Pour que ~ soit racine d’une équation algébrique à

coefficients entiers, il faut que a soit un diviseur du dernier terme et b un diviseur du premier coefficient.

En effet, si | est racine de l’équation (1), en faisant.* =

on doit avoir zéro, condition que l’on peut écrire comme il suit :

= un nombre entier

= idem

ce qui établit la proposition énoncée.

Il en résulte que si A = 1 , on doit avoir b = 1 ; donc :

89. Une équation algébrique à coefficients entiers dans laquelle le coefficient du premier' terme est l’unité, ne peut avoir de racines fractionnaires.

Or, nous avons vu (§ 61) comment une équation dans laquelle le coefficient du premier terme n’est pas l’unité peut être ramené à une autre dans laquelle ce coefficient soit l’unité;

il suffit pour cela de remplacer x par | et de multiplier le premier membre par A m l , et l’équation obtenue

n’a plus de racines commensurables fractionnaires.

La recherche des racines commensurables se trouve ainsi ramenée à celle des racines entières.