Dérivée Ti’unc fonction. Le rapport r- a pour chaque va

leur de h une valeur particulière. Soit menée la corde mm', on aura

^ = tg m mn ;

imaginons que h décroisse indéfiniment; k tend par hypothèse vers zéro, puisque la fonction est continue, la corde m'm a pour limite une tangente à la courbe au point m, et l’angle tn’mn devient à la limite égal à l’angle de cette tangente avec (Le. Soit a cet angle on a

lim k k

tt; — j on lim 7 = Ig a

lim h h

d’où l’on voit que

Le rapport de l’accroissement infiniment petit d’une fonction à l’accroissement infiniment petit de la variable a en général une limite finie. Ce rapport est ce que l’on nomme la dérivée de la fonction. On peut dire aussi : La dérivée d’une fonction est la limite du rapport de l’ accroissement de la fonction à celui de la variable quand celui-ci tend vers zéro.

La valeur de ce rapport est évidemment une fonction de x, et on peut aussi en considérer la dérivée, que l’on nomme la dérivée seconde de la fonction proposée. La dérivée de la dérivée seconde se nommera de même la dérivée troisième de la fonction donnée et ainsi de suite.

5. Caractère de continuité. Quand la dérivée d’une fonction reste finie dans l’intervalle de deux valeurs a, a' de la variable, la fonction est continue dans cet intervalle.

En effet, quand h tend vers zéro, le rapport ^ ne peut avoir

une limite finie que si k tend aussi vers zéro.

Observons que la dérivée d’une fonction peut devenir infinie pour une certaine valeur de la variable, sans que la fonction cesse d’être continue dans le voisinage de cette valeur, c’est ce qu’on voit sur la figure 2 ; la dérivée devient infinie dans l’intervalle BC sans que la fonction cesse d’êtfe continue. Il n’est donc point nécessaire que la dérivée reste finie pour que

la fonction soit continue , il suffit que la fonction 11e devienne pas infinie en même temps que la dérivée.

(j. Notations. Représentons par A*, un accroissement arbitraire donné à une variable x, par A 7 l’accroissement correspondant de la fonction y. O11 a identiquement

Aÿ /'(a- 1 + A3?) — f(x)