Limite supérieure des racines positives

Étant donnée une équation algébrique dans laquelle le coefficient du premier terme est l’unité , pour obtenir une limite supérieure des racines positives de cette équation , on augmente d’une unité le nombre trouvé, en extrayant, du plus grand coefficient négatif, une racine dont l’indice est égal à la différence entre le degré de l’équation et l’exposant du premier terme négatif.

Soit l’équation

x* 4- 2a;' — ix * -f- y as — 26 = 0

le plus grand coefficient négatif est 26 ; la différence entre le degré de l’équation et l’exposant du premier terme négatif est 8 — 5 ou 3, donc

I + 1/26 ou 4

est une limite supérieure des racines positives.

De même dans l’équation

1 4- 60 ou 61 est une limite supérieure des racines.

Pour démontrer cette règle, on supprime dans le premier membre de l’équation à partir du 1 er terme, tous les termes positifs qui précèdent le premier terme négatif, et on remplace

les coefficients de tous les ternies restants par le plus grand coefficient négatif, en rétablissant les termes qui manquent. Ces changements ont pour résultat de réduire la partie positive au premier terme et d’augmenter la partie soustractive, on a alors, en divisant par le coefficient de x m :

x m (x — 1) — Nx"* 1 - 1 -(-N x*-t- 1 (x m — n — 1 (x — 1) — N) + N

Posons

Cette condition sera satisfaite si l’on a , en remplaçant x par x — 1

ou

Les fonctions précédentes seront aussi positives, et il en sera de même du premier membre de l’équation, qui restera positif pour toute valeur de x, supérieure à celle qui vient d’être donnée.