Soit l’équation du 4 e degré
x 4 + bx* -I- ex' + dx -+- e = 0.
Nous allons ramener sa résolution à celle de deux équations du 2 e degré, qui dépendent d’une équation du 3 e degré. A cet effet, cherchons à déterminer pour les coefficients p, q, p', q'
des valeurs qui rendent le premier nombre identique avec le produit
(. x ' + px + q) ( x s + p’x -+■ q').
Effectuons ce produit, on obtient :
x 1 -4- (P 4- p') x' + (?+?' + pp') x' -+- (pq 1 + qp')x + ??'•
Ce polynôme sera identique avec le polynôme donné si l’on a
pp' = c — a. qq' = e pq’ H- qp' = d.
a désignant une indéterminée auxiliaire, les quatre premières relations donnent p, p', q, q’,
1 fcfii Cr
C et
Portant ces valeurs dans la cinquième, il vient, pour déterminer a , l’équation
Cette condition montre que les deux facteurs de son premier terme sont de même signe. Si on y donne à a la plus grande des deux valeurs,
c — j- et 2 |/e ,
qui rendent ce terme nul, le résultat de la substitution est négatif; d’ailleurs, en effectuant les calculs et ordonnant l’équation précédente, elle devient
et 1 — 4- (bd — 4e) et -f- 4 ec — eb~- — d' = 0.
On voit que le premier terme est positif, donc elle a une racine réelle qui est supérieure à la plus grande de celles que nous venons de considérer; à cette v&leur correspondent, par conséquent, pour p, p', q, q' des valeurs réelles, ce qui ra-
mené la résolution de l'équation ^proposée à celle des deux équations du second degré
x'- + px -f- q = 0, x* -+- p'x -j- q' — 0.
Pour former ces équations, on remarquera que d’après la relation
„ I / ar < / b* b a
le signe du second membre fera reconnaître si les deux radicaux sont de même signe ou de signe contraire, et, par conséquent, si à la valeur p correspond dans l’équation du second degré la valeur q ou q'.
On arrive identiquement aux mêmes calculs, en considérant l’équation proposée comme résultant de l’élimination de y entre les deux équations
;/’ -|- bxy -+- cx‘ + dx -+- e = 0
et
qui représentent chacune une courbe du second degré. La question est alors de trouver les coordonnées des points communs à ces deux courbes. Nous allons donner tout à l’heure la solution générale de ce problème ; mais avant de nous occuper de cette question, nous appliquerons à un exemple le calcul qui vient d’être exposé.
