f“ C, — }- .... -f- Cm — 3 — f- Cm

1 — (— .... "4” Dm— 4 -|- Dm — 3

On opérera sur la suite (b) comme par la suite (a); 1° pour essayer si le nombre a n’est pas une seconde fois racine; 2° si cela n’a pas lieu pour essayer un autre nombre b, diviseur de Bm — i. Et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ne trouve plus de racines entières.

Les nombres a, b, c, écrits à droite du tableau, sont les nombres essayés.

Si l’équation a, par exemple, trois racines entières a, b, c, les racines de la proposée sont

fl I) c

L’équation

y m ~ 3 -+- 0,^"- * + -h Dm— 4 y -f- Dm— 3 = 0

a pour racines toutes les racines non commensurables de la proposée. Remplaçant y par A.r et divisant par A* - *; ce qui

revient à diviser les coefficients des termes successifs à partir du troisième par les puissances successives de A, on obtiendra une équation , qui sera l’équation proposée débarrassée de ses racines commensurables entières ou fractionnaires.

Tel est le procédé général à l’aide duquel on trouvera les racines commensurables d’une équation. Le nombre des essais auxquels on peut être conduit étant égal au nombre des diviseurs du dernier terme, est souvent considérable, mais on peut le réduire beaucoup en soumettant ces diviseurs aux conditions suivantes.

92. Pour qu’un nombre fl soit racine , il faut que a — 1 divise le résultat de la substitution de 1 dans le premier membre de l’équation et que a -t- 1 divise le résultat de la substitution de — 1 (§ 30).

En outre , il est inutile d’essayer les diviseurs qui ne sont point compris dans les limites des racines (§§ 02, 03).

Enfin, le théorème de Descartes, qui donne une limite supérieure du nombre des racines, soit positives, soit négatives, pourra quelquefois éviter quelques essais (§ 40).

93. Exemple I. Soit proposé de trouver les racines commensurables de l’équation

f (æ) = x* -t- 5x 4 x 3 — lfi.*’ — 20 æ — 16 = 0.

Pour cela il faut

1° Former/^ — x).

/'( — x) — x i — bx' H- æ 3 -f- 16x 5 — 20# -4- 16.

2° Appliquer le théorème de Descartes, f (x) présente une variation, f ( — x) en présente 4, l’équation proposée peut donc avoir une racine positive et quatre racines négatives.

3° Chercher les limites des racines. 1 -t- l/20 ou 4 peut-être pris, d’après la règle donnée, pour limite supérieure des racines de f (x) = 0, et comme la même règle appliquée à f ( — x) donne 21 , cherchons une limite plus étroite en écrivant

où l’on voit que 5 est une limite supérieure des racines de f { — x) = 0 et, par suite, — 5 une limite inférieure des racines de f (x) = 0.

4° Former les diviseurs du dernier terme compris entre les limites.

Ces diviseurs sont 1,2, — 1, — 2, — 4.

5° Former les résultats de la substitution de 1 dans f (x) et f(-x).

On trouve en valeur absolue

/’(!) = 45, /'( — 1) = 9, d’où l’on voit que ni 1 , ni — 1 ne sont racines.

6° Essayer si les nombres restants, augmentés d’une unité, divisent f ( — 1).

2 4- 1 , — 2-4-1, — 4-4-1 divisent 9 , donc 2 , — 2 et

— 4 peuvent être racines.

7" Essayer si ces mêmes nombres, diminués d’une unité, divisent f (1).

2 — 1, — 2 — 1, — 4 — 1 divisent 45.

Il résulte de cet examen que l’on doit essayer directement 2, — 2 et 4.

8° Ecrire en ligne horizontale les coefficients de l’équation et essayer successivement les diviseurs non éliminés en commençant par les plus petits en valeur absolue.

Essai du diviseur 2.

Ayant écrit la suite (a) des coefficients de l’équation proposée et placé le diviseur 2 à droite, nous dirons, écrivant à mesure de droite à gauche, les quotients obtenus changés de signe :

— 1 6 divisé par 2 donne — 8 et en changeant le signe 4- 8,— 8 — 20donne — 28

— 28 divisé par 2 donne — 1 4 et en changeant le signe -4-14, — 14 — 16 donne — 30 — 30 divisé par 2 donne — 15 et en changeant le signe -4-1 5, — 154- 1 donne — 14

— 1 4 divisé par 2 donne — 7 et en changeant le signe 4- 7. — 74- 5 donne — 2 - 2 divisé par 2 donne — I et en changeant le signe 4- I. donc 2 est-racine.

et comme l’équation n’a qu’une racine positive , il faut essayer les diviseurs négatifs.

Essai des diviseurs — 'i cl — 4. La manière de faire les essais venant d’èlre donnée avec assez de détails, nous nous bornerons à donner le tableau complété de la suite des essais.

(b) 1 + 7 + 15 + fi +8—2

d’où il suit que — 2 et — 4 sont racines , et que l’équation proposée, débarrassée des trois racines que l’on a trouvées, se réduit â