IX

Si nous négligeons le terme -g- , nous commettons une

erreur qui est de l’ordre de a, c’est-à-dire du même degré de grandeur que ce coefficient, soit e, cette erreur, on a une première valeur approchée.

x t — — - b et x = — b + »,

est la valeur exacte ; substituons à la place de x cette valeur dans l’équation ci-dessus, il vient

x * = b W Cl X ~ ~ b F + fs

est la valeur exacte , e, désignant une grandeur de l’ordre a* ; substituons encore «à la place de x cette valeur, nous aurons une troisième valeur approchée de x, donnée plus haut, et l’erreur commise sera de l’ordre de a 3 ; le sens de l’erreur sera déterminé par le signe du terme qui suit celui auquel on s’arrête.

Équation du troisième degré.

72. L’équation du troisième degré peut aussi se résoudre directement, mais par des formules distinctes, selon que les racines de l’équation sont toutes réelles ou selon qu’une seule est réelle.

L’équation étant

x 3 -+- bx' + ex d = 0,

on commence par la transformer en une autre manquant de

second terme. A cet effet on remplace a; par y — ~ (§ 58), et il vient :

équation que nous écrirons pour abréger

y 3 + vv + </ = o,

et il est clair que, connaissant les racines de l’équation en y, on aura les valeurs de x en augmentant de h = — | chacune

des valeurs de y.

Pour déterminer ces valeurs, il y a divers cas à examiner, parce que les formules qui déterminent les racines changent avec le signe de p et les relations de grandeur entre p et q.

Mettons le signe de p en évidence, en sorte quep désignera un nombre, et pour abréger posons :

Voici comment on opérera dans les divers cas : 73. Résolution de l’équation.

U 3 — PV + q- 0 .

Calculons

Ig Q = 21g q — 0,6020600 lgP = 3 Ig p — 1,4313638

et prenons la différence

Ig Q — lg P.

1° Si cette différence est négative, calculons l’angle ç par la relation

Ig cos 9 =

Ig Q — lg P'

et les valeurs absolues de y seront données par les formules

lg y, = 0,3010300 + g lg P + lg cos |

lg y t = 0,3010300 -HjlgP + lg cos (cO —

lg y , = 0,3010300 + g IgP-t-lg cos (ôO -H | )

La première sera de signe contraire à q et les deux autres de même signe.

Par suite

26 ^ — ÿs jj , x 3 — y 3 ^ •

2° Si la différence lg Q — lg P est positive , une seule des racines est réelle.

Calculons l’angle o par la relation

log sin co =

puis l’angle <p d’après l’équation

Igtg 9 = g Igtg

et

et on aura la valeur réelle de y par la formule

lg ?/, = 0,3010300 h ^ lg P — lg sin 2p.

i/i sera de signe contraire à q, et