ÉQUATIONS DONT LES RACINES NE PEUVENT ÊTRE CALCULÉES DIRECTEMENT

85. Division de la question. La résolution des équations dans les cas qui nous restent à examiner, s’exécute par des essais dirigés d’une manière convenable, et dont le résultat est d’obtenir la racine avec une approximation croissante quand elle ne peut être représentée par un nombre entier ou fractionnaire.

Nous donnerons des règles, d’une application générale, qui permettront de connaître exactement le nombre des racines d’une équation algébrique et de calculer chacune d’elles avec autant d’approximation qu’on voudra. Les procédés qui déterminent le nombre des racines d’une équation algébrique , ne s’appliquent pas à une équation transcendante, et chaque équation de cette espèce exige un examen spécial pour déterminer le nombre de ses racines quand ce nombre est fini, ou pour reconnaître qu’elle a une infinité de racines.

Dans la pratique la détermination du nombre des racines d’une équation est souvent peu nécessaire, soit que par la nature de la question on sache qu’une seule solution est possible, soit que les racines négatives ou les racines qui sont en dehors de certaines limites ne puissent répondre au problème proposé.

Cette recherche n’est point d’ailleurs utile pour le calcul d’une racine en particulier.

Dans tous les cas ce calcul se divise en deux :

1° Trouver deux nombres qui comprennent une racine et (pii n’en comprennent qu’une , ce qu’on appelle plus brièvement séparer une racine. La séparation des racines fait connaître leur valeur avec une première approximation, et en formant la demi-somme des deux nombres qui comprennent cette

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racine, elle se Irouve connue avec une erreur moindre que leur demi-dilTércnce.

2° Resserrer l’intervalle des deux nombres qui comprennent la racine de façon que la différence des limites entre lesquelles elle est comprise soit aussi petite que l’on voudra. Ces calculs font l’objet de la seconde approximation.

8fi. Différentes formes des racines. Les racines d’une équation peuvent être des nombres commensurables entiers ou fractionnaires, et dans le cas d’une équation algébrique on les trouve par une méthode spéciale.

Lorsque les racines ne sont point commensurables, elles s’expriment par des nombres décimaux qui peuvent en différer aussi peu que l’on voudra ; il arrive rarement , en effet, que ces nombres puissent être représentés par un symbole de grandeur incommensurable, tels que V a , Iga...., et d’ailleurs lorsqu’il en est ainsi on ne le reconnaît généralement qu’a ‘posteriori. Aussi ne recherche-t-on pas si des nombres commcnsurables soumis à divers symboles peuvent être racines d’une équation donnée, et on applique une méthode unique, indépendante de la forme possible d’une racine incommensurable, à toute équation algébrique ou transcendante, en y remplaçant les coefficients incommensurables qui peuvent s’y trouver par des valeurs approchées.