AQ' = A X' X X ... X ... X +...+ A X X ... X'.. ..+ A X X .. X .. X

12 3 h n 12 An 1 2 A n

Les deux seuls termes de Q, et de kQ' qui ne renferment pas Xk sont ceux qui renferment X'; et comme, dans la différence

Qi — h Q', ils disparaissent, X* se trouve facteur commun à tous les termes de la différence, et il est le seul : donc on aura le premier membre de l’équation

en cherchant le plus grand commun diviseur de Q et de Q,-h Q\

En particulier on aura une équation qui donnera les racines simples, en prenant le plus grand commun diviseur de Q et de Q, — Q', soit X,; l’équation

donnera les racines simples et l’équation

les racines multiples.

52. Une équation de degré inférieur au sixième qui n’a pas de racines commensurables , n’a pas de racines égales incommensurables, si le premier membre n’est pas le carré d’un trinôme du second degré.

En effet, les racines incommensurables sont données par des équations qui sont au moins du second degré, ainsi X, est au moins du second degré, donc si X n’est pas le carré de X t ori a au moins

et comme X, est aussi du second degré, sans quoi l’équation aurait des racines commensurables, on voit que X est au moins du sixième degré.

Ainsi, il n’v a pas lieu de chercher si une équation de degré inférieur au sixième a des racines égales incommensurables.

Des racines imaginaires.

53. Nous avons considéré jusqu’à présent les nombres qui rendent nulle une fonction quelconque de x; mais certains symboles soumis à des règles conventionnelles , peuvent aussi rendre nulles certaines fonctions de x, on les nomme les racines imaginaires de l’équation obtenue en égalant celte fonction à zéro.

Les symboles dont il est ici question sont de la forme a + b |/HT

a et b étant des nombres; ces sortes de racines n’apparaissent pas dans la représentation géométrique du premier membre de l’équation, et comme elles ne représentent aucune grandeur, nous n’avons pas à nous en occuper. Ces expressions sont soumises aux règles du calcul des quantités que l’on nomme, par opposition, réelles, en convenant que le produit de \/ — 1 par j/ — 1 est égal à 1.

C’est ainsi que l’équation

qui n’a aucune racine réelle est satisfaite par x = — 3 ± 2 l/=T

De même l’équation

8in M^ + ^ = °

est vérifiée pour

On ne peut rien dire de général sur les racines imaginaires d’une équation transcendante, mais si l’équation est algébrique, on démontre la proposition suivante :

54. Toute équation de degré m, a m racines réelles on imaginaires.

En d’autres termes, si l’équation a n racines réelles, elle a m — » racines imaginaires. Nous nous bornerons à faire voir que :

55. Si une équation algébrique à coefficients réels a une racine de la forme a + b V' — 1, elle a aussi pour racine a — b |/ — 1.

Pour cela nous allons montrer que le premier membre est divisible par le produit (x — a — b |/ — i) (x — a-hbl / — 1) ou par (x — a)' 4- b\ En effet, soit f (x) le premier membre de l’équation, effectuons la division indiquée, on aura

M et N étant des nombres; mais si on fait x = a -+- b |/ — 1

le premier membre est nul par hypothèse , le second est donc nul aussi , c’est-à-dire que l’on a

Ma -f N H- Mb t/=T = 0 ou

Mb = 0 Ma -f- N = 0 ce qui donne, puisque b n’est pas nul,

donc la division se fait exactement, c.q.f.d.

Cor. Le premier membre d’une équation algébrique qui n’a que des racines imaginaires , est le produit de facteurs réels du second degré de la forme (x — a) *+ b \

ni.

Tranuformalioni utiles dans la recherche des racines.

56. Les transformations dont nous voulons parler, ont pour but de ramener la recherche des racines d’une équation à celle des racines d’une autre équation , dont les racines sont plus faciles à découvrir, soit que sa forme se prête mieux au calcul, soit qu’on puisse lui appliquer des méthodes plus simples. Nous allons donner des règles pour faire sur les équations algébriques quelques transformations dont on a fréquemment besoin.