Exemple 11. Soit donnée l’équation déjà considérée

(1) x 3 — 5 x 1 + Ifi.r — 60 = 0.

On devra :

1" Former la transformée en — x

2" Appliquer le théorème de Descartes. Dans le cas actuel, il ne limite pas le nombre des racines positives , car l’équation (1) a trois variations, nombre maximum que puissent présenter quatre termes, et par suite (2) n’en offre aucune, en sorte que l’équation n’a pas de racines négatives.

3° Chercher les limites des racines. On a vu qu’on peut prendre 5 comme limite supérieure , et puisque l’équation n’a pas de racines négatives , 0 est une limite inférieure.

4° Former les diviseurs du dernier terme, compris entre les limites trouvées.

Dans le cas actuel ces diviseurs sont 1 , 2 , 3 , 4.

5° Former les résultats de la substitution de 1 dans (1) et (2).

On obtient ici en valeur absolue f (1) = 48 , f ( — 1) = 82, d’où l’on voit que 1 n’est pas racine.

6° Essaye 1 )' si les nombres choisis, augmentés d’une unité, divisent f ( — 1 1 .

2 + 1 , 3 + 1 , 4 ■+■ 1 ne divisant pas 82, aucun des nombres 2, 3, 4 ne peut être racine.

Donc l’équation proposée n’a pas de racines conimensurables. 95. Exemple III. Comme dernier exemple, soit encore à trouver les racines commensurables de l’équation:

f ( x ) = Gx’ — 19x 5 + 13 æ' — 20x 5 + 18.?:’ — 16 = 0.

Nous devons à cet effet :

1° Former f ( — x ) ,

2° Appliquer le théorème de Descartes, f {x) à cinq variations, f ( — x) en a une, l’équation peut avoir cinq racines positives et une négative , et nous sommes sûrs qu’elle a une racine positive et une racine négative (§ 34).

3° Chercher les limites des racines. On voit que \ g~

est une limite supérieure des racines positives et que

— ^1 4- ou — ^ est une limite inférieure des racines

négatives; mais la limite des racines positives peut être un peu abaissée, car en groupant les termes de f(x) deux à deux dans

l’ordre même où ils sont écrits , on voit que est une limite que l’on peut prendre.

4° Transformer l’équation en une autre dans laquelle le coefficient du premier terme soit l’unité. D’après la règle donnée (§ 61), on a :

On a d’ailleurs entre x et y la relation

en sorte que les limites des racines de la nouvelle équation sont pour les racines positives 19, et pour les racines négal i vos — 18.

5° Former les diviseurs du dernier tenue compris entre les limites. Le dernier terme est 2” 3 S ; ses diviseurs compris entre les limites sont

± 2, ± 3, ± 4, =fc 6, ± 8, ± 9, ± 12, ± 16, + 18.

6° Former f(i) et f ( — 1). On obtient, en substituant l’unité dans f ( x ) et f ( — x), en valeur absolue

7° Essayer si les diviseurs choisis, augmentés de l’unité , divisent f ( — 1). Or, il résulte de cet examen (pie les seuls diviseurs qui puissent être racines sont

8° Essayer si les diviseurs restants diminués de l’unité divisent f (1). On est conduit à rejeter encore — 6 et 9, en sorte que les seuls diviseurs que l’on ait à essayer dans l’équation en y , sont

9° Former les valeurs correspondantes de x. On obtient, en divisant les nombres précédents par 6,

et examiner si le numérateur divise le dernier terme ; cette condition se trouve ici remplie. Remarquons, en passant, que cet examen aurait pu être employé à l’élimination de quelquesuns des diviseurs; c’est ainsi que le diviseur 9 eut pu être rejeté.

10° Ecrire en ligne horizontale les coefficients des puissances successives de l’inconnue et essayer successivement les diviseurs non éliminés en commençant par les plus petits en valeur absolue. On obtient ainsi le tableau suivant :

Un reconnaît d’abord que — 2 n’est pas racine , puis que — 3,4, 12 sont racines, en sorte que les racines commensurables de la proposée, sont :

11° Revenir de l’équation en y, qui donne les autres racines, savoir:

à une équation en x, en remplaçant dans le cas actuel, y par Gx et divisant par G 3 , il vient

équation qui, d’après le théorème de Descartes, n’a plus qu’une racine réelle qui est positive.