SI

Soient a', p 1 , y'.... ces racines; imaginons qu’en faisant varier les divers paramètres qui entrent dans 9 (x), l’intervalle p — a diminue jusqu’à zéro , que ç (x) devienne f (x) et a égal à a; il y a entre a et 3 une racine a' de la dérivée , quelque petite que soit la différence p — a et par conséquent à la limite quand P = a = a, a' devient aussi égal à a. On dit alors que l’équation a deux racines égales et l’on voit que :

Si n est racine double d’une équation f (x) = 0 , on a en même temps

On verrait de la môme manière que si les différences p — a, y — P tendent vers zéro, P' — a' tend aussi vers zéro, et tandis que a, P, y deviennent égaux à a, o! et P' deviennent aussi égaux à a. On dit alors que l’équation f (x) — 0 a une racine triple ou trois racines égales et l’on voit que :

Si a est racine triple d’une équation, f (x) = 0 , on a en même temps

Généralement :

Si n est n fois racine d’une équation f (x) = 0 , on a : f(a) = 0, f(«) = 0, f» = 0,.... /•"-'(«) = 0

48 . Réciproquement: si un nombre a annule une fonction et ses n — \ premières dérivées, l’équation a n racines égales.

Dans le cas où le premier membre de l’équation est une fonction quelconque, cette réciproque constitue simplement une définition ou un caractère algébrique de la multiplicité de la racine qui satisfait à ces diverses conditions; mais si le premier membre de l’équation est une fonction algébrique de degré m, on peut aisément démontrer que, s’il y à n racines égales à a, il y en a au plus m — n autres, c’est-à-dire que

(x — a ) est facteur dans le premier membre.

En effet , nous avons vu (§ 30 ) qu’une fonction entière de x peut se mettre sous la forme :

f (x) = (a: — fl) (x (x — k) (.r — /) 9 (x).

a, b, c.... I étant les nombres qui rendent/' (x) nul. Soit pour abréger,

Prenons la dérivée, on aura identiquement f' (x) = f, (x) + (.t — a) f,' ( x )

mais pour x = a le premier membre est nul par hypothèse, donc le second doit l’être, ce qui donne

donc l’un des facteurs du premier degré qui entrent dans /, (x) doit être nul pour x — a, soit a — b = 0, ou b — a. On voit que l’équation proposée aura deux racines égales, on aura alors :

prenant deux fois la dérivée, il vient:

Faisons x = a, par hypothèse f' (a) = 0, donc

donc l’un des facteurs du premier degré qui entrent dans f, (a) doit être nul pour x = a, soit a — c = 0, ou c — a; on voit, que l’équation proposée aura trois racines égales, on aura alors

Continuant ainsi , on voit que si

f (x) = (x — fl)" f„ (x). cqfd.

Cor. D’après cela, l’équation f (x) = 0, aura h — 1 racines égales, donc

f' (x) = (x fl)" -1 (p (x).

49. Comment on reconnaît qu’une équation algébrique a des racines égales.

Nous venons de voir que si l’équation f (a>) — 0 a n racines égales à a, f (x) an — 1 racines égales à a, de même si la proposée a p racines égales à b, la dérivée en aura p — 4 égales à b , et ainsi de suite , donc les deux polynômes f {x) et f (x) ont un commun diviseur qui est le produit des facteurs du premier degré qui entrent plusieurs fois dans f (x) et pris une fois de moins. On reconnaîtra donc si une équation a des racines égales, en cherchant s’il y a un commun diviseur entre le premier membre et sa dérivée (§ 31).

50. Comment on ramène une équation qui a des racines égales à une autre dont toutes les racines sont différentes.

Soit

l’équation proposée; D le diviseur commun entre X et sa

dérivée X': il suit immédiatement de la composition du poly- •

nome D que le quotient g- est le produit des facteurs simples qui entrent dans X , donc l’équation

a pour racines toutes les racines de la proposée et n’a plus de racines égales. La réduction que l’on vient d’opérer, suffit pour assurer la détermination des racines de l’équation X = 0 , comme nous le verrons plus loin , mais comme en général il est utile d’abaisser le degré d’une équation pour en découvrir plus aisément les racines , nous allons montrer :

51. Comment on peut obtenir isolément des équations qui fassent connaître les racines, de chaque degré de multiplicité, d’une équation qtei a des racines égales.

Nous venons de dire que D renferme les facteurs multiples qui se trouvent dans X et à un degré moindre d’une unité, en sorte que si l’équation proposée n’avait pas de racines dont le degré de multiplicité fût supérieur à 2, l’équation D = 0 n’aurait que des racines simples, racines doubles de X = 0, et le

quotient ^ donnerait les racines simples de la proposée.

, Si l’équation D = 0 a des racines égales , on le reconnaîtra en opérant sur le polynôme D comme on l’a fait sur X. Cette manière logique de procéder conduit aisément à la solution de la question proposée ; comme elle est développée dans tous les traités d’algèbre, nous allons en indiquer une qui est moins répandue.

Désignons généralement par X* le produit des fecteurs simples qui entrent h fois dans X , on aura

formons X', et cherchons le plus grand commun diviseur D entre X et X’, divisons X et X’ par D et soit X = DQ X' = DQ,

on obtiendra le produit X* en cherchant le plus grand commun diviseur des deux polynômes

Q et Q, - A Q'

Q' désignant la dérivée du polynôme Q.

On a en effet (§ 15) , en prenant la dérivée de X