Donc pour obtenir f (y -h h ) , on formera les dérivées

successives de f (x) et on y remplacera x par h , ainsi que dans f ( x ); on divisera f ( h ) par 1 , f ( h ) par 1.2 , f" ( h ) par 1.2.3... etc et on aura ainsi les coefficients des puissances crois-

santes de y dans la fonction transformée, ainsi que le montre le développement précédent. Souvent on laisse subsister x dans l’équation, c’est-à-dire qu’on remplace x par x -+- h.

60. Transformer une équation en une autre dont les racines soient égales à celles de la proposée, multipliées par un certain nombre K.

A cet effet posons y = Kx

l’équation deviendra , en y remplaçant x par -jv

4 tr , . ir~' , , r~- , , , y , *

A » j^T -+- A l i^3T+ A S + •••• -I- Am— I j£- + A m = o

et il suffira de multiplier par K m pour chasser tous les dénominateurs.

61. Le but ordinaire de cette transformation est de ramener l’équation proposée à une autre, dans laquelle le coefficient du premier terme soit l’unité , et dont tous les coefficients soient entiers, K est alors une indéterminée. On voit que le problème sera résolu en prenant K = A 0 , car en multipliant par K” -1 , l’équation deviendra

ym | A, ÿ»-i +■ A, 4 y"'-’ 1 + A, A,’//"*— 3 +. . .

...-f- Am-i A,*-* y + Am Ao*- 1 = 0.

Pour obtenir ce résultat, on voit qu’il suffit de multiplier les coefficients des puissances successives de la variable par les puissances successives du coefficient du premier terme, de façon que la somme des exposants de A 0 et x soit m — 1.

Limites des racines.

On appelle limite supérieure des racines d’une équation f (x) = 0 un nombre au delà duquel il ne peut plus y avoir de racines de cette équation , et par conséquent un nombre tel que pour des valeurs de x plus grandes , le premier membre ne puisse ni s’annuler ni changer de signe.

On ne peut pas donner de règle qui permette de fixer a priori ces limites pour toute équation. Mais si l’équation est algébrique, on peut former immédiatement un nombre qui satisfait aux conditions précédentes et voici comment.