IG

D’après cela :

Une fonction entière de degré pair prendra le même signe pour des valeurs absolues de x assez grandes, l’une positive , l’autre négative.

Une fonction entière de degré impair prendra des signes contraires dans les mêmes circonstances.

En résumé :

La fonction ne peut plus changer de signe en dehors de deux limites. Ces limites ne peuvent pas être déterminées a priori d’une manière exacte; mais on peut formuler une règle à l’aide de laquelle on trouvera des nombres supérieurs à leur valeur absolue et nous la donnerons plus loin (§ 62).

Dans l’intervalle des limites la fonction peut changer de signe un certain nombre de fois. Ce nombre est lié , comme nous allons le voir au degré de la fonction; mais avant d’établir celte dépendance, observons qu’il résulte de la continuité de la fonction les propriétés qui suivent :

25. U ne fonction qui change de signe quand la variable passe d’une valeur a à une autre P , s’annulle dans l'intervalle , et si elle s’ annuité plus d’une fois, elle s’annulle un nombre impair de fois.

Et réciproquement;

Une fonction qui passe un nombre impair de fois par zéro entre deux valeurs, a, $ de la variable, prend des signes contraires pour ces deux valeurs.

De même :

26. Une fonction qui prend le même signe pour deux valeurs a. et $ de la variable, ne s’annulle pas dans l’intervalle ou s’annulle un nombre pair de fois.

Et réciproquement :

Une fonction qui s’annulle un nombre pair de fois entre deux valeurs a, p de la variable, prend le même signe pour ces deux valeurs.

27. Remarque. La différence de deux ou de plusieurs valeurs pour lesquelles la fonction s’annulle peut être zéro, et c’est à

la condition que ces valeurs seront considérées comme distinctes que les théorèmes précédents sont généraux.

C’est ainsi que les deux nombres a et ^ sont regardés comme comprenant deux valeurs OA, OB, pour lesquelles la fonction s’annulle, lors môme que la différence AB est nulle. De même les nombres a et y doivent être considérés comme renfermant trois valeurs OA, OB, OC, qui annullent la fonction même quand les différences AB, AC sont milles.

Si nous comparons la marche de la fonction à celle de sa dérivée, il est aisé de voir que les changements de signe de la fonction sont liés à ceux de la dérivée par le théorème suivant :

28. Si une fonction change n fois de signe, sa dérivée en change n — 1 fois au moins.

En effet , si une fonction change deux fois de signe , elle passe par exemple de — à 4-, puis de 4- à — , elle est croissante , puis décroissante , donc sa dérivée change de signe (§9) et par conséquent s’annulle au moins une fois (§26), ou un nombre impair de fois. Il suit de là et de la remarque précédente que :

Si la différence de deux valeurs successives de la variable qui rendent une fonction nulle, est zéro, la dérivée est nulle pour cette même valeur, puisqu’elle doit s’annuler dans l’intervalle de deux valeurs quelconques. Et généralement:

Si les intervalles entre n, valeurs de a; qui annullent la fonction, deviennent zéro, les intervalles de n — 1, valeurs quiannn-

lent la dérivée, deviennent aussi zéro. Ces derniers théorèmes recevront plus loin une forme plus simple et d’autres développements, mais ce sont des conséquences si immédiates de la propriété précédente, que nous n’avons pas cru pouvoir les omettre ici. Revenons à notre but initial qui est d’établir que :

29. Une fonction algébrique de degré m ne peut s'annuler plus de m fois.

En effet : nous venons de voir que si une fonction change deux fois de signe, sa dérivée en change au moins une fois; si elle change trois fois de signe, la dérivée en change au moins deux fois, et ainsi de suite.

Cela posé, une fonction du premier degré ne peut s’annuler qu’une fois , car si elle s’annullait deux fois , elle changerait deux fois de signe (§ 26) , la dérivée devrait s’annuler une fois (§ 27), ce qui est impossible, puisque cette dérivée est une constante.

Il suit immédiatement que :

Une fonction du second degré ne peut s’annuler trois fois, car sa dérivée, qui est du premier degré, devrait s’annuler deux fois, ce qui, nous venons de le voir, est impossible. Ce raisonnement continué conduit au théorème général que nous voulions démontrer.

D’après cela, une fonction du degré m sera représentée par une courbe qui coupera l’axe des x au plus en m points, A, B, C, D

fi Cf. 4

il est également évident qu’il n’existera pas toujours m valeur de x pour lesquelles la fonction de degré m s’annulle. On voit en effet que si l’on ajoutait à la fonction y, supposée de degré pair dans la figure, un nombre positif supérieur à sa plus grande valeur négative, la courbe qui la représente ne couperait plus l’axe Oæ; il n’existerait aucune valeur de x pour laquelle la fonction fut nulle.

Une fonction entière de x jouit encore d’une propriété remarquable, définie par le théorème suivant.

30. Si a minutie une fonction entière X m , X m est divisible par x — a.

En effet , si on effectue la division , on obtiendra un polynôme entier pour quotient et un reste numérique, en sorte qu’on aura quel que soit x.

Mais pour x = a le premier membre et le premier terme du second sont nuis, donc H = 0.

Réciproquement si la division de X,„ par x — a donne 0 pour reste, X„, sera nul pour x = a.

Cor. Soient a, b, c.. k , l, les n nombres qui annullent X„. on aura :

X», {X — fl) Xm — I

Xm — I = ( X b) Xm— J

Xm — n -f- 1 {X 1) Xm — n

et en multipliant membre à membre.

Xm = ( x — a) (x — b)... (x — A) (x — l) X„,-«

La fonction X m „ sera de degré pair ($ 24) , puisqu’elle ne peut s’annuler pour aucune valeur de la variable et son dernier terme aura même signe que le premier. Si on met en facteur le coefficient du premier terme, on voit que le second membre prendra la forme

La connaissance de cette propriété particulière aux fonctions entières, conduit au problème suivant :

31. Trouver les fadeurs du 1 er degré communs à deux fonctions entières dex, ou le diviseur commun à ces deux fonctions.

Pour trouver ce commun diviseur , on opère comme si l’on avait à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres. On divise le polynôme du plus haut degré par l’autre , jusqu’à ce que l’on obtienne un reste de degré inférieur au diviseur; on divise de la même manière le diviseur par le reste et on continue ainsi jusqu’à ce qu’on obtienne un reste nul, le dernier diviseur employé est le plus grand commun diviseur cherché.

La légitimité de ce procédé repose sur cette propriété , savoir : les facteurs du premier degré communs à deux fonctions entières, sont les mêmes que les facteurs du premier degré communs, à l’une d’elles prise comme diviseur et au reste obtenu en retranchant de l’autre prise comme dividende, le produit du diviseur par le quotient déjà obtenu.

Cette propriété pouvant s’appliquer pendant tout le cours d’une division, quel que soit le nombre des termes obtenus au quotient, il sera permis de multiplier tout dividende par un facteur numérique choisi pour faciliter les calculs en évitant les coefficients fractionnaires.

lit.

Fonctions algébriques fractionnaires.

32. L’étude de ces fonctions se ramène immédiatement à celle des fonctions entières. Elles sont en effet de la forme

^ AJ X m — f— . . . . — (— A’m — 1 X -f- A’m

ce qu’on peut écrire (§ 30) comme il suit :

Il A 1 (a; — a!) {x—b') (x — /')9 ( x ) ’

ç (x) et (x) étant des fonctions qui ne changent pas de signe avec x , et les facteurs du premier degré communs aux deux termes étant supprimés. On voit alors que la fonction y sera nulle pour les valeurs a, b , c.... I et infinie pour les valeurs b', c'... I' ; elle changera de signe toutes les fois que x pas-

sera par l’une de ces valeurs , en sorte qu’elle ne sera continue que pour les valeurs de x comprises entre deux valeurs successives qui la rendent infinie; d’ailleurs elle aura toujours une valeur réelle et une seule. Supposons, pour fixer les idées, que le numérateur renferme 4 facteurs du premier degré et le dénominateur 4, et que l’on ait a > a' > b' > b > d > c > d'. Si A et A' sont en outre de même signe et si la différence m — m' est positive on aura la figure suivante :

33. Valeur de la fonction quand la variable devient infinie. Quant à la valeur de la fonction pour de grandes valeurs de la variable, elle dépend de la différence m — m! des degrés du numérateur et du dénominateur et, pour x — ± x> , si m — m' > 0 , la fonction sera infinie ,

m — m' = 0, id. prendra la valeur

m — m.' <0, id. sera nulle.

Pour le reconnaître il suffit de diviser haut et bas par x m dans la première expression de y et de faire croître x indéfiniment.

On voit en même temps que le signe de y est celui de ~ l x m ~ n ' ,

en sorte que si la différence m — m' est paire, y sera de même signe pour de grandes valeurs de x positives ou négatives, e! pren-

dra des signes contraires dans les mêmes circonstances si la différence m — m! est impaire.

Fondions irrationnelles.