et 15.

dy du dv dw

dx dx dx dx '

mais d’après les §§ 12 et 16

du / x \ 1

Tx ~ — 1

et d’après les §§ 12 et 17

dv , dw

jx = ma m *la, — npsin n -'px cospx,

d’où

dy 1 1(1— x)

dx x* — x x ’

- vu. la. a mx s\n"px — np a mx sin n - , px cos px,

On voit encore qu’il est inutile d’introduire les quantités u,

v, w, et que l’on peut écrire immédiatement la valeur de ~

en effectuant immédiatement les calculs indiqués dans sa première expression , ce que l’on fera aisément après quelques exercices.