Exemple. Soit donnée l’équation

on a alors

ix‘ Sx 3 — 1 = 0, * = 2,c = 0, d = 0,e =

et l’équation en a est

elle a pour racine d’où

fit 3 -f- CL -f- 1 0 }

p, p' = 1 rfc 1/0,317672 = 1 =fc 0,563624

q, q' — — 0,341164 ± 1/0,366393 = — 0,341164 rfc 0,605303.

La fonction d étant positive, les deux radicaux doivent

être pris avec le même signe, et l’on a à résoudre les équations du second degré

On suivra pour cela la méthode expliquée (§ 69).

La première de ces équations a ses racines imaginaires , les racines de la seconde sont

Éqnations dn second degré à déni inconnues.

81. Proposons-nous de calculer les valeurs à'x et d’y qui satisfont aux deux équations :

(1) ay 1 + bxy + ex 5 dy + ex f — 0

(2) a’ y' + b'xy + e'x* + tï y + e'x -hf = 0.

Si on multiplie la première paru', la seconde par a, on obtient par soustraction une équation du premier degré en y , d’où l’on tire y. Cette valeur, portée dans l’une des proposées, conduit à une équation du 4 e degré en x, qui a quatre racines réelles, ou 2, ou 0, ce qui revient à dire que les courbes du second degré (1) et (2) ont quatre points communs, ou deux, ou ne se coupent pas.

Nommons P, Q, R, S, ces quatre points réels ou imaginaires.

Si les quatre points sont réels, on peut tracer par ces quatre points trois couples de droites (PQ, RS), (PR, QS), (PS, OR).

Si deux d’entre eux R, S sont imaginaires, on pourra tracer le seul couple (PQ, RS), la droite RS passant par deux points dont les coordonnées sont imaginaires conjuguées, la droite PQ par les deux points réels.

Si les quatre points sont imaginaires , les deux courbes ont encore un couple de sécantes communes, passant par les points imaginaires conjugués.

Or, nous allons précisément nous proposer de déterminer ces couples de sécantes communes. L’équation de chacune d’elles étant du premier degré, en les combinant entre elles, on n’aura à résoudre que des équations du premier degré s’il y a plusieurs couples de sécantes; s’il n’y a qu’un couple, l’une d’elles, combinée avec l’une des équations (1) et (2), fera connaître les deux points communs aux deux courbes.

La détermination de ces sécantes dépend d’une équation du troisième degré. En effet, multiplions l’équation (2) par un paramètre arbitraire X et ajoutons, il vient

(3) A y' B xy -+- Cx * Dy -+- Ea: — F = l)

en posant pour abréger

A = a a'x, B = b + b' A, etc.

L’équation (3) représente une courbe du second degré, passant par les quatre points P, Q, R , S; cherchons à déterminer X par la condition que celte courbe se compose de deux droites. Pour cela résolvons par rapport à y.

— Bæ — D . l ,

// = 2Â — 2A 4AC)æ’+ 2(BD— 2AE)a:+D ï — 4 AF

et exprimons que le radical est un carré parfait, ce qui donne AE* + Cl)’ — BDE + (B J — 4AC) F = 0.

Remplaçant A, B,.... parleur valeur, on obtient une équation du troisième degré en X, qui a toujours une racine réelle.

Il ne suffit pas qu’une valeur de X soit réelle pour qu’elle

donne des sécantes réelles.

En effet, l’équation d’un couple de sécantes est:

— Bj; — D l/B^TAC ( .BD — 2AE\ v ~ 2 A — ' 2A B* — 4 AC / ’

il faut , en outre , que cette racine rende positive la différence B* — 4 AC, et comme il y en a toujours une qui jouit de cette propriété , on voit que ;

1° Si l’équation en X a ses trois racines réelles et si deux d’entre elles rendent 11* — 4 AC positif, il v a deux couples de sécantes communes , et par conséquent trois ; les courbes se coupent en quatre points.

2° Si dans la première hypothèse une seule racine rend B* — 4AC positif, il n’y a qu’un couple de sécantes réelles, mais aucune ne rencontre la courbe.

3° Si l’équation en X n’a qu’une racine réelle , les courbes ne peuvent se couper en plus de deux points, et se couperont en deux points. C’est ce que M. Transon a fait voir en supposant les deux courbes rapportées aux deux sécantes prises comme axes de coordonnées, et appliquant à leurs équations, qui ne diffèrent alors que par le coefficient de xy, la méthode exposée plus haut.

82. Pour montrer sur un exemple l’application de cette méthode , soit à trouver les valeurs d’# et d’y qui satisfont aux deux équations :

y 1 -f- x* — 2a? — y — t =0 xy — 4a? — 2 y = 0.

Multiplions la seconde par X et ajoutons membre à membre, il vient

if -1- kxy -|- x' — 2 (1 -f- 2 a) x — (f -+- 2 a) y — 1 =0.

Résolvons par rapport à y, on a

— Aa?+1-+-2A . 1

Écrivons que le trinôme sous le radical est un carré parfait , on a

(1 + 2a)’(5 — 2a) = V — 4 ou

équation qui a une racine positive égale à 2,470217 et pour laquelle on a X* — 4 > 0.

D’ailleurs, les équations de sécantes peuvent s’écrire:

2» + (x±(l-f2>)|/5 — 2x)«— ^H-2 a =pp^==) = 0 ;

en les joignant successivement à l’une des équations du second degré, on obtient par l’élimination de y deux équations du second degré en x, dont l’une :

1, 960018®* + 0,243787 x — 0,327645 = 0 a ses racines réelles et donne

d’où

l’autre a ses racines imaginaires, en sorte que les deux courbes proposées ne se coupent qu’en deux points (x 1 , y'), (x", y").

Remarquons encore que, dans certains cas particuliers , il pourra arriver, étant données deux équations du second degré à deux inconnues , que l’élimination de l’une des inconnues conduise à une équation bicarrée ou à une équation du troisième degré, que l’on résoudra alors directement. C’est ce qui aura lieu si l’un des points d’intersection des deux courbes est à l’infini. Par exemple, les deux courbes

y' + 3x — 4 y — 2—0 et xy — x — y- f- 2 = 0

se coupent en des points dont' les abscisses sont déterminées par l’équation du troisième degré

Équations de degré supérieur au quatrième.

83. Une équation algébrique de degré supérieur au quatrième ne peut en général être résolue directement. Sont exceptées seulement celles qui par leur forme spéciale peuvent se ramener aux cas examinés.

Nous n’entrerons dans aucune considération sur les équations susceptibles d’abaissement. Nous ferons seulement remarquer que les équations comprises dans les formes suivantes peuvent être résolues directement, savoir :

1° AV + B» 1 -f CV 4- D* -f- E = U,

z désignant le polvnome ax' -+- bz* 4- ex * 4- dx 4- e.

yA (*‘+;l)+ r, ( I ‘+l-)+ c O’+iO +D ( I +') +E = 0 '

en posant x-\ - - = z.

Il est inutile de multiplier ces exemples, la résolution pratique des équations étant une question complètement résolue quant aux procédés qui peuvent conduire à la connaissance des valeurs des inconnues, comme nous le verrons plus loin.

Équations transcendantes.

84. Désignons par T une fonction transcendante pour laquelle on a des tables numériques ; une équation transcendante renfermant T pourra être résolue à l’aide de ces tables quand on pourra en tirer des valeurs de la* forme T — c tc .

Exemple :

ae x 4- he~* = v.

On peut l’écrire

ae u — ce 1 -+- b = 0,

et elle donne

c — |/c ! — Aab e * ~ Ta '

Lorsque l’équation ne renferme que des lignes Irigonométriques, elle peut toujours être ramenée à la forme algébrique si le premier membre peut être exprimé rationnellement en sinus et cosinus, parce que le sinus et le cosinus d’un arc s’expriment tous deux rationnellement en fonction de la tangente d’un arc moitié. Dès lors on la résoudra comme une équation algébrique.

Si l’équation est homogène en sinus et cosinus et de degré ni, eu divisant par la m e puissance du cosinus, on aura une équation où l’arc sera déterminé par sa tangente.

Généralement, pour déterminer l’inconnue, on exprimera

toutes les lignes trigonométriques en fonction d’une seule dont le choix dépendra de l’équation donnée.