Démonstration des formules précédentes
Démontrons maintenant les formules qui viennent d’être données.
Soit l’équation
( 1 ) y 1 — py-hç = 0.
La trigonométrie nous montre que l’équation a 3 al
(2) cos 3 g — j cos g — | cos ip = 0 a pour l'acines
cos | , cos ^120° -f- , cos ^240° 4- *
Si nous pouvons ramener l’équation proposée à cette forme , elle sera donc complètement résolue.
Pour cela posons y — Xz et l’équation à résoudre sera
(3) + Jï = 0;
elle sera identique avec (2) si l’on pose
3 q cos p
ce qui donne pour X deux valeurs.
d’où
COS ( p =
et cos 3 p =
valeur réelle si l’on a
j — < 0, ou Q — P < 0,
telle est la condition de réalité des racines de l’équation (1).
Supposons cette condition remplie , on pourra dès lors calculer 9 et les trois racines de l’équation en 2; la relation y — Xz fera connaître les valeurs correspondantes de y.
En prenant la valeur de X, qui est de signe contraire à q,
cos 9 sera positif, 9 < 90° et ^ < 30°, donc les trois valeurs
de z.
COS g , cos |
| , cos ^240 + g^
ou
cos ^ , — cos |
| — cos ^ 60 +
seront la première positive, les deux autres négatives, en sorte que le signe de \ ou de — q déterminera le signe des valeurs correspondantes de y.
78. Si la différence Q — P est positive , l’équation ne peut être résolue à l’aide de l’équation (2). Voici comment on arrive au mode de calcul indiqué :
Soit toujours l’équation
y 3 — py + q = Q.
Nous nous appuyerons sur le lemnc suivant :
Les racines cubiques imaginaires de l’unité sont le carré l’une de l’autre.
En effet, l’équation
se décompose en
Soient a, {5 les deux racines de l’équation V l V 4- 1 = 0.
On a
D’ailleurs , a 3 = 1 et (J 3 = 1 , car a et ^ sont racines de y 3 — I =0. Donc
a = P et 0 = a*.
Revenons à l’équation à résoudre et pour cela posons y = x (a tg © + b cotg ©).
a et b étant tous deux égaux à 1 , ou bien l’un étant a et l’autre a’, élevons y au cube, il vient
y 3 = A- 1 [tg 3 <p + cotg 3 © +• 3 (a tg© +• cotg ©)] ou
y 3 — 3a 3 y — A 3 (tg 3 © + cotg 3 ©) = 0, équation qui a pour racines les trois valeurs que prend y pour
d = l,ft = l ;« = «,&=*’ ; fl = a 5 , b = a,
identifions avec la proposée. Pour cela on doit avoir 3 A 5 =p, — A 3 (lg 3 © + cotg 3 ©) = q,
d’où l’on tire pour X deux valeurs réelles,
x — d ’ où l 6'> + col g> = p^/'p .
Pour calculer l’angle 9 , posons
tg 1 9 — tg | ,
il vient
sin & = + ,
équation qui donne pour o une valeur réelle, puisque le second membre est plus petit que 1 . Par suite la racine réelle de l’équation proposée est :
ÿ = dr|/|(tg9+ c ot K 9) = ±^ 2 |'
En prenant X de signe contraire à q, sera plus petit que
90° et 9 < 90°, donc y sera de signe contraire à q.
Soit enfin l’équation
y 5 + py -+- q = 0.
On posera
y = A (atgip — b cotg<p),
et, en répétant un calcul analogue au précédent, on arrivera aux formules données plus haut pour résoudre l’équation.
Équation dn 4 e degré.
