Étant donnée une équation algébrique

trouver une équation dont les rucines soient égales et de signe contraire à celles de la proposée.

Soit x — a une racine de f (x) = 0, remplaçons dans l’équation x par — y; — y = a ou y = — a satisfera à cette équation, donc l’équation

sera l’équation cherchée. La substitution de — y à x changera le signe de tous les termes de degré impair, et par conséquent celui du premier terme si l’équation est de degré impair ; dans ce cas changeons le signe de tous les termes , les racines ne changeront pas , on en conclut cette règle :

Pour changer le signe de toutes les racines d'une équation , on change le signe de tous les termes qui ne sont pas de même parité que le degré de l’équation. L’cquation obtenue est ce que l’on nomme la transformée en — x.

58. Étant donnée une équation algébrique de degré m , la transformer en une autre dans laquelle le terme de degré m — 1 soit nul.

Soit l’cquation donnée plus haut

posons x = y 4- h, il viendra :

Développant par la formule du binôme et ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de y, il vient

A„ y mJ r (m A 0 A -H A,) =0.

Écrivons que le coefficient du second terme est nul , on a

et

Donc :

mA„A — A, — 0 , A

Pour obtenir l’équation transformée, on divisera le premier membre par le coefficient du premier terme, et on remplacera x par y augmenté de la m me partie du coefficient du second terme pris en signe contraire.

Pour effectuer la transformation, observons qu’en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de y le résultat de la subtitution de y -+- h à la place de x, on a :

A„A m + mA 0 A“ — ' ÿ-)-m(OT-l) A 0 A ra — 1

-t“Am— I A Am— I +A„

et on reconnaît sans peine que ce résultat peut s’écrire comme il suit :

f{y+h) = f (A) -1- vr (A) + r (A) + 133 f" (A) +....